Fiche de révision : Introduction aux nombres et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et appartenance
2. Racines carrées, encadrements et arrondis
3. Fonctions : tableaux de valeurs et exemples
4. Vecteurs : translation et lecture graphique
5. Puissances et calculs avec pourcentages
6. Informations chiffrées et proportion de proportion
7. Repérage et repère dans le plan
8. Algorithmique avec Python : interpréteur et calculs
9. Calcul littéral : développer, factoriser et réduire
10. Vecteurs en coordonnées : norme et opérations
11. Résolution d’équations : factorisation et formes
12. Fonctions affines : coefficient directeur et variations

📖 1. Ensembles de nombres et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls, noté ℕ.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs, négatifs ou nuls, noté ℤ.
• Décimaux : Ensemble des nombres qui s’écrivent comme une fraction décimale, noté 𝔻.
• Rationnels : Ensemble des nombres qui s’écrivent comme une fraction de deux entiers relatifs, noté ℚ.
• Réels : Ensemble des nombres réels, noté ℝ, incluant notamment les irrationnels comme π et √5.

📝 Points essentiels

• Inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
• Notation d’appartenance : x ∈ A signifie que x appartient à l’ensemble A.
• Notation de non-appartenance : x ∉ A signifie que x n’appartient pas à l’ensemble A.
• Ensemble vide : un ensemble sans éléments se note ∅.
• Irrationnels : les réels qui ne sont pas rationnels sont appelés irrationnels.
• Exemple de classement : 1/5 ∈ 𝔻, −22 ∈ ℤ, √100 ∈ ℕ, √7 ∈ ℝ, 3/7 ∈ ℚ, π ∈ ℝ.

💡 Astuce mémo

Chaîne d’inclusions : N → Z → D → Q → R (de plus en plus de nombres).

📖 2. Racines carrées, encadrements et arrondis

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : La racine carrée d’un nombre $a$ est le nombre $x$ tel que $x^2=a$, ce qui impose des contraintes sur le signe de $a$ selon le contexte.
• Domaine de définition : Le domaine de définition d’une fonction $f$, noté $D_f$, est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles l’expression $f(x)$ existe.
• Encadrement : Un encadrement consiste à placer une valeur entre deux nombres, ce qui permet d’en déduire des bornes pour une autre quantité.
• Arrondi : Un arrondi remplace une valeur par une valeur proche, en respectant un niveau de précision (par exemple au dixième, au centième).

📝 Points essentiels

• Une fonction contenant une racine carrée n’est définie que si l’expression sous la racine est ≥ 0.
• Une fonction contenant un $x$ au dénominateur n’est définie que si le dénominateur n’est pas nul.
• Si l’expression ne contient ni $x$ sous une racine ni $x$ au dénominateur, alors le domaine de définition est $\mathbb{R}$.
• En lecture graphique, les valeurs obtenues sont le plus souvent approchées, donc on travaille avec des estimations.
• Pour déterminer un domaine de définition à partir d’une courbe, on repère les extrémités et on note leurs abscisses pour fixer les bornes de l’intervalle.
• Si la courbe est en plusieurs morceaux, le domaine de définition est une réunion d’intervalles.

💡 Astuce mémo

Racine carrée : sous la racine, ça ne doit jamais être négatif (≥0) ; dénominateur : ça ne doit jamais valoir 0.

📖 3. Fonctions : tableaux de valeurs et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Une proportion est un nombre entre 0 et 1, exprimable en fraction, en décimal ou en pourcentage.
• Tableau de proportionnalité : Un tableau de proportionnalité organise deux grandeurs proportionnelles pour retrouver une valeur sans appliquer directement une formule.
• Proportion de proportion : La proportion de C dans A se calcule en multipliant la proportion de B dans A par la proportion de C dans B.
• Variation absolue : La variation absolue est la différence entre la valeur finale et la valeur initiale d’une quantité.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution mesure la variation relative d’une quantité par rapport à sa valeur initiale.

📝 Points essentiels

• Une proportion s’écrit en pourcentage via la forme décimale : 25% = 0,25.
• Pour une remise de 25% sur 72 €, le montant de la remise vaut 0,25 × 72 = 18 €.
• Si une remise de 17 € est faite sur 85 €, le pourcentage vaut 17/85 = 0,20 = 20%.
• Dans un tableau de proportionnalité, les deux lignes doivent être correctement nommées pour éviter les erreurs de lecture.
• Exemple de proportion de proportion : 60% de filles parmi les scolaires et 40% de scolaires dans le car donne 0,6 × 0,4 = 0,24 = 24%.
• Propriété : si p_B est la proportion de B dans A et p_C celle de C dans B, alors la proportion de C dans A vaut p = p_B × p_C.

💡 Astuce mémo

Proportion de proportion : « on multiplie les étages » (A→B puis B→C).

📖 4. Vecteurs : translation et lecture graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique orienté qui permet de décrire un déplacement dans le plan ou l’espace.
• Translation : Transformation géométrique qui déplace chaque point d’un même vecteur, sans changer les formes ni les tailles.
• Lecture graphique : Méthode qui consiste à repérer sur un dessin les directions, longueurs et sens pour interpréter un vecteur ou une translation.
• Direction d’un vecteur : Caractéristique d’un vecteur qui correspond à la ligne d’action du déplacement sur le graphique.

📖 5. Puissances et calculs avec pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur interdite : Une valeur interdite est une valeur de $x$ qui rend une expression impossible à calculer car elle annule un dénominateur.
• Équation produit nul : Une équation produit nul est une équation où un produit de facteurs est égal à 0, ce qui force au moins un facteur à être nul.
• Équation quotient nul : Une équation quotient nul est une équation où un quotient est égal à 0, ce qui impose un numérateur nul et un dénominateur non nul.
• Réduire au même dénominateur : Réduire au même dénominateur consiste à transformer une somme de fractions en une seule fraction avec un dénominateur commun.

📝 Points essentiels

• Il est formellement interdit de diviser par 0, donc toute valeur qui annule un dénominateur doit être exclue des solutions.
• Avant de mettre au même dénominateur, il faut d’abord repérer les valeurs interdites (celles qui annulent un dénominateur).
• Lors de la mise au même dénominateur, il faut conserver les parenthèses et ne pas développer le dénominateur si la suite du calcul l’exige.
• Un produit $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$, ce qui permet de résoudre en séparant les facteurs.
• Un quotient $\dfrac{A}{B}=0$ équivaut à $A=0$ et $B\neq 0$, donc on doit vérifier que la solution trouvée ne rend pas le dénominateur nul.
• Pour une équation de type $\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}$, on peut utiliser le produit en croix $A\times D=B\times C$ en respectant les valeurs interdites liées à $B$ et $D$.

💡 Astuce mémo

Interdits d’abord : dénominateur ≠ 0 ; puis produit nul (un facteur = 0) ; puis quotient nul (numérateur = 0, dénominateur ≠ 0).

📖 6. Informations chiffrées et proportion de proportion

🔑 Notions clés & Définitions

• Équiprobabilité : Notion de probabilités où toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser.
• Événement élémentaire : Événement constitué d’une seule issue de l’expérience aléatoire.
• Proportion favorable : Quantité d’issues qui réalisent l’événement A, utilisée pour calculer sa probabilité en équiprobabilité.
• Univers Ω : Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire, noté Ω.

📝 Points essentiels

• En équiprobabilité avec $n$ issues, la probabilité de chaque événement élémentaire vaut $\frac{1}{n}$.
• En équiprobabilité, $P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}$.
• Si $A$ est l’événement certain, alors $P(\Omega)=1$.
• Si $A$ est l’événement impossible, alors $P(\varnothing)=0$.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent : $P(A)=\sum P(\text{issues de }A)$.
• Exemple : dans un jeu de 32 cartes, $P(\text{cœur})=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=0,25$.

💡 Astuce mémo

Équiprobabilité = même chance partout : probabilité = (favorables)/(total).

📖 7. Repérage et repère dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est un système de référence permettant d’associer à chaque point un couple de coordonnées.
• Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point sont les nombres qui indiquent sa position dans le repère du plan.
• Abscisse : L’abscisse est la coordonnée horizontale d’un point dans un repère du plan.
• Ordonnée : L’ordonnée est la coordonnée verticale d’un point dans un repère du plan.

📝 Points essentiels

• Les solutions graphiques d’une équation $f(x)=k$ sont les abscisses des points d’intersection entre la courbe $C_f$ et la droite $y=k$.
• Les solutions graphiques de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection entre les courbes $C_f$ et $C_g$.
• Pour $f(x)<k$, on prend les abscisses des points de $C_f$ situés strictement sous la droite $y=k$.
• Pour $f(x)>k$, on prend les abscisses des points de $C_f$ situés strictement au-dessus de la droite $y=k$.
• Pour $f(x)\ge k$, les bornes incluses apparaissent dans les intervalles (exemple donné : $S=]-\infty;-2,5]\cup[3,5;4,2]$).
• Pour $f(x)<g(x)$, on lit les abscisses des points où la courbe $C_f$ est strictement en dessous de la courbe $C_g$ (lecture graphique d’inégalité).

💡 Astuce mémo

Intersection = abscisses : $f(x)=k$ avec $y=k$, $f(x)=g(x)$ avec $C_g$ ; < et > = dessous/au-dessus (inégalité stricte).

📖 8. Algorithmique avec Python : interpréteur et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation f(x) < k : Une inéquation de la forme f(x) < k cherche les abscisses où la courbe de f est strictement sous la droite y = k.
• Inéquation f(x) > k : Une inéquation de la forme f(x) > k cherche les abscisses où la courbe de f est strictement au-dessus de la droite y = k.
• Inéquation f(x) < g(x) : Une inéquation de la forme f(x) < g(x) cherche les abscisses où la courbe de f est strictement sous la courbe de g.
• Tableau de signes : Un tableau de signes récapitule les zéros de f et le signe de f sur les intervalles séparés par ces zéros.
• Extremum d’une fonction : Un extremum regroupe le maximum et le minimum d’une fonction sur un intervalle donné.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) < k, les solutions sont les abscisses où la courbe de f est sous la droite y = k, sans inclure les points d’égalité.
• Pour f(x) > k, les solutions sont les abscisses où la courbe de f est au-dessus de la droite y = k, sans inclure les points d’égalité.
• Pour f(x) ≥ k, on inclut les abscisses où f(x) = k, ce qui modifie les bornes en utilisant des crochets plutôt que des parenthèses.
• Pour f(x) < g(x), les solutions sont les abscisses où la courbe de f est strictement en dessous de celle de g.
• Un tableau de signes donne les abscisses où f s’annule (f(x)=0), puis les intervalles où f est positive (f(x)>0) et négative (f(x)<0).
• Dire que f atteint son maximum en a sur I signifie que f(x) ≤ f(a) pour tout x de I, et le maximum vaut f(a).

💡 Astuce mémo

Sous = < ; Au-dessus = > ; Égalité ⇒ crochet (≥ ou ≤).

📖 9. Calcul littéral : développer, factoriser et réduire

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement : Le développement est la transformation d’une expression en une somme de termes obtenus en distribuant les produits.
• Factorisation : La factorisation consiste à réécrire une expression comme un produit de facteurs.
• Réduction : La réduction regroupe et simplifie les termes semblables pour obtenir l’expression la plus simple possible.
• Identité remarquable : Une identité remarquable est une égalité algébrique standard permettant de factoriser ou développer rapidement.

📝 Points essentiels

• Développer consiste à distribuer : par exemple $(a+b)(c+d)$ devient $ac+ad+bc+bd$.
• Factoriser revient à retrouver des facteurs communs ou une forme produit à partir d’une expression développée.
• Réduire signifie regrouper les termes de même degré et de même variable pour simplifier l’expression.
• Pour comparer deux expressions, on peut calculer leur différence et factoriser le résultat pour étudier le signe.
• Exemple de factorisation : $4x^2-9-(10x+15)=4x^2-10x-24=(4x+6)(x-4)$.
• En résolution d’inéquations, on utilise ensuite les zéros des facteurs pour construire le tableau de signes du produit.

💡 Astuce mémo

Développer = distribuer ; Factoriser = retrouver le produit ; Réduire = regrouper les semblables.

📖 10. Vecteurs en coordonnées : norme et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul porté par une droite et qui donne sa direction dans le plan.
• Colinéarité : La colinéarité est la propriété de deux vecteurs d’avoir la même direction, donc d’être proportionnels.
• Droites parallèles : Des droites sont parallèles si elles ont la même direction, ce qui correspond à des vecteurs directeurs colinéaires.
• Droites sécantes : Des droites sont sécantes si elles ne sont pas parallèles, donc si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

📝 Points essentiels

• À partir d’équations cartésiennes, on détermine un vecteur directeur pour chaque droite puis on teste la colinéarité des deux vecteurs.
• Si les vecteurs directeurs sont colinéaires alors les droites sont parallèles (et confondues si elles ont un point commun).
• Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires alors les droites sont sécantes.
• Pour des équations réduites de type $x=k$ et $x=k'$, les droites sont parallèles, et confondues si $k=k'$.
• Pour des équations réduites $x=k$ et $y=m'x+p'$, les droites sont sécantes.
• Pour $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$, si $m=m'$ alors les droites sont parallèles (et confondues si $p=p'$).

💡 Astuce mémo

Colinéaire ⇒ même direction ⇒ parallèles ; non colinéaire ⇒ intersection ⇒ sécantes.

📖 11. Résolution d’équations : factorisation et formes

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : La factorisation consiste à réécrire une expression sous forme de produit de facteurs pour simplifier la résolution d’une équation.
• Fonction paire : Une fonction paire vérifie pour tout $x$ de son domaine que $f(-x)=f(x)$.
• Fonction impaire : Une fonction impaire vérifie pour tout $x$ de son domaine que $f(-x)=-f(x)$.
• Valeur absolue : La valeur absolue $|b-a|$ mesure la distance entre deux réels $a$ et $b$ et vaut toujours un nombre positif ou nul.
• Distance entre deux réels : La distance entre deux réels $a$ et $b$ est la différence entre le plus grand et le plus petit, donc elle s’écrit $|b-a|$.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une équation par factorisation, on cherche une écriture en produit puis on utilise le fait qu’un produit est nul seulement si au moins un facteur est nul.
• Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
• Une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l’origine dans un repère orthogonal.
• Si $f(x)=x^2$ alors $f(-x)=x^2$, donc $x^2$ est une fonction paire.
• Si $g(x)=x^3$ alors $g(-x)=-x^3$, donc $x^3$ est une fonction impaire.
• La distance entre $a$ et $b$ s’écrit $|b-a|$ et évite de distinguer les cas $b\ge a$ ou $a\ge b$.

💡 Astuce mémo

Factorisation : « produit nul ⇒ facteur nul » ; Parité : « paire = miroir axe Oy », « impaire = miroir origine ».

📖 12. Fonctions affines : coefficient directeur et variations

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre ℕ et ℤ : ℕ contient les entiers positifs ou nuls, donc −2 n’appartient pas à ℕ.
2. Croire que √a existe pour tout a : dans le cours, √−4 n’existe pas car la racine carrée d’un nombre négatif est impossible.
3. Mélanger intervalles ouverts/fermés : avec des crochets, les bornes sont incluses ; avec des parenthèses, elles ne le sont pas (et avec ∞ le crochet est toujours ouvert).
4. Oublier les valeurs interdites avant de résoudre une équation quotient nul : un dénominateur qui s’annule rend l’expression impossible.
5. Dire que f(x) < k inclut les points où f(x)=k : au contraire, l’égalité est exclue pour < et >, incluse seulement pour ≥ et ≤.
6. En Python, écrire une puissance avec ^ au lieu de **, ou oublier les parenthèses/indentation : cela change le calcul ou provoque une erreur.
7. Pour les fonctions affines, confondre coefficient directeur m et ordonnée à l’origine p : p est la valeur en x=0, m décrit la variation (y change de m quand x augmente de 1).

✅ Checklist Examen

1. Placer des nombres dans le plus petit ensemble : ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ, puis identifier les irrationnels (réels non rationnels).
2. Utiliser les notations d’appartenance et de non-appartenance (x ∈ A, x ∉ A) et savoir écrire l’ensemble vide ∅.
3. Traduire une inégalité en intervalle avec le bon type de bornes : crochets pour inclusion, parenthèses pour exclusion, et gérer les bornes avec ∞.
4. Calculer une racine carrée et appliquer les propriétés : (√a)^2=a et √(a^2)=a (avec les contraintes de signe vues).
5. Déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir d’une courbe (extrémités, réunion d’intervalles) ou par calcul (x au dénominateur ≠0, expression sous racine ≥0).
6. Lire sur une courbe : solutions de f(x)=k et f(x)=g(x) comme abscisses d’intersections, puis solutions de f(x)<k, f(x)>k et f(x)≥k.
7. Résoudre une équation par factorisation : reconnaître une équation produit nul et conclure avec “produit nul ⇒ au moins un facteur nul”.
8. Résoudre une équation de type x^2=a : traiter séparément a<0, a=0, a>0 et donner S (∅, {0}, {−√a; √a}).
9. Résoudre une équation quotient nul : trouver valeurs interdites (dénominateur=0), annuler le numérateur, puis vérifier que les solutions ne sont pas interdites.
10. Résoudre graphiquement une équation/inéquation : intersections pour égalités, “au-dessus/au-dessous” pour <, >, et utiliser les intervalles avec bornes incluses/exclues selon le symbole.
11. Manipuler les vecteurs : translation/vecteur associé (direction, sens, norme), somme/différence, relation de Chasles, et vecteurs opposés/colinéarité.
12. Déterminer une fonction affine et sa représentation : identifier m et p, écrire f(x)=mx+p, calculer image/antécédent, puis étudier signe et variations via m et la résolution de f(x)=0.