Fiche de révision : Introduction aux lois de probabilité et distributions

📋 Plan du Cours

1. Lois de probabilité
2. Estimation statistique
3. Test d'hypothèses
4. Distribution discrète
5. Distribution continue
6. Loi uniforme
7. Loi exponentielle
8. Loi normale
9. Loi de Poisson
10. Loi binomiale

📖 1. Lois de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Variable qui prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs possibles, chacune associée à une probabilité spécifique.
• Loi de probabilité : Fonction qui attribue à chaque valeur possible d'une variable aléatoire discrète une probabilité positive, telle que la somme de toutes ces probabilités est égale à 1.
• Espérance mathématique E(X) : Moyenne pondérée des valeurs possibles de la variable aléatoire discrète, calculée comme la somme des produits de chaque valeur par sa probabilité.
• Variance V(X) : Mesure de la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance, calculée comme la moyenne des carrés des écarts à l'espérance, moins le carré de l'espérance.
• Equiprobabilité : Situation où toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète ont la même probabilité, notamment dans la loi uniforme discrète.
• Fonction de répartition FX(k) : Fonction qui donne la probabilité que la variable aléatoire discrète X prenne une valeur inférieure ou égale à k, c’est-à-dire FX(k) = P(X ≤ k).

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité d'une variable discrète doit satisfaire deux conditions : chaque probabilité est ≥ 0 et la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
• La loi uniforme discrète est caractérisée par des probabilités égales pour chaque valeur dans un ensemble fini, avec P(X=k) = 1/n pour k dans l'ensemble. Elle est souvent illustrée par le jet de dé ou le tirage d’un loto.
• La fonction de répartition FX(k) est croissante, continue à droite, et tend vers 1 lorsque k tend vers l'infini. Elle permet de calculer facilement des probabilités d'événements liés à la variable.
• La loi géométrique modélise le nombre d’épreuves jusqu’à la première réussite, avec P(X=k) = p(1-p)^{k-1} pour k ≥ 1, où p est la probabilité de succès à chaque épreuve.
• La loi binomiale décrit le nombre de succès dans n épreuves indépendantes avec la même probabilité p, avec P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}.
• La loi de Poisson modélise le nombre d’événements dans une période ou espace donné, avec un paramètre λ représentant la moyenne, et P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k!.

💡 À retenir

Les lois de probabilité discrètes permettent de modéliser et calculer la probabilité d’événements discrets, en utilisant des fonctions de répartition et des paramètres comme l’espérance et la variance, essentielles pour analyser la dispersion et la tendance centrale des variables.

📖 2. Estimation statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Estimation ponctuelle : Méthode consistant à utiliser une statistique calculée à partir d’un échantillon pour donner une valeur unique, appelée estimateur, d’un paramètre inconnu de la population (ex : moyenne, proportion).
• Intervalle de confiance : Plage de valeurs calculée à partir d’un échantillon, dans laquelle on estime avec un certain niveau de confiance que se trouve le paramètre inconnu de la population (ex : 95%).
• Test d’hypothèse statistique : Procédé permettant de vérifier une affirmation sur un paramètre de la population en utilisant un échantillon, en formulant une hypothèse nulle (H0) et une hypothèse alternative (H1), puis en acceptant ou rejetant H0 selon un seuil de signification.
• Test du Khi-Deux : Test statistique d’adéquation permettant de comparer une distribution observée à une distribution théorique, en utilisant la statistique du Khi-Deux, pour évaluer si l’échantillon suit la loi hypothétique.
• Étude paramétrique : Analyse statistique basée sur l’estimation et la vérification de paramètres précis (moyenne, variance, proportion) d’une loi de probabilité, en supposant une distribution spécifique (ex : loi normale).

📝 Points essentiels

• L’estimation ponctuelle repose sur une statistique calculée à partir de l’échantillon, sans tenir compte de l’incertitude liée à l’échantillonnage.
• L’intervalle de confiance fournit une fourchette dans laquelle le paramètre inconnu a une probabilité donnée (par exemple 95%) de se trouver, en tenant compte de la variabilité de l’échantillon.
• Le test d’hypothèse permet de prendre une décision statistique en comparant la statistique calculée à une valeur critique, en utilisant un seuil de signification (α).
• Le test du Khi-Deux est utilisé pour vérifier la conformité d’un échantillon à une distribution théorique, notamment dans le cadre de l’étude d’adéquation (voir section 4).
• L’étude paramétrique suppose que la variable suit une loi précise, ce qui permet d’estimer ses paramètres et de réaliser des tests pour valider cette hypothèse.

💡 À retenir

L’estimation statistique consiste à déduire des paramètres de la population à partir d’un échantillon, en utilisant des méthodes qui quantifient l’incertitude, comme les intervalles de confiance et les tests d’hypothèses.

📖 3. Test d'hypothèses

🔑 Notions clés & Définitions

Test d’adéquation à une distribution théorique : procédure statistique permettant de vérifier si une variable aléatoire suit une loi spécifique en comparant la distribution observée avec la distribution théorique attendue, notamment via le test du Khi-Deux (voir section 2).

Tests statistiques de validité d’hypothèses : méthodes permettant de déterminer si une hypothèse nulle (H0) peut être rejetée ou non, en utilisant des statistiques de test et en contrôlant le risque d’erreur de premier type (voir aussi "test d’hypothèse statistique" en section 2).

Hypothèses H1, H2, H3 pour loi binomiale : hypothèses spécifiques pour vérifier si une variable suit une loi binomiale, où H1 concerne la réussite p, H2 le nombre d’épreuves n, et H3 l’indépendance des essais (voir section 10).

📝 Points essentiels

• Le test du Khi-Deux est une méthode couramment utilisée pour l’adéquation à une distribution théorique (section 2). Il compare la distribution observée à la distribution attendue sous H0, en utilisant la statistique de Khi-Deux, qui suit approximativement une loi du même nom pour des échantillons suffisamment grands.

• La validité d’un test d’hypothèse repose sur la formulation claire de H0 (hypothèse nulle) et H1 (hypothèse alternative), ainsi que sur le calcul de la statistique de test et la détermination de la zone critique ou de la p-value.

• Pour la loi binomiale, la vérification des hypothèses H1, H2, H3 permet de confirmer si la modèle est approprié, notamment en testant si la proportion p est stable, si le nombre d’épreuves n est correct, et si celles-ci sont indépendantes.

• La relation entre loi binomiale et loi de Poisson (section 10) est importante dans le contexte des tests, notamment lorsque n est grand et p petit, la loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson, ce qui simplifie les calculs.

💡 À retenir

Les tests d’hypothèses, notamment le test du Khi-Deux, permettent de valider ou rejeter une hypothèse sur la distribution d’une variable, en s’appuyant sur la comparaison entre la distribution observée et la distribution théorique sous H0. La vérification des hypothèses H1, H2, H3 pour la loi binomiale est essentielle pour confirmer la modélisation statistique appropriée.

📖 4. Distribution discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi géométrique : ****** (p, 1−p)** : loi de la variable aléatoire X qui compte le nombre d’épreuves indépendantes jusqu’à la première réussite, avec P(X=k) = p(1−p)^{k−1} pour k ≥ 1. (source)

• Loi de Bernoulli : X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (0 ≤ p ≤ 1) si P(X=1)=p et P(X=0)=1−p. Elle modélise un seul essai avec deux résultats possibles. (source)

• Loi binomiale : B(n,p) : loi de la variable X qui compte le nombre de succès dans n essais indépendants de Bernoulli, chacun avec probabilité p. La probabilité P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k}. (source)

• Définition et propriétés des lois discrètes : Les lois discrètes sont caractérisées par leur fonction de probabilité P(X=k), avec une somme sur tous les k égale à 1. La loi uniforme discrète est un cas particulier où tous les résultats ont la même probabilité. La loi de Poisson est une limite de la binomiale lorsque n→∞, p→0 avec np fixé. (source)

• Exemples de variables discrètes : Nombre de stylos défectueux dans un échantillon, nombre d’appels reçus par heure, nombre d’accidents, nombre de pièces défectueuses, etc. Ces variables prennent des valeurs entières et dénombrables. (source)

📝 Points essentiels

• La loi géométrique modélise le nombre d’épreuves jusqu’à la première réussite, avec P(X=k) = p(1−p)^{k−1}. La fonction de répartition est F_X(k) = P(X ≤ k) = 1−(1−p)^k. Elle est utile pour modéliser des essais jusqu’à succès, comme la détection d’un défaut.

• La loi de Bernoulli est la plus simple, représentant un seul essai avec succès ou échec, caractérisée par l’espérance E(X)=p et la variance V(X)=p(1−p).

• La loi binomiale généralise Bernoulli à n essais, avec E(X)=np et V(X)=np(1−p). La probabilité d’obtenir k succès est donnée par la formule combinatoire P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}.

• La loi de Poisson apparaît comme limite de la binomiale lorsque n→∞, p→0, avec λ=np. Elle est caractérisée par P(X=k)=e^{−λ} λ^k / k!.

• La distribution uniforme discrète est un cas où chaque résultat dans un ensemble fini a la même probabilité, P(X=k)=1/n pour k dans {1, 2, ..., n}.

• La fonction de probabilité d’une variable discrète doit satisfaire la somme de toutes ses probabilités égale à 1. La fonction de répartition donne la probabilité que X soit inférieure ou égale à une valeur donnée.

💡 À retenir

Les lois discrètes modélisent des phénomènes dénombrables, avec la loi géométrique, Bernoulli, binomiale et Poisson étant les principales, chacune adaptée à des contextes spécifiques comme le nombre d’essais, succès ou événements.

📖 5. Distribution continue

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de densité (f) : Fonction non négative définie sur ℝ, telle que l’intégrale de f sur ℝ est égale à 1. Elle décrit la répartition de la probabilité pour une variable continue. (Caractéristiques) : f(x) ≥ 0, ∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx = 1.

• Fonction de répartition continue (F) : Fonction continue croissante, définie par F(x) = P(X ≤ x), avec une limite à +∞ égale à 1 et à -∞ égale à 0. Elle caractérise la distribution d’une variable continue. (Caractéristiques) : F est continue, croissante, limite 0 en -∞ et 1 en +∞.

• Caractéristiques des lois continues : La loi est entièrement déterminée par sa fonction de densité ou sa fonction de répartition. La densité donne la "densité de probabilité" en chaque point, tandis que la répartition donne la probabilité cumulée jusqu’à x. La surface sous la courbe de la densité est toujours égale à 1.

• Définition générale des lois continues : Une loi continue est caractérisée par une fonction de densité f(x) ≥ 0, intégrant à 1, ou par sa fonction de répartition F(x) continue, croissante, avec F(-∞)=0 et F(+∞)=1. La probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [a, b] est donnée par l’intégrale de f(x) sur [a, b].

📝 Points essentiels

• La fonction de densité f(x) doit satisfaire : f(x) ≥ 0 pour tout x, et ∫_{-∞}^{+∞} f(x) dx = 1. La probabilité que X soit dans [a, b] est ∫_a^b f(x) dx.

• La fonction de répartition F(x) est liée à la densité par la relation : F(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt. Elle est continue, croissante, et limite à 0 en -∞ et 1 en +∞.

• La distribution uniforme sur [a, b] a une densité constante : f(x) = 1/(b - a) pour x ∈ [a, b], et F(x) = (x - a)/(b - a) pour x ∈ [a, b].

• La loi exponentielle de paramètre λ > 0 a une densité : f(x) = λ e^{-λx} pour x ≥ 0, et une fonction de répartition : F(x) = 1 - e^{-λx} pour x ≥ 0.

• La loi normale centrée réduite (μ=0, σ=1) a une densité : f(x) = (1/√(2π)) e^{-x²/2}.

💡 À retenir

Une loi continue est entièrement décrite par sa fonction de densité ou sa fonction de répartition, permettant de calculer facilement toutes les probabilités associées à la variable. La densité représente la "densité de probabilité" en chaque point, tandis que la répartition donne la probabilité cumulée jusqu’à ce point.

📖 6. Loi uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme discrète : Variable aléatoire X dont toutes les valeurs de l’ensemble fini ε = {1, 2, ..., n} ont la même probabilité, c’est-à-dire P(X = k) = 1/n pour tout k dans ε. (source)

• Loi uniforme continue : Variable aléatoire X dont la fonction de densité est constante sur un intervalle [a, b], c’est-à-dire f(x) = 1/(b - a) pour x dans [a, b], et nulle ailleurs. La fonction de répartition F(x) est linéaire sur [a, b], avec F(x) = (x - a)/(b - a). (source)

• Fonction de densité constante sur [a, b] : Fonction f(x) = 1/(b - a) si x ∈ [a, b], 0 sinon. Elle représente une densité uniforme, c’est-à-dire que la probabilité est répartie uniformément sur l’intervalle. (source)

📝 Points essentiels

• La loi uniforme discrète est caractérisée par une probabilité égale pour chaque valeur de l’ensemble fini ε, avec P(X = k) = 1/n, où n = |ε|. Exemple : lancer de dé (n=6), tirage au sort d’un numéro d’ordre.
• La loi uniforme continue est définie par une fonction de densité constante sur [a, b], ce qui implique que la probabilité que X prenne une valeur dans un sous-intervalle [a, x] est proportionnelle à la longueur de cet intervalle, avec F(x) = (x - a)/(b - a) pour x dans [a, b].
• La fonction de densité f(x) = 1/(b - a) est dérivée de la fonction de répartition linéaire F(x). La surface sous la courbe est égale à 1, ce qui respecte la propriété d’une densité.
• Exemple illustratif : durée d’attente à un arrêt de bus, où l’attente est uniformément répartie entre 0 et 15 minutes. La probabilité d’attendre entre 5 et 10 minutes est F(10) - F(5) = (10/15) - (5/15) = 0,33.

💡 À retenir

La loi uniforme modélise une situation où chaque résultat dans un intervalle ou ensemble fini a la même probabilité, avec une fonction de répartition linéaire pour la version continue.

📖 7. Loi exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi exponentielle : Loi de probabilité continue caractérisée par une fonction de densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$, où $\lambda > 0$ est le paramètre de taux. Elle modélise le temps entre des événements indépendants et homogènes dans le temps, comme la durée de vie d’un appareil ou le temps d’attente.

• Fonction de densité exponentielle : Fonction $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, définie pour $x \geq 0$, qui indique la densité de probabilité pour la variable aléatoire suivant une loi exponentielle. La surface sous la courbe est égale à 1, garantissant la validité de la loi.

• Fonction de répartition exponentielle : Fonction $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$, pour $x \geq 0$, qui donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à $x$. Elle croît de 0 à 1 de manière asymptotique.

• Caractéristiques $E(X)$ et $V(X)$ de la loi exponentielle :

  • Espérance mathématique : $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ (temps moyen avant l’événement).
  • Variance : $V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ (dispersion autour de la moyenne).

• Exemple durée de fonctionnement cafetière : La durée de fonctionnement d’une cafetière suit une loi exponentielle, où $\lambda$ représente le taux de panne par heure. La probabilité qu’elle tombe en panne dans un certain délai peut être calculée à partir de la fonction de répartition.

📝 Points essentiels

• La loi exponentielle modélise la durée entre deux événements successifs dans un processus de Poisson, où les événements sont indépendants et se produisent à un taux constant $\lambda$.
• La fonction de densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ est décroissante exponentiellement, illustrant une forte probabilité de courte durée et une décroissance rapide pour les durées plus longues.
• La fonction de répartition $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ permet de calculer la probabilité que l’événement survienne avant un temps $x$.
• La moyenne $E(X) = 1/\lambda$ représente le temps moyen avant le prochain événement, tandis que la variance $V(X) = 1/\lambda^2$ indique la dispersion autour de cette moyenne.
• La loi exponentielle est souvent utilisée pour modéliser la durée de vie d’un produit ou le temps d’attente dans un contexte de processus de Poisson.

💡 À retenir

La loi exponentielle est essentielle pour modéliser les temps d’attente ou de défaillance dans des processus où les événements surviennent de façon indépendante à un taux constant, avec une espérance donnée par $1/\lambda$.

📖 8. Loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale centrée réduite : loi normale de moyenne 0 et variance 1, notée N(0;1), dont la fonction de densité est donnée par $f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}}$ (source : caractéristiques de la loi normale).
• Fonction de densité de la loi normale : fonction $f(x)$ décrivant la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur proche de x, caractérisée par une courbe en cloche symétrique. La fonction est donnée par $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}}$ pour une loi normale de moyenne m et d'écart-type σ (source : caractéristiques de la loi normale).
• Transformation T = (X − m)/σ : transformation standardisant une variable normale X de moyenne m et de variance σ² en une variable normale centrée réduite T, qui suit la loi N(0;1).
• Caractéristiques E(X) = m, V(X) = σ² : espérance et variance d'une variable suivant une loi normale, où m est la moyenne et σ² la variance.
• Calcul de probabilités avec loi normale : utilisation de la fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) pour déterminer la probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle, en passant par la transformation standard T.

📝 Points essentiels

• La loi normale est caractérisée par sa fonction de densité $f(x)$ en forme de cloche, symétrique autour de la moyenne m. La transformation standard $T = (X - m)/\sigma$ permet d'utiliser la loi normale centrée réduite pour simplifier les calculs de probabilités (source : caractéristiques de la loi normale).
• La fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ peut être calculée via la loi normale centrée réduite : $F(x) = \Phi\left(\frac{x - m}{\sigma}\right)$, où $\Phi$ est la fonction de répartition de N(0;1).
• La loi normale est souvent utilisée pour modéliser des phénomènes naturels ou techniques, notamment grâce à la transformation T qui permet d'utiliser des tables ou logiciels pour obtenir rapidement les probabilités (exemples : durée d’attente, mesures physiques).
• La loi normale centrée réduite est une référence universelle, car toute variable normale peut être standardisée : si $X \sim N(m, \sigma^2)$, alors $T = (X - m)/\sigma \sim N(0;1)$.
• La probabilité que X prenne une valeur dans un intervalle [a, b] s’obtient par $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$, avec $F(x) = \Phi\left(\frac{x - m}{\sigma}\right)$.

💡 À retenir

La loi normale, grâce à sa fonction de densité en forme de cloche et à la transformation standard, permet de calculer facilement les probabilités pour toute variable normalement distribuée, ce qui en fait un outil fondamental en statistique et en modélisation.

📖 9. Loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Poisson : loi de probabilité discrète qui modélise le nombre d’événements indépendants se produisant dans une unité de temps ou d’espace, lorsque ces événements sont rares et que leur occurrence est proportionnelle à la durée ou à la surface considérée.
• Paramètre λ : nombre moyen d’événements par unité de temps ou d’espace, caractéristique de la loi de Poisson.
• Formule de probabilité P(X=k) : $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, pour $k \in \mathbb{N}$.
• Indépendance et non simultanéité des événements : hypothèses fondamentales pour que la loi de Poisson soit applicable, signifiant que la survenue d’un événement n’influence pas celle des autres, et que deux événements ne peuvent pas se produire en même temps.
• Exemples d’application : nombre d’accidents, appels téléphoniques reçus, défauts dans un tissu, arrivées d’avions, etc.

📝 Points essentiels

• La loi de Poisson est caractérisée par son paramètre $\lambda$, qui représente le nombre moyen d’événements dans une période ou une zone donnée.
• La probabilité d’observer exactement $k$ événements est donnée par la formule $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, où $k$ est un entier naturel.
• La loi de Poisson est souvent utilisée lorsque les événements sont rares, indépendants, et que leur nombre moyen est proportionnel à la durée ou à la surface considérée.
• La propriété d’indépendance et la non simultanéité assurent que la survenue d’un événement n’affecte pas la probabilité des autres.
• Exemples concrets : nombre d’appels par heure, nombre de défauts par mètre, nombre d’accidents, etc.

💡 À retenir

La loi de Poisson modélise le nombre d’événements rares et indépendants dans une unité de temps ou d’espace, avec un nombre moyen $\lambda$, et sa formule de probabilité est $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$.

📖 10. Loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale B(n,p) : variable aléatoire discrète représentant le nombre de succès dans n essais indépendants, chacun ayant une probabilité p de succès, avec pour paramètres n (nombre d’épreuves) et p (probabilité de succès).
• Formule de probabilité P(X=k) : pour k entier, $P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$, où $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial.
• Espérance np : valeur moyenne attendue de la variable binomiale, indiquant le nombre moyen de succès dans n essais.
• Variance np(1-p) : mesure de la dispersion ou de la variabilité autour de l’espérance, dépendant de n et p.
• Lien avec la loi de Poisson : lorsque n augmente et p diminue de façon à ce que np reste constant, la loi binomiale tend vers une loi de Poisson de paramètre λ = np (approximation).

📝 Points essentiels

• La loi binomiale modélise des expériences avec deux issues possibles (succès ou échec), répétées n fois, indépendamment.
• La formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ permet de calculer la probabilité d’obtenir exactement k succès.
• La moyenne (espérance) et la variance sont respectivement $np$ et $np(1-p)$, ce qui permet d’évaluer la tendance centrale et la dispersion.
• La loi binomiale peut être utilisée pour modéliser des situations telles que pile ou face, contrôle qualité, ou tout autre contexte avec essais indépendants.
• La convergence vers la loi de Poisson est valable notamment lorsque n est grand, p petit, et np fixé, ce qui simplifie les calculs pour de grands n.

💡 À retenir

La loi binomiale permet de modéliser le nombre de succès dans une série d’épreuves indépendantes, avec une probabilité constante, et tend vers une loi de Poisson lorsque n devient très grand avec np fixé.

📊 Tableaux de Synthèse

📋 Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre loi de Poisson et loi binomiale : la Poisson est une limite de la binomiale lorsque n → ∞ et p → 0, avec λ = np.
2. Confondre la loi uniforme discrète et la loi continue : la première a un nombre fini de valeurs, la seconde une infinité.
3. Oublier que la fonction de répartition FX(k) est croissante, limite à 1, et continue à droite.
4. Confondre espérance et moyenne empirique : l’espérance théorique est une valeur fixe, la moyenne d’un échantillon est une estimation.
5. Mauvaise utilisation du test du Khi-Deux : ne pas vérifier que les effectifs attendus sont suffisants (≥ 5).
6. Confondre la variance et l’écart-type : la variance est la moyenne des carrés des écarts, l’écart-type est sa racine carrée.
7. Mal interpréter l’intervalle de confiance : ne pas considérer le niveau de confiance (ex : 95%) comme une probabilité que le paramètre se trouve dans l’intervalle.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une variable aléatoire discrète et ses propriétés.
2. Maîtriser la formule de la loi binomiale : P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k}.
3. Savoir calculer l’espérance et la variance pour la loi binomiale, la loi de Poisson, et la loi normale.
4. Comprendre la différence entre loi discrète et loi continue, notamment la loi exponentielle.
5. Savoir utiliser la fonction de répartition FX(k) pour calculer des probabilités.
6. Connaître la formule de la loi géométrique : P(X=k) = p(1−p)^{k−1}.
7. Savoir que la loi uniforme discrète a P(X=k) = 1/n pour k dans {1,...,n}.
8. Maîtriser la relation entre loi binomiale et loi de Poisson (approximations).
9. Connaître la formule de la loi de Poisson : P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k!.
10. Comprendre le principe du test du Khi-Deux pour l’adéquation à une distribution.
11. Connaître la définition et l’usage des intervalles de confiance en estimation.
12. Savoir vérifier les hypothèses H1, H2, H3 pour la loi binomiale.