Fiche de révision : Introduction aux matrices et applications linéaires

📋 Plan du Cours

1. Matrices et composantes
2. Espace vectoriel des matrices
3. Matrices carrées et formes particulières
4. Produit matriciel et anneau
5. Inverse et matrices diagonales
6. Transposition et symétrie
7. Représentation des vecteurs et applications linéaires
8. Équivalence, similarité et trace
9. Rang et opérations élémentaires
10. Déterminants
11. Systèmes linéaires et Cramer

📖 1. Matrices et composantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Une matrice est une famille d’éléments de K indexée par une liste de lignes et de colonnes, écrite comme un tableau à n×p cases.
• Coefficients d’indice (i, j) : Un coefficient d’indice (i, j) est l’élément de la matrice situé sur la ième ligne et la jème colonne.
• Espace Mn,p(K) : Mn,p(K) désigne l’ensemble des matrices de type (n, p) à coefficients dans K.
• Matrice élémentaire Ei,j : Une matrice élémentaire Ei,j est une matrice de Mn,p(K) qui est nulle partout sauf au poste (i, j) où elle vaut 1.
• Base canonique : La base canonique de Mn,p(K) est la famille (Ei,j) pour 1⩽i⩽n et 1⩽j⩽p, utilisée pour décomposer toute matrice.

📝 Points essentiels

• Dans Mn,p(K), l’indice i repère la ligne et l’indice j repère la colonne, donc ai,j est en (i, j).
• Les matrices de M1,p(K) sont des matrices lignes de la forme (a1, …, ap), et celles de Mp,1(K) sont des matrices colonnes de la forme (a1; …; ap).
• La matrice nulle de Mn,p(K) se note 0n,p (ou simplement 0), et l’opposée de A=(ai,j) est −A=(−ai,j).
• Le tableau permet de définir la ième ligne Li=(ai,1,…,ai,p) et la jème colonne Cj=(a1,j,…,an,j).
• La famille (Ei,j)1⩽i⩽n,1⩽j⩽p forme une base canonique de Mn,p(K) et toute matrice A s’écrit comme somme ai,jEi,j.
• On a dim Mn,p(K)=np, dim M1,p(K)=p et dim Mn,1(K)=n.

📖 2. Espace vectoriel des matrices

📝 Points essentiels

• Dans Mn,p(K), la somme A+B et le produit scalaire λA sont définis coefficient par coefficient : (A+B)i,j=ai,j+bi,j et (λA)i,j=λai,j.
• L’élément neutre de Mn,p(K) pour l’addition est la matrice nulle 0n,p.
• L’opposée de A=(ai,j) est la matrice −A=(−ai,j).
• La famille (Ei,j)1⩽i⩽n 1⩽j⩽p est une base de Mn,p(K).
• On a dim Mn,p(K)=np.

💡 Astuce mémo

Ei,j = “un seul 1 à la case (i,j), tout le reste à 0”.

📖 3. Matrices carrées et formes particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice carrée : Une matrice carrée est une matrice de type (n,n), notée Mn(K), dont le nombre de lignes égale le nombre de colonnes.
• Matrice diagonale : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale sont nuls.
• Matrice triangulaire : Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les coefficients d’un seul côté de la diagonale sont nuls (au-dessus pour triangulaire inférieure, en-dessous pour triangulaire supérieure).
• Matrice scalaire : Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux, donc de la forme λIn.

📝 Points essentiels

• Dans Mn(K), les coefficients ai,i sont les coefficients diagonaux et leur ensemble constitue la diagonale de la matrice.
• Une matrice A vérifie A diagonale si et seulement si tous les coefficients ai,j avec i≠j sont nuls.
• Une matrice diagonale diag(d1,…,dn) est définie par une diagonale (d1,…,dn) et des zéros ailleurs.
• In est la matrice identité d’ordre n, donnée par δi,j=0 si i≠j et δi,j=1 si i=j (notation de Kronecker).
• A est triangulaire supérieure si {j<i⇒ai,j=0} et triangulaire inférieure si {i<j⇒ai,j=0}.
• Dn(K)=T+n(K)∩T−n(K) et dim(Dn(K))=n tandis que dim(T+n(K))=dim(T−n(K))=n(n+1)/2.

💡 Astuce mémo

Diagonale = “tout sauf la diagonale vaut 0” ; triangulaire = “un côté de la diagonale vaut 0” ; scalaire = “diagonale constante” (λIn).

📖 4. Produit matriciel et anneau

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit matriciel : Le produit matriciel AB est une multiplication de matrices où l’entrée mi,k est la somme des produits ai,j bj,k pour j=1 à p.
• Associativité : L’égalité (AB)C = A(BC) vaut dès que les produits indiqués sont définis, ce qui permet de regrouper les facteurs sans changer le résultat.
• Bilinéarité : Le produit matriciel est linéaire séparément dans chaque facteur, ce qui permet de distribuer les combinaisons linéaires entre A et B.
• Anneau Mn(K) : L’ensemble Mn(K) muni de + et de × forme un anneau, non commutatif dès que n≥2.

📝 Points essentiels

• Le produit AB est défini pour A∈Mn,p(K) et B∈Mp,q(K) et donne une matrice de taille n×q avec mi,k=∑_{j=1}^p ai,j bj,k.
• Le produit matriciel n’est en général pas commutatif : même si AB existe, BA peut ne pas avoir de sens et, quand il a du sens, on a souvent AB≠BA.
• Si A, B, C sont de tailles compatibles, alors (AB)C = A(BC).
• Pour des tailles compatibles, on a aussi A(λB+μC)=λ(AB)+μ(AC) et (λA+μB)C=λ(AC)+μ(BC).
• Dans l’anneau Mn(K), le neutre additif est la matrice nulle et le neutre multiplicatif est la matrice identité In.
• Si n=1, Mn(K) s’identifie à K et devient commutatif.

💡 Astuce mémo

AB : somme sur le rang commun j (compatibilité) ; ordre compte : AB ≠ BA en général.

📖 5. Inverse et matrices diagonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice identité : Matrice qui joue le rôle de neutre multiplicatif : en la multipliant, on retrouve la matrice d’origine.
• Sous-anneau commutatif des diagonales : Ensemble des matrices diagonales Dn(K) fermé pour l’addition et la multiplication, et commutatif.
• Groupe linéaire GLn(K) : Ensemble des matrices carrées inversibles d’ordre n muni de la multiplication, avec inverse dans l’ensemble.

📝 Points essentiels

• Si $D=\mathrm{diag}(a_1,\dots,a_n)$ et $E=\mathrm{diag}(b_1,\dots,b_n)$, alors $DE=ED=\mathrm{diag}(a_1b_1,\dots,a_nb_n)$.
• Une matrice diagonale $A=\mathrm{diag}(a_1,\dots,a_n)$ est inversible si et seulement si $\forall i\in\{1,\dots,n\}$, $a_i\neq 0$.
• Si $A$ est inversible et diagonale, alors $A^{-1}=\mathrm{diag}(a_1^{-1},\dots,a_n^{-1})$.
• Si $A$ est inversible alors $A^{-1}$ est inversible et $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.
• Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible et $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
• L’ensemble des matrices inversibles $\mathrm{GL}_n(K)$ forme un groupe pour la multiplication.

💡 Astuce mémo

Diagonale : produit case par case $(a_i)(b_i)$, inverse = réciproques $(a_i^{-1})$ et seulement si aucun $a_i$ n’est nul.

📖 6. Transposition et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Transposée d’une matrice : La transposée d’une matrice échange ses lignes et ses colonnes pour former une matrice dont l’entrée (j,i) vaut l’entrée (i,j).
• Matrice symétrique : Une matrice est symétrique lorsque sa transposée est égale à la matrice elle-même.
• Matrice antisymétrique : Une matrice est antisymétrique lorsque sa transposée est l’opposé de la matrice.
• Décomposition symétrique-antisymétrique : Toute matrice carrée se décompose de façon unique en somme d’une partie symétrique et d’une partie antisymétrique.

📝 Points essentiels

• Pour toutes matrices compatibles et tous scalaires λ, μ, on a t(λA+μB)=λtA+μtB.
• On a toujours t(tA)=A et, si AB est défini, t(AB)=tB tA.
• Si A est inversible alors tA est inversible et (tA)^{-1}=t(A^{-1}), et pour tout k∈N on a t(A^k)=(tA)^k.
• A est symétrique ⇔ pour tous i,j, a_{j,i}=a_{i,j} et A est antisymétrique ⇔ pour tous i,j, a_{j,i}=-a_{i,j}.
• Si M∈S_n(K) et M est inversible alors M^{-1}∈S_n(K), et si M∈A_n(K) et M est inversible alors M^{-1}∈A_n(K).
• La décomposition unique est S=1/2(M+tM) et A=1/2(M-tM), avec dim S_n(K)=n(n+1)/2 et dim A_n(K)=n(n-1)/2.

📖 7. Représentation des vecteurs et applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Isomorphisme canonique : L’isomorphisme canonique identifie l’espace des applications linéaires L(Kp,Kn) aux matrices Mn,p(K) via le choix des bases canoniques.
• Matrice canoniquement associée : La matrice canoniquement associée à une application linéaire est la matrice de cette application dans les bases canoniques correspondantes.
• Application linéaire canoniquement associée : L’application linéaire canoniquement associée à une matrice est l’application dont cette matrice est la représentation dans les bases canoniques.
• Matrice représentative : La matrice représentative d’une application linéaire u dépend des bases choisies et encode l’action de u par une multiplication matricielle.

📝 Points essentiels

• Pour u∈L(E,F) et A=MatB,B'(u), on a l’équivalence y=u(x) ⇐⇒ Y=AX pour tout couple (x,y) dans E×F.
• Si X=MatB(x) et Y=MatB'(y), alors MatB'(u(x))=MatB,B'(u)·MatB(x) pour tout x∈E.
• La matrice A satisfaisant Y=AX pour tout (x,y) est unique pour le couple de bases (B,B').
• IdE est représentée par In dès que la même base B est utilisée pour l’origine et l’arrivée.
• Pour v∈L(E,F) et u∈L(F,G), MatBE,BG(u∘v)=MatBF,BG(u)·MatBE,BF(v).
• u est un isomorphisme si et seulement si sa matrice A=MatB,B'(u) est inversible, et alors MatB',B(u−1)=A−1.

💡 Astuce mémo

Action linéaire = multiplication : y=u(x) devient Y=AX (coordonnées dans les bonnes bases).

📖 8. Équivalence, similarité et trace

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence de matrices : Deux matrices de même taille sont équivalentes s’il existe des matrices inversibles qui les transforment l’une en l’autre par B = MAN.
• Similarité de matrices : Deux matrices carrées sont semblables si l’une s’obtient par conjugaison via une matrice inversible, B = P^{-1}AP.
• Trace d’une matrice carrée : La trace d’une matrice carrée A est la somme de ses coefficients diagonaux, tr(A)=∑{i=1}^n a{i,i}.
• Trace d’un endomorphisme : La trace d’un endomorphisme u est la trace de sa matrice dans n’importe quelle base de l’espace.

📝 Points essentiels

• A et B sont équivalentes (Mn,p(K)) s’il existe M∈GLn(K) et N∈GLp(K) telles que B = MAN, correspondant à la même application linéaire dans des bases adaptées.
• A et B sont semblables (Mn(K)) s’il existe P∈GLn(K) tel que B = P^{-1}AP, donc elles décrivent le même endomorphisme dans deux bases.
• Si u a pour matrices A=MatB(u) et A′=MatB′(u), alors A′=P^{-1}AP avec P matrice de passage de B à B′.
• La trace vérifie tr(AB)=tr(BA) pour A,B∈Mn(K).
• Si A et B sont semblables, alors elles ont la même trace.
• La définition de tr(u) ne dépend pas de la base choisie et tr(f∘g)=tr(g∘f) pour f,g∈L(E).

💡 Astuce mémo

Conjugaison conserve la trace : tr(P^{-1}AP) = tr(A), et la trace “commute” dans AB : tr(AB)=tr(BA).

📖 9. Rang et opérations élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une application linéaire : Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image.
• Matrice Jr : La matrice Jr est une forme échelonnée bloc avec r termes diagonaux 1 et le reste à 0, adaptée aux matrices Mn,p(K).
• Opérations élémentaires sur les lignes : Les opérations élémentaires sur les lignes transforment la matrice par dilatation, transvection ou permutation de lignes.
• Opérations élémentaires sur les colonnes : Les opérations élémentaires sur les colonnes transforment la matrice par dilatation, transvection ou permutation de colonnes.
• Méthode du pivot de Gauss : La méthode du pivot de Gauss calcule le rang en ramenant la matrice à une forme où un nombre r de pivots sont non nuls.

📝 Points essentiels

• Pour toute matrice A ∈ Mn,p(K), on a rg(A) ≤ min(n,p).
• Pour A ∈ Mn,p(K) et B ∈ Mp,q(K), on a rg(AB) ≤ min(rg(A),rg(B).
• Si A carrée est inversible alors rg(AB)=rg(B), et si B carrée est inversible alors rg(AB)=rg(A).
• Pour A ∈ Mn(K), A est inversible si et seulement si rg(A)=n.
• Pour A ∈ Mn,p(K), rg(A)=r si et seulement si A et Jr sont équivalentes via A=QJrP avec Q ∈ GLn(K) et P ∈ GLp(K).
• La transposée ne change pas le rang : rg(tA)=rg(A) et rg(A)=rg(C1,…,Cp)=rg(L1,…,Ln).

💡 Astuce mémo

Pivot de Gauss : un pivot non nul = +1 au rang, et on compte les pivots jusqu’à ce que le bloc restant soit nul.

📖 10. Déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant : Application qui associe à toute matrice carrée $A\in M_n(K)$ un scalaire $\det(A)\in K$, mesuré par récurrence en développant suivant une première ligne.
• Mineur : Mineur $\Delta_{i,j}$ : déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$.
• Cofacteur : Cofacteur $\operatorname{cof}(a_{i,j})$ : égal à $(-1)^{i+j}\Delta_{i,j}$, où $\Delta_{i,j}$ est le mineur correspondant.
• Comatrice : Comatrice $\operatorname{Com}(A)$ : matrice des cofacteurs, notée $(\operatorname{cof}(a_{i,j}))$.
• Déterminant d’un endomorphisme : Déterminant de $u\in\mathcal L(E)$ : déterminant de toute matrice représentant $u$, et ce choix ne dépend pas de la base.

📝 Points essentiels

• Pour $n=1$, si $A=(a)$ alors $\det(A)=a$, et pour $n>1$ on développe $\det(A)$ par la première ligne avec les mineurs $\det(A_{1,k})$ et les signes $(−1)^{1+k}$.
• La matrice $A\in M_n(K)$ est inversible si et seulement si $\det(A)\neq 0$, et alors $A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,{}^t\operatorname{Com}(A)$.
• Pour tout calcul par pivots de Gauss, ajouter à une ligne (ou colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes) ne change pas le déterminant, et multiplier une ligne (ou colonne) par $\lambda$ le multiplie par $\lambda$.
• Si on échange deux lignes (ou deux colonnes) distinctes, le déterminant change de signe, et on a aussi $\det(tA)=\det(A)$.
• Si une colonne quelconque de $A$ est nulle alors $\det(A)=0$, et si deux colonnes sont égales alors $\det(A)=0$ tandis que l’échange de deux colonnes échange seulement le signe.
• Si $M=(\begin{smallmatrix}A&B\\0&C\end{smallmatrix})$ avec $A\in M_p(K)$ et $C\in M_{n-p}(K)$, alors $\det(M)=\det(A)\det(C)$.

💡 Astuce mémo

Pivots de Gauss: addition→0 changement; multiplication→×λ; échange→signe −; déterminant=0 dès qu’une colonne est nulle ou répétée.

📖 11. Systèmes linéaires et Cramer

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de Cramer : Un système de Cramer est un système linéaire de n équations à n inconnues et de rang n.
• Matrice Ai : La matrice Ai est obtenue à partir de A en remplaçant la ième colonne par le vecteur colonne B.
• Système Σ : Un système Σ est donné sous la forme AX = B avec A carrée de taille n, X inconnue et B second membre.

📝 Points essentiels

• Un système de Cramer d’ordre n (n équations, n inconnues, rg = n) admet une unique solution.
• Dans Σ : AX = B, si Σ est un système de Cramer alors pour tout i∈J1,nK on a xi = det(Ai) / det(A).
• La matrice Ai se construit en remplaçant la ième colonne de A par B, ce qui permet de calculer xi par un quotient de déterminants.
• Pour un système de Cramer, la condition de rang n (donc rg(A)=n) garantit l’unicité de la solution.

💡 Astuce mémo

Cramer = Colonnes remplacées : xi vient du déterminant où la colonne i de A est remplacée par B (et divisé par det(A)).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les indices (i,j) : i repère la ligne et j repère la colonne, donc ai,j est à la case (i,j).
2. Penser que AB peut toujours se calculer : le produit AB n’est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B.
3. Croire que le produit matriciel est commutatif : même si BA a du sens, on a en général AB≠BA.
4. Mélanger diagonale et triangulaire : une matrice diagonale a aussi tous les coefficients hors diagonale nuls, alors qu’une triangulaire n’annule que d’un côté de la diagonale.
5. Oublier que la transposée inverse l’ordre d’un produit : t(AB)=tB tA, et que t(tA)=A.
6. Se tromper sur les matrices inversibles diagonales : A=diag(ai) est inversible ssi tous les ai sont non nuls, sinon elle n’admet pas d’inverse.
7. Confondre équivalence et similarité : équivalentes pour Mn,p via B=MAN, semblables pour Mn via B=P^{-1}AP.

✅ Checklist Examen

1. Donner la définition d’une matrice de Mn,p(K), du coefficient d’indice (i,j), et identifier les matrices lignes (M1,p(K)) et colonnes (Mn,1(K)).
2. Énoncer la base canonique (Ei,j), montrer que toute matrice A s’écrit A=∑i∑j ai,jEi,j, et utiliser dim(Mn,p(K))=np.
3. Décrire l’addition et la multiplication par scalaire dans Mn,p(K) coefficient par coefficient, puis la matrice nulle et l’opposée.
4. Définir et caractériser diagonale, triangulaire supérieure/inférieure, et scalaire (matrice de la forme λIn), avec la condition i≠j pour la diagonale.
5. Écrire le produit matriciel AB : taille n×q quand A∈Mn,p(K) et B∈Mp,q(K), et donner la formule mk,i=∑j ai,j bj,k (avec le bon indice de sommation).
6. Utiliser associativité et bilinéarité : (AB)C=A(BC), et A(λB+μC)=λ(AB)+μ(AC) quand les tailles sont compatibles.
7. Caractériser l’inversible dans Mn(K) et écrire les règles : (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, (A^{-1})^{-1}=A, et A inversible ⇔ rg(A)=n.
8. Pour Dn(K), donner : DE=ED=diag(aibi), et A=diag(ai) inversible ⇔ ∀i ai≠0, puis A^{-1}=diag(ai^{-1}).
9. Définir la transposée tA, donner t(tA)=A et t(AB)=tB tA, et caractériser symétrique (tA=A) et antisymétrique (tA=-A) puis la décomposition unique S=1/2(M+tM), A=1/2(M-tM).
10. Savoir la correspondance : u(x)=y ⇔ Y=AX (dans les bases canoniques ou celles choisies), et la règle de composition Mat(u∘v)=Mat(u)·Mat(v).
11. Énoncer équivalence (B=MAN) et similarité (B=P^{-1}AP), puis rappeler les propriétés de trace : tr(AB)=tr(BA) et matrices semblables ⇒ même trace, ainsi que tr(u) indépendante de la base.
12. Définir le rang de A comme rang de la famille des colonnes, donner les inégalités rg(A)≤min(n,p) et rg(AB)≤min(rg(A),rg(B)), puis la caractérisation rg(A)=r ⇔ A et Jr équivalentes.
13. Décrire les opérations élémentaires (lignes et colonnes) et leurs effets sur le rang, puis la méthode du pivot de Gauss pour obtenir rg(A).
14. Définir le déterminant par récurrence et le développement suivant la première ligne (ou colonne), puis les effets des opérations de pivot : ajout combinaison→déterminant inchangé, multiplication ligne/colonne→×λ, échange→changement de signe.