Fiche de révision : Introduction aux pourcentages et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et évolutions
2. Fonctions affines et droites
3. Fonctions du second degré
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Statistiques descriptives
6. Probabilités et arbres pondérés
7. Variables aléatoires et algorithmique

📖 1. Pourcentages et évolutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution décimal : Le taux d’évolution décimal mesure la variation relative entre une valeur initiale Vi et une valeur finale Vf.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur transforme une valeur initiale Vi en valeur finale Vf en multipliant par CM.
• Taux en pourcentage : Le taux en pourcentage exprime la variation relative entre Vf et Vi en pourcentage.

📝 Points essentiels

• Le taux d’évolution décimal vaut $t=\frac{Vf-Vi}{Vi}$.
• Le taux en pourcentage vaut $T=\frac{Vf-Vi}{Vi}\times 100$.
• Le coefficient multiplicateur vérifie $CM=1+t=1+\frac{T}{100}$.
• On a $Vf=Vi\times CM$ et $Vi=\frac{Vf}{CM}$.
• Une hausse de $20\%$ donne $CM=1{,}20$ et une baisse de $15\%$ donne $CM=0{,}85$.
• Pour plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients : $CM_{global}=CM_1\times CM_2\times \cdots\times CM_n$.

💡 Astuce mémo

Hausse : tu multiplies par $1+\frac{T}{100}$ ; baisse : tu multiplies par $1-\frac{T}{100}$.

📖 2. Fonctions affines et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ constants.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur $a$ est le facteur de $x$ qui fixe la variation de la fonction affine.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine $b$ est la valeur de $f(0)$ pour une fonction affine $f(x)=ax+b$.
• Équation réduite d’une droite : L’équation réduite d’une droite s’écrit sous la forme $y=ax+b$ avec $a$ coefficient directeur et $b$ ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$ et $a$ est le coefficient directeur.
• Le signe de $a$ détermine le sens de variation : $a>0$ croissante, $a<0$ décroissante, $a=0$ constante.
• Pour $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, le coefficient directeur vaut $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Sur une lecture graphique, $a=\frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}$.
• Une droite passe par $A(1,4)$ et $B(3,10)$ alors $a=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3$.

💡 Astuce mémo

Affines : $ax+b$ ; la pente est $a$ et se lit comme un rapport vertical/horizontal.

📖 3. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Une fonction du second degré est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Discriminant : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ permet de déterminer le nombre et le type de racines réelles.
• Sommet de la parabole : Le sommet d’une parabole correspond au point $S(\alpha;\beta)$, où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• La forme canonique du cours est $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Le discriminant vaut $\Delta=b^2-4ac$.
• Si $\Delta>0$, alors deux racines : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors une racine double : $x_0=\frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, alors aucune racine réelle n’existe.
• Le sommet est $S(\alpha;\beta)$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Discriminant : $\Delta>0$ (deux), $\Delta=0$ (une), $\Delta<0$ (aucune racine réelle).

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie une règle d’addition constante : on passe de $u_n$ à $u_{n+1}$ en ajoutant $r$.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison $r$ est le nombre constant ajouté à chaque étape d’une suite arithmétique.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie une règle de multiplication constante : on passe de $u_n$ à $u_{n+1}$ en multipliant par $q$.
• Raison d’une suite géométrique : La raison $q$ est le nombre constant qui multiplie chaque terme pour obtenir le suivant.

📝 Points essentiels

• Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$.
• Si elle commence à $u_0$, alors $u_n=u_0+nr$ et si elle commence à $u_1$, alors $u_n=u_1+(n-1)r$.
• Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=qu_n$.
• Si elle commence à $u_0$, alors $u_n=u_0q^n$, et si elle commence à $u_1$, alors $u_n=u_1q^{n-1}$.
• Hausse de $T\%$ chaque année : $q=1+\frac{T}{100}$.
• Baisse de $T\%$ chaque année : $q=1-\frac{T}{100}$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r ; géométrique = ×q ; et pour des pourcentages annuels, géométrique avec $q=1\pm\frac{T}{100}$.

📖 5. Statistiques descriptives

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne simple : La moyenne simple est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
• Moyenne pondérée : La moyenne pondérée combine des valeurs en les multipliant par leurs effectifs puis en divisant par la somme des effectifs.
• Médiane : La médiane partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Étendue : L’étendue mesure la dispersion en prenant la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
• Quartiles : Les quartiles découpent la série ordonnée en parties ; $Q1$ est le premier et $Q3$ le troisième.

📝 Points essentiels

• La moyenne simple s’écrit $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$.
• La moyenne pondérée s’écrit $\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}$.
• L’écart interquartile vaut $Q3-Q1$.
• L’étendue vaut valeur maximale moins valeur minimale : $\text{Étendue}=\text{max}-\text{min}$.
• La médiane sépare une série ordonnée en deux groupes de même effectif.

💡 Astuce mémo

Dispersion : étendue = max − min ; puis interquartile = $Q3-Q1$.

📖 6. Probabilités et arbres pondérés

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : L’événement contraire $\overline{A}$ correspond à toutes les issues qui ne réalisent pas $A$.
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ mesure la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré organise des issues successives et associe à chaque branche sa probabilité.
• Probabilités totales : Les probabilités totales permettent de calculer $P(B)$ en sommant sur une partition de l’univers par des événements $A$.

📝 Points essentiels

• La probabilité contraire vérifie $P(A)=1-P(\overline{A})$ et le cours donne $P(\overline{A})=1-P(A)$.
• Pour la réunion : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
• Si $A\cap B=\varnothing$, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• Si $P(A)\neq 0$, alors $P_A(B)=P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• On obtient alors $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Pour une partition : $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.

💡 Astuce mémo

Arbre : chemin = × des branches ; événement atteint = + des chemins.

📖 7. Variables aléatoires et algorithmique

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité décrit pour chaque valeur possible $x_i$ la probabilité $P(X=x_i)$.
• Espérance : L’espérance $E(X)$ est la moyenne théorique pondérée par les probabilités des valeurs de $X$.
• Affectation : Une affectation modifie la valeur d’une variable avec la valeur d’une expression.
• Boucle Pour : Une boucle Pour exécute des instructions pour une série de valeurs de l’indice définies par un intervalle.

📝 Points essentiels

• La loi vérifie $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ si $P(X=x_i)=p_i$.
• L’espérance vaut $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$.
• On peut écrire $E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$.
• Affectation : $A\leftarrow 5$ signifie que $A$ reçoit la valeur 5.
• Boucle Pour : exécuter les instructions pour $i$ allant de 1 à $n$ puis fin de boucle.
• Boucle Tant que : tant que la condition est vraie, on exécute les instructions puis on s’arrête quand elle devient fausse.

💡 Astuce mémo

Espérance = somme des valeurs × leurs probabilités ; algorithmique : ← pour donner la valeur, Tant que pour répéter.

📊 Tableaux de synthèse

Suites : logique de construction

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre taux et coefficient multiplicateur : le coefficient vaut toujours $CM=1+\frac{T}{100}$, pas directement $T$.
2. Mélanger hausse et baisse : une baisse de $T\%$ utilise $q=1-\frac{T}{100}$, pas $1+\frac{T}{100}$.
3. Se tromper de sens dans la suite arithmétique : c’est $u_{n+1}=u_n+r$ (addition), et non une multiplication.
4. Oublier le cadre du second degré : le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ donne le nombre de racines réelles, et $a\neq 0$ est nécessaire.
5. Interpréter mal la lecture de $a$ sur une droite : $a$ se lit comme variation verticale sur variation horizontale, pas l’inverse.
6. Calculer une probabilité d’arbre avec une addition au lieu d’une multiplication pour une branche donnée.
7. Confondre médiane et moyenne : la médiane partage en deux groupes d’effectif égal, alors que la moyenne utilise une somme.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer le taux décimal $t=\frac{Vf-Vi}{Vi}$ puis le taux en pourcentage $T=\frac{Vf-Vi}{Vi}\times 100$.
2. Savoir relier $T$ et le coefficient multiplicateur : $CM=1+\frac{T}{100}$ et utiliser $Vf=Vi\times CM$.
3. Savoir cumuler des évolutions successives via $CM_{global}=CM_1\times\cdots\times CM_n$ et retrouver $T_{global}=(CM_{global}-1)\times 100$.
4. Savoir trouver l’évolution réciproque : $CM_{réciproque}=\frac{1}{CM}$ et calculer le taux correspondant avec $\left(\frac{1}{CM}-1\right)\times 100$.
5. Savoir écrire une fonction affine $f(x)=ax+b$ et donner le sens de variation selon le signe de $a$.
6. Savoir calculer $a$ à partir de deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ grâce à $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
7. Savoir écrire l’équation réduite $y=ax+b$ et interpréter $b$ comme la valeur quand $x=0$.
8. Savoir calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ puis déterminer le nombre de racines selon le signe de $\Delta$.
9. Savoir calculer les racines $x_1,x_2$ quand $\Delta>0$ et $x_0$ quand $\Delta=0$.
10. Savoir donner le sommet $S(\alpha;\beta)$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
11. Savoir déterminer le signe du trinôme selon $\Delta$ et selon le signe de $a$ à l’extérieur ou à l’intérieur des racines réelles.
12. Savoir reconnaître et utiliser les formules d’une suite arithmétique $u_{n+1}=u_n+r$ et d’une suite géométrique $u_{n+1}=qu_n$.
13. Savoir convertir une hausse ou une baisse de $T\%$ en raison géométrique $q=1\pm\frac{T}{100}$.
14. Savoir calculer moyenne simple, moyenne pondérée, médiane, étendue et écart interquartile $Q3-Q1$.