Fiche de révision : Introduction aux nombres et opérations fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et valeur absolue
2. Opérations sur les nombres relatifs
3. Priorités de calcul
4. Calcul littéral
5. Équations du premier degré
6. Fractions et opérations
7. Puissances et écriture scientifique

📖 1. Nombres relatifs et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe, positif ou négatif.
• Signe du nombre : Le signe indique si un nombre est positif (+) ou négatif (−).
• Nombre positif : Un nombre positif est un nombre supérieur à 0.
• Nombre négatif : Un nombre négatif est un nombre inférieur à 0.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre est sa distance à 0, sans tenir compte du signe.

📝 Points essentiels

• Le nombre 0 n’est ni positif ni négatif.
• Plus un nombre est à gauche sur la droite graduée, plus il est petit.
• Pour comparer deux nombres relatifs, on utilise la position sur la droite graduée.
• La valeur absolue enlève toujours l’effet du signe : |−a|=|a|.
• L’écriture sans signe “5” correspond à “+5” car le “+” est souvent omis.

💡 Astuce mémo

Droite graduée : à gauche = plus petit ; valeur absolue : distance à 0, signe ignoré.

📖 2. Opérations sur les nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé : Deux nombres sont opposés lorsqu’ils sont à la même distance de 0 mais avec des signes différents.
• Addition de nombres relatifs : Ajouter des nombres relatifs revient à combiner leurs valeurs en respectant la règle des signes.
• Soustraction de nombres relatifs : Soustraire un nombre revient à ajouter l’opposé de ce nombre.
• Multiplication de nombres relatifs : Multiplier deux nombres relatifs applique les règles de signes pour déterminer le signe du résultat.
• Division de nombres relatifs : Diviser deux nombres relatifs applique les mêmes règles de signes que pour la multiplication.

📝 Points essentiels

• Si les deux nombres ont le même signe, l’addition conserve le signe et additionne les valeurs.
• Si les signes sont différents, on soustrait les valeurs puis on garde le signe du nombre le plus “grand en valeur absolue”.
• Exemple d’addition : (+8)+(+3)=+11 et (−5)+(−7)=−12.
• Pour la soustraction : 7−(−4) se transforme en 7+4 puis donne 11.
• Pour la multiplication et la division : même signe → résultat positif ; signes différents → résultat négatif.

💡 Astuce mémo

Même signe → positif ; signes différents → négatif (pour × et ÷). Pour + : même signe additionne, signes différents on “compare en valeur absolue”.

📖 3. Priorités de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Priorités de calcul : Les priorités de calcul indiquent l’ordre dans lequel effectuer les opérations dans une expression.
• Parenthèses : Les parenthèses indiquent une partie prioritaire à calculer en premier.
• Puissances : Les puissances doivent être calculées avant les multiplications et divisions.
• Multiplications et divisions : Les multiplications et divisions sont traitées avant les additions et soustractions.

📝 Points essentiels

• On calcule toujours d’abord les parenthèses, puis les puissances.
• Ensuite viennent les multiplications et divisions, puis seulement les additions et soustractions.
• Dans 5+3×4, on calcule d’abord 3×4=12 puis 5+12=17.
• Dans (9−4)×2, on calcule d’abord 9−4=5 puis 5×2=10.

💡 Astuce mémo

PMPA : Parenthèses, Multiplications/Divisions, Puissances, Additions-Subtractions (ordre à mémoriser selon la règle du cours : parenthèses → puissances → ×/÷ → +/−).

📖 4. Calcul littéral

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul littéral : Le calcul littéral consiste à utiliser des lettres à la place de nombres pour raisonner sur une expression.
• Expression littérale : Une expression littérale est un calcul qui contient au moins une lettre.
• Réduire une expression : Réduire une expression, c’est regrouper les termes identiques.
• Développer : Développer une expression, c’est enlever les parenthèses en utilisant la multiplication.
• Factoriser : Factoriser est l’opération inverse du développement : on met un facteur commun en évidence.

📝 Points essentiels

• 3x+5x se réduit en 8x : on additionne des termes “identiques” (même lettre et même puissance).
• 4a−2a se réduit en 2a en regroupant les termes identiques.
• On ne peut rien faire avec 3x+4 car on ne regroupe pas x avec un nombre seul.
• Développer : 3(x+5) devient 3x+15 et 2(a−7) devient 2a−14.
• Factoriser : 6x+12 devient 6(x+2) et 5a+20 devient 5(a+4).

💡 Astuce mémo

Développer = “je distribue” ; factoriser = “je mets en commun” ; réduire = “je combine les mêmes”.

📖 5. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une équation est une égalité qui contient une inconnue.
• Inconnue : L’inconnue est la lettre à trouver dans une équation.
• Résoudre une équation : Résoudre une équation consiste à déterminer la valeur de l’inconnue.

📝 Points essentiels

• Dans x+7=15, on trouve x=5 en enlevant 7 des deux côtés.
• Dans 3x=18, on trouve x=6 en divisant par 3.
• Résoudre revient à transformer l’égalité pour isoler l’inconnue.
• On cherche la valeur de la lettre, pas une autre écriture équivalente sans conclusion.

💡 Astuce mémo

Équation : isoler l’inconnue par l’opération inverse (enlever, puis diviser dans les exemples).

📖 6. Fractions et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Une fraction représente une ou plusieurs parts d’un tout.
• Numérateur : Le numérateur est le nombre écrit en haut de la fraction.
• Dénominateur : Le dénominateur est le nombre écrit en bas de la fraction.
• Dénominateur commun : Un dénominateur commun est le même dénominateur obtenu en transformant les fractions sans en changer la valeur.
• Inverse : L’inverse d’une fraction s’obtient en échangeant le numérateur et le dénominateur.

📝 Points essentiels

• Pour additionner/soustraire des fractions, les dénominateurs doivent être identiques.
• Si les dénominateurs sont différents, on cherche un dénominateur commun avant d’additionner/soustraire.
• Exemple : 2/1 + 4/1 devient 4/3 seulement après mise au dénominateur commun donnée par l’exemple du cours.
• Multiplier : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Diviser : on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction, par exemple 4/3 ÷ 5/2 = 8/15.

💡 Astuce mémo

Addition/Soustraction : même dénominateur ; Multiplication : num×num et den×den ; Division : ÷ devient × inverse.

📖 7. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance permet d’écrire une multiplication répétée sous une forme compacte.
• Exposant : L’exposant est le petit nombre écrit en haut à droite de la base.
• Base : La base est le nombre qui est multiplié de façon répétée.
• Puissances de 10 : Les puissances de 10 permettent d’écrire des nombres très grands ou très petits via des facteurs de 10.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique met un nombre sous la forme a×10^n avec 1≤a<10 et n entier.

📝 Points essentiels

• 4^3 signifie 4×4×4 et vaut 64 dans l’exemple donné.
• Dans 5^4, la base est 5 et l’exposant est 4.
• Puissances de 10 : 10^1=10, 10^2=100, 10^3=1000, 10^4=10000.
• Puissances négatives de 10 : 10^(−1)=0,1 ; 10^(−2)=0,01 ; 10^(−3)=0,001.
• Écriture scientifique : 5400=5,4×10^3, 72 000 000=7,2×10^7 et 0,0038=3,8×10^(−3).

💡 Astuce mémo

Écriture scientifique : 1≤a<10, et on compte le “décalage” avec 10^n.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier que +5 peut s’écrire sans signe : 5 signifie +5.
2. Confondre comparaison sur la droite graduée : “plus à gauche” veut dire “plus petit”.
3. En addition de signes différents, ne pas choisir le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
4. Confondre soustraction et addition : a−b n’est pas “a moins les valeurs”, c’est “ajouter l’opposé”.
5. Mélanger l’ordre des priorités : calculer + et − avant × ou ÷ au lieu de respecter les priorités.
6. Réduire un calcul littéral en regroupant n’importe quels termes : on ne regroupe que les termes identiques (même lettre et même puissance).
7. Pour les fractions, traiter une addition sans rendre les dénominateurs identiques d’abord.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir un nombre relatif et distinguer nombre positif, nombre négatif et 0.
2. Savoir donner la valeur absolue et interpréter |−a| comme la distance à 0.
3. Savoir comparer et ranger des nombres relatifs à l’aide d’une droite graduée.
4. Savoir calculer une addition de nombres relatifs pour même signe et pour signes différents.
5. Savoir transformer une soustraction en addition de l’opposé et calculer le résultat.
6. Savoir appliquer les règles de signes pour la multiplication et la division.
7. Savoir respecter l’ordre des priorités : parenthèses puis puissances puis ×/÷ puis +/−.
8. Savoir reconnaître une expression littérale et réduire une expression en regroupant des termes identiques.
9. Savoir développer une expression avec la multiplication (enlever les parenthèses) et donner l’exemple correspondant.
10. Savoir factoriser en mettant en évidence un facteur commun à partir d’une somme.
11. Savoir définir une équation et résoudre une équation simple en isolant l’inconnue.
12. Savoir identifier numérateur et dénominateur et choisir la bonne méthode pour ajouter/soustraire des fractions.
13. Savoir multiplier et diviser des fractions en appliquant les règles sur les numérateurs/dénominateurs et l’inverse.
14. Savoir calculer avec des puissances (base, exposant) et utiliser les exemples de puissances de 10.