QCM : Introduction aux matrices et applications linéaires — 22 questions

Explication

Par définition, l’indice i repère la ligne et l’indice j repère la colonne. Le coefficient a_{i,j} est donc l’entrée placée à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne.

Explication

La base canonique de Mn,p(K) est formée des matrices élémentaires Ei,j, nulles partout sauf en (i,j) où elles valent 1. Toute matrice de Mn,p(K) se décompose comme somme des ai,jEi,j.

Explication

Dans Mn,p(K), les opérations vectorielles sont définies entrée par entrée : (A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j} et (λA)_{i,j}=λa_{i,j}. Ce n’est donc pas un produit matriciel.

Explication

La famille (Ei,j) contient n×p matrices élémentaires, qui forment une base de Mn,p(K). La dimension de cet espace est donc np.

Explication

Une matrice diagonale ne peut avoir de coefficients non nuls que sur sa diagonale principale. Tous les coefficients avec i≠j doivent donc être nuls.

Explication

Une matrice scalaire est de la forme λI_n : elle est diagonale et tous ses coefficients diagonaux sont identiques. Ce n’est pas seulement une matrice triangulaire.

Explication

Le produit matriciel est défini quand le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B, donc n×q.

Explication

L’ensemble Mn(K) muni de l’addition et du produit matriciel forme un anneau, mais il n’est pas commutatif dès que n≥2. En revanche, il possède bien une matrice identité comme neutre multiplicatif.

Explication

Une matrice diagonale est inversible si et seulement si chacun de ses coefficients diagonaux est non nul. Dans ce cas, son inverse est encore diagonale, avec les réciproques sur la diagonale.

Explication

L’inverse d’un produit s’obtient en inversant l’ordre des facteurs : (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. L’ordre est essentiel, car le produit matriciel n’est pas commutatif en général.

Explication

La transposée échange les lignes et les colonnes : l’entrée en position (j,i) devient l’entrée en position (i,j). La matrice opposée ou diagonale n’a rien à voir avec cette opération.

Explication

Une matrice antisymétrique vérifie tA = −A. À l’inverse, tA = A caractérise une matrice symétrique.

Explication

La matrice représentative encode l’action de l’application linéaire : si X sont les coordonnées de x, alors Y = AX sont celles de u(x). Elle dépend en général des bases choisies.

Explication

Une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases données est inversible. La diagonale ou la symétrie ne suffisent pas.

Explication

Deux matrices carrées sont semblables si l’une s’obtient par conjugaison : B = P^{-1}AP. La forme B = MAN correspond à l’équivalence, pas à la similarité.

Explication

La trace vérifie la relation fondamentale tr(AB)=tr(BA). En particulier, des matrices semblables ont la même trace car tr(P^{-1}AP)=tr(A).

Explication

Pour une matrice carrée A d’ordre n, A est inversible si et seulement si rg(A)=n. Un rang strictement inférieur à n exclut l’inversibilité.

Explication

La transposée ne change pas le rang : rg(tA)=rg(A). Le rang peut aussi se lire sur les lignes ou sur les colonnes.

Explication

Si une colonne est nulle ou si deux colonnes sont égales, le déterminant est nul. Une matrice triangulaire peut au contraire avoir un déterminant non nul.

Explication

Échanger deux lignes ou deux colonnes distinctes multiplie le déterminant par −1. C’est une règle essentielle des opérations élémentaires sur les déterminants.

Explication

Un système de Cramer est un système linéaire de n équations à n inconnues dont la matrice des coefficients est de rang n. Cette condition assure que le système admet une solution unique.

Explication

Pour appliquer Cramer, on construit A_i en remplaçant la ième colonne de A par le vecteur colonne B, puis on calcule x_i = det(A_i) / det(A). Remplacer une ligne serait une confusion avec la colonne demandée par la formule.