QCM : Introduction aux nombres complexes et leurs propriétés — 22 questions

Explication

Un complexe s’écrit de façon unique sous la forme a + ib, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Les autres propositions ne correspondent pas à l’écriture algébrique standard.

Explication

La somme de deux complexes se fait composante par composante : on additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. L’expression avec les produits correspond au produit de deux complexes, pas à leur somme.

Explication

Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Avoir Re(z)=0 caractérise au contraire un imaginaire pur.

Explication

La partie réelle est linéaire par rapport à un facteur réel : Re(λz)=λRe(z). La même propriété vaut pour la partie imaginaire.

Explication

Le conjugué d’un complexe s’obtient en changeant le signe de la partie imaginaire seulement. La partie réelle reste inchangée.

Explication

Un complexe est réel exactement lorsqu’il est égal à son conjugué. Être imaginaire pur correspond plutôt à la relation z = -z̄.

Explication

Le module est la norme associée au complexe, donnée par la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. Ce n’est pas simplement la somme ou la différence des coefficients.

Explication

Le module est multiplicatif : le module du produit est le produit des modules. Pour une somme, on a seulement l’inégalité triangulaire, et non l’égalité en général.

Explication

L’affixe du point M(a,b) est le complexe a + ib. Les coordonnées se lisent donc directement comme partie réelle puis partie imaginaire.

Explication

Le vecteur allant de M vers M' correspond à la différence des affixes : on soustrait l’affixe de départ à celle d’arrivée. Cette règle relie directement géométrie et calcul complexe.

Explication

L’affixe d’un point de coordonnées (a,b) est le complexe a + ib. Le coefficient de i correspond à la coordonnée imaginaire b.

Explication

L’affixe du vecteur allant de M vers M’ est la différence z’ − z. La somme correspondrait plutôt à l’affixe d’un autre vecteur obtenu par addition.

Explication

L’ensemble U est défini par la condition |z| = 1. Ni la partie réelle ni la partie imaginaire n’ont à valoir 1.

Explication

Pour un complexe de module 1, on a 1/z = z̄. C’est une propriété spécifique de ces nombres, liée à l’identité |z| = 1.

Explication

L’argument relie les coordonnées du complexe à son module par cos θ = Re(z)/|z| et sin θ = Im(z)/|z|. Les autres propositions confondent module et coordonnées.

Explication

L’argument d’un produit est la somme des arguments, à 2π près. C’est l’une des règles fondamentales du calcul des arguments.

Explication

La bonne formule d’addition est cos(θ + θ’) = cos θ cos θ’ − sin θ sin θ’. La version avec un signe plus correspond à une erreur classique.

Explication

On a sin²θ = (1 − cos(2θ))/2. Cette identité provient de la formule de duplication du cosinus.

Explication

Le discriminant est défini par ∆ = b² − 4ac. C’est lui qui permet de déterminer la nature des solutions.

Explication

Si ∆ = 0, les deux racines de l’équation coïncident : on parle de solution double. Ce n’est donc pas le cas de deux solutions distinctes.

Explication

Le discriminant d’une équation az^2+bz+c=0 est bien ∆ = b^2 - 4ac. Les autres expressions ne correspondent pas à la formule du discriminant.

Explication

Quand ∆ = 0, les deux solutions données par la formule se confondent : l’équation admet donc une solution double. Les deux solutions distinctes apparaissent seulement lorsque le discriminant est non nul.