QCM : Introduction aux groupes (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition d’un groupe, quelles propositions sont exactes ?

La loi de composition doit être commutative pour que l’ensemble soit un groupe.
L’associativité impose l’égalité des deux parenthésages de trois éléments.
Chaque élément possède un symétrique appartenant à un autre ensemble.
La loi de composition doit être interne à l’ensemble considéré.
Un groupe possède un élément neutre pour sa loi de composition.

L’associativité impose l’égalité des deux parenthésages de trois éléments. · La loi de composition doit être interne à l’ensemble considéré. · Un groupe possède un élément neutre pour sa loi de composition.

Explication

La loi doit être interne et associative, et le groupe possède un élément neutre. La commutativité ne figure pas parmi les axiomes, et le symétrique de chaque élément appartient au groupe considéré.

2. Les quatre propriétés résumées par l’acronyme I.A.N.S. sont :

« Symétrique » fait partie des propriétés résumées par I.A.N.S.
« Interne » correspond à la première lettre de l’acronyme I.A.N.S.
« Associative » est l’une des propriétés mémorisées par I.A.N.S.
La lettre A désigne l’élément neutre dans l’acronyme I.A.N.S.
La lettre N renvoie à la propriété de symétrie dans I.A.N.S.

« Symétrique » fait partie des propriétés résumées par I.A.N.S. · « Interne » correspond à la première lettre de l’acronyme I.A.N.S. · « Associative » est l’une des propriétés mémorisées par I.A.N.S.

Explication

I.A.N.S. signifie Interne, Associative, Neutre et Symétrique. Ainsi, A renvoie à Associative et N à Neutre, et non l’inverse indiqué dans les propositions erronées.

3. Concernant les contre-exemples de groupes :

Dans (ℕ, +), le symétrique additif de 3 est 3, qui appartient à ℕ.
Dans (ℤ, ·), l’inverse multiplicatif de 2 serait 1/2, qui n’appartient pas à ℤ.
Dans (ℤ, ·), l’inverse multiplicatif de 2 serait 1/3, qui n’appartient pas à ℤ.
Dans (ℕ, +), le symétrique additif de 3 serait −3, qui n’appartient pas à ℕ.
Dans (ℤ, ·), l’inverse multiplicatif de 2 est 2, qui appartient à ℤ.

Dans (ℤ, ·), l’inverse multiplicatif de 2 serait 1/2, qui n’appartient pas à ℤ. · Dans (ℕ, +), le symétrique additif de 3 serait −3, qui n’appartient pas à ℕ.

Explication

Dans (ℤ, ·), l’inverse de 2 serait 1/2, absent de ℤ ; dans (ℕ, +), l’opposé de 3 serait −3, absent de ℕ. Les autres propositions donnent des inverses ou opposés incorrects.

4. Dans un groupe, on sait que c⋆u=c⋆vc \star u = c \star v et que r⋆d=s⋆dr \star d = s \star d. Quelles conclusions sont exactes ?

De c⋆u=c⋆vc \star u=c \star v, la régularité permet de conclure que c=uc=u.
L’équation x⋆a=bx \star a=b possède une solution unique seulement si le groupe est commutatif.
L’équation a⋆x=ba \star x=b possède une solution unique pour tous a,ba,b du groupe.
De r⋆d=s⋆dr \star d=s \star d, la régularité permet de conclure que r=sr=s.
De c⋆u=c⋆vc \star u = c \star v, la régularité permet de conclure que u=vu=v.

L’équation $$a \star x=b$$ possède une solution unique pour tous $$a,b$$ du groupe. · De $$r \star d=s \star d$$, la régularité permet de conclure que $$r=s$$. · De $$c \star u = c \star v$$, la régularité permet de conclure que $$u=v$$.

Explication

La régularité autorise la simplification du facteur commun à gauche ou à droite, d’où u=vu=v et r=sr=s. Les deux équations de groupe ont chacune une solution unique, sans condition de commutativité ; une égalité simplifiée ne donne pas c=uc=u.

5. Dans un groupe non nécessairement commutatif, pour résoudre p⋆x=qp \star x=q et y⋆r=sy \star r=s, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour la première équation, composer à gauche par l’inverse de pp donne x=p′⋆qx=p' \star q.
Pour la seconde équation, composer à gauche par l’inverse de rr donne y=r′⋆sy=r' \star s.
Pour la seconde équation, composer à droite par l’inverse de rr donne y=s⋆r′y=s \star r'.
Pour la première équation, composer à droite par l’inverse de pp donne x=q⋆p′x=q \star p'.
Pour la première équation, composer à gauche par l’inverse de qq donne x=q′⋆px=q' \star p.

Pour la première équation, composer à gauche par l’inverse de $$p$$ donne $$x=p' \star q$$. · Pour la seconde équation, composer à droite par l’inverse de $$r$$ donne $$y=s \star r'$$.

Explication

Dans p⋆x=qp \star x=q, la composition à gauche par p′p' donne x=p′⋆qx=p' \star q ; dans y⋆r=sy \star r=s, la composition à droite par r′r' donne y=s⋆r′y=s \star r'. Les autres propositions inversent le côté de composition ou utilisent l’inverse du mauvais élément.

6. Pour a=4a=4 et b=13b=13 dans le groupe additif des réels, et c=5c=5 et d=20d=20 dans le groupe multiplicatif des réels, quelles propositions sont exactes ?

L’équation 5x=205x=20 a pour solution unique x=4x=4, obtenue par x=5/20x=5/20.
L’équation 5x=205x=20 a pour solution unique x=15x=15 dans le groupe multiplicatif des réels.
L’équation 4+x=134+x=13 a pour solution unique x=9x=9 dans le groupe additif des réels.
L’équation 4+x=134+x=13 a pour solution unique x=17x=17 dans le groupe additif des réels.
L’équation 5x=205x=20 a pour solution unique x=4x=4 dans le groupe additif des réels.

L’équation $$4+x=13$$ a pour solution unique $$x=9$$ dans le groupe additif des réels.

Explication

Dans le groupe additif, x=b−a=13−4=9x=b-a=13-4=9. Pour l’équation multiplicative, la solution est x=d/c=20/5=4x=d/c=20/5=4 : les autres propositions donnent une somme, un mauvais groupe ou le quotient inversé.

7. Dans un groupe, des éléments a et b sont fixés. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) concernant la résolution des équations associées :

L’équation x ⋆ a = b possède une solution unique, obtenue par x = b ⋆ a⁻¹.
Dans l’équation a ⋆ x = b, composer à gauche par l’inverse de a donne x = a⁻¹ ⋆ b.
De l’égalité y ⋆ x = z ⋆ x, on déduit y = z par simplification à gauche.
L’équation a ⋆ x = b possède une solution unique dans le groupe considéré.
De l’égalité x ⋆ y = x ⋆ z, on peut déduire y = z par simplification à gauche.

L’équation x ⋆ a = b possède une solution unique, obtenue par x = b ⋆ a⁻¹. · Dans l’équation a ⋆ x = b, composer à gauche par l’inverse de a donne x = a⁻¹ ⋆ b. · L’équation a ⋆ x = b possède une solution unique dans le groupe considéré. · De l’égalité x ⋆ y = x ⋆ z, on peut déduire y = z par simplification à gauche.

Explication

Pour a ⋆ x = b, la multiplication à gauche par a⁻¹ donne x = a⁻¹ ⋆ b, tandis que x ⋆ a = b se résout par x = b ⋆ a⁻¹ ; chacune admet une solution unique. La régularité permet de simplifier x à gauche dans x ⋆ y = x ⋆ z, mais l’égalité y ⋆ x = z ⋆ x se simplifie à droite, et non à gauche.

8. Dans un groupe, un élément x est élevé à la puissance −3. Quelles sont les réponses exactes au sujet de cette notation ?

La puissance x⁻³ est le produit de trois facteurs égaux à l’élément x.
La puissance x⁻³ est le produit de quatre facteurs égaux à l’inverse x⁻¹.
La puissance x⁻³ est le produit de deux facteurs égaux à l’inverse x⁻¹.
La puissance x⁻³ est le produit de trois facteurs égaux à l’inverse x⁻¹.
La puissance x⁻³ est le produit de trois facteurs égaux à l’élément neutre.

La puissance x⁻³ est le produit de trois facteurs égaux à l’inverse x⁻¹.

Explication

Pour n positif, x⁻ⁿ est le produit de n facteurs égaux à l’inverse x⁻¹ ; ainsi, x⁻³ comporte trois facteurs x⁻¹. Les autres propositions changent l’élément répété ou le nombre de facteurs.

9. Dans un groupe, on considère un élément x et les puissances de même base :

Le produit x−3⋆x8x^{-3} \star x^8 se simplifie en x−24x^{-24}.
Le produit x6⋆x−2x^6 \star x^{-2} se simplifie en x4x^4.
Le produit x4⋆x7x^4 \star x^7 se simplifie en x11x^{11}.
Le produit x−3⋆x8x^{-3} \star x^8 se simplifie en x5x^5.
Le produit x4⋆x7x^4 \star x^7 se simplifie en x28x^{28}.

Le produit $$x^6 \star x^{-2}$$ se simplifie en $$x^4$$. · Le produit $$x^4 \star x^7$$ se simplifie en $$x^{11}$$. · Le produit $$x^{-3} \star x^8$$ se simplifie en $$x^5$$.

Explication

Pour une même base, les exposants s’additionnent : 4+7=114+7=11, −3+8=5-3+8=5 et 6+(−2)=46+(-2)=4. Les exposants ne se multiplient pas dans le produit.

10. Un élément aa d’un groupe est utilisé dans les produits suivants. Quelles propositions sont exactes ?

Le produit a−6⋆a−2a^{-6} \star a^{-2} vaut a−8a^{-8}.
Le produit a9⋆a−5a^9 \star a^{-5} vaut a−45a^{-45}.
Le produit a−6⋆a−2a^{-6} \star a^{-2} vaut a12a^{12}.
Le produit a3⋆a−10a^3 \star a^{-10} vaut a−7a^{-7}.
Le produit a9⋆a−5a^9 \star a^{-5} vaut a4a^4.

Le produit $$a^{-6} \star a^{-2}$$ vaut $$a^{-8}$$. · Le produit $$a^3 \star a^{-10}$$ vaut $$a^{-7}$$. · Le produit $$a^9 \star a^{-5}$$ vaut $$a^4$$.

Explication

La règle donne la somme des exposants : 9+(−5)=49+(-5)=4, −6+(−2)=−8-6+(-2)=-8 et 3+(−10)=−73+(-10)=-7. Les produits ne se calculent pas en multipliant les exposants.

Révisez avec les flashcards

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Que modélisent les groupes ?

Des systèmes d’actions composables.

Que permet l’inverse d’une action dans un groupe ?

De retrouver l’état initial.

Quelles propriétés définissent un groupe ?

Une loi interne associative, un élément neutre et un symétrique pour chaque élément.

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