Fiche de révision : Introduction aux primitives et équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Primitive d’une fonction : définition et lien dérivée
2. Deux primitives diffèrent d’une constante
3. Existence des primitives et primitive particulière
4. Primitives des fonctions usuelles
5. Linéarité et recherche de primitives
6. Primitives de fonctions composées
7. Équations différentielles : définition et solutions
8. Équations différentielles du type y’ = ay
9. Équations différentielles du type y’ = ay + b

📖 1. Primitive d’une fonction : définition et lien dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive d’une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ sur un intervalle donné.
• Fonction continue : Une fonction continue sur un intervalle $I$ vérifie les hypothèses nécessaires pour garantir l’existence de primitives sur $I$.
• Lien dérivée : Dire qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$ revient à dire que $f$ est la dérivée de $F$.

📝 Points essentiels

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$.
• La définition de primitive relie directement dérivation et égalité de fonctions sur l’intervalle considéré.
• Pour vérifier qu’une fonction $F$ est une primitive de $f$, on dérive $F$ et on compare au résultat avec $f$.
• Le cours insiste sur l’équivalence : « $F$ primitive de $f$ » ⇔ « $f$ est la dérivée de $F$ ».
• L’exemple montre qu’en dérivant une fonction candidate on retrouve exactement la fonction donnée (égalité terme à terme).

💡 Astuce mémo

Primitive = « antidé-rivée » : dériver la candidate redonne exactement la fonction $f$.

📖 2. Deux primitives diffèrent d’une constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Deux primitives : Deux primitives d’une même fonction $f$ sur un intervalle $I$ sont deux fonctions $F$ et $G$ dont les dérivées coïncident avec $f$.
• Différence constante : La différence entre deux primitives d’une même fonction sur un intervalle est une fonction à dérivée nulle, donc une constante.

📝 Points essentiels

• Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F'(x)=f(x)$ et $G'(x)=f(x)$.
• On obtient $(F-G)'(x)=F'(x)-G'(x)=0$ sur $I$.
• Une fonction de dérivée nulle est constante sur l’intervalle : il existe $C$ tel que $F(x)-G(x)=C$.
• Donc toutes les primitives d’une même fonction se déduisent les unes des autres par ajout d’une constante.
• Le cours formule explicitement l’idée : « elles diffèrent d’une constante » plutôt que « elles sont égales ».
• Cette propriété s’appuie sur le fait que les dérivées des deux primitives sont identiques.

💡 Astuce mémo

Même dérivée ⇒ écart fixe : $F-G=C$.

📖 3. Existence des primitives et primitive particulière

🔑 Notions clés & Définitions

• Existence des primitives : Toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle.
• Primitive particulière : Une primitive particulière est une primitive choisie pour satisfaire une condition supplémentaire (par exemple une valeur imposée).
• Condition d’annulation : Une condition du type $F(a)=0$ sert à déterminer une primitive particulière parmi toutes celles qui diffèrent d’une constante.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors il existe au moins une primitive $F$ de $f$ sur $I$.
• Le cours rappelle que l’existence ne garantit pas toujours une forme explicite simple pour la primitive.
• Pour obtenir une primitive particulière, on utilise une condition d’évaluation (ex. $F(1)=0$).
• Si $F$ est une primitive et que $G$ est une autre primitive, alors $G(x)=F(x)+C$ pour une constante $C$.
• Dans l’exemple, la primitive particulière est trouvée en imposant $F(1)=0$ puis en résolvant pour la constante.
• Le calcul de la constante se fait via l’égalité $G(1)=F(1)+C=0$, ce qui fixe $C$ de façon unique.

💡 Astuce mémo

Existence garantie par continuité ; particulariser = fixer la constante avec une valeur (ex. à $1$).

📖 4. Primitives des fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Les primitives des fonctions de type $x^n$ suivent une règle générale quand l’exposant est adapté (cas $n eq -1$).
• Logarithme : La primitive associée à une fonction de la forme $1/x$ conduit à une fonction logarithme.
• Racine : Les primitives des fonctions contenant une racine se traitent comme des puissances avec exposant fractionnaire.
• Constante : La primitive d’une fonction constante est une fonction affine.

📝 Points essentiels

• Le tableau du cours donne des formes de primitives pour des fonctions usuelles (puissances, logarithme, racine).
• Le cas logarithme apparaît pour une forme liée à $1/x$ (présent dans la liste des primitives usuelles).
• Les primitives de puissances utilisent une formule dépendant de l’exposant et du fait que l’exposant soit compatible avec la règle.
• Le cours indique aussi des primitives pour des expressions de type $rac{1}{ ext{puissance}}$ via la correspondance avec des puissances de $x$.
• L’intervalle de définition peut être restreint quand la fonction usuelle n’est définie que pour $x>0$ (ex. logarithme).
• Les exemples d’application montrent que reconnaître la forme usuelle permet d’écrire directement une primitive.

💡 Astuce mémo

Reconnaître la forme : puissance → règle de puissance ; $1/x$ → $ln(x)$ ; racine → puissance fractionnaire.

📖 5. Linéarité et recherche de primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Linéarité des primitives : La primitive d’une somme est la somme des primitives, et la primitive d’un multiple est le multiple de la primitive.
• Somme : Si $F$ et $G$ sont des primitives respectives de $f$ et $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$.
• Multiplication par un réel : Si $F$ est une primitive de $f$, alors pour tout réel , la fonction  F est une primitive de  f.

📝 Points essentiels

• Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$.
• Si $F$ est une primitive de $f$ et  est un réel, alors  F est une primitive de  f.
• Le cours justifie par dérivation : $(F+G)'=F'+G'=f+g$.
• Le cours justifie aussi par dérivation : ( F)'= F'= f.
• La linéarité permet de décomposer une fonction en somme de termes plus simples à intégrer.
• Cette propriété sert de méthode de recherche : on combine des primitives connues au lieu de repartir de zéro.

💡 Astuce mémo

Dériver après coup : si la dérivée donne $f+g$ ou  f, la primitive est correcte.

📖 6. Primitives de fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$ permet d’étudier des primitives de formes composées via la dérivée de $u$.
• Forme $2u'(x)$ : Quand la fonction à intégrer est construite comme $u'(x)$ multiplié par une expression en $u(x)$, on peut utiliser une primitive de la forme en $u$.
• Changement de variable implicite : La méthode consiste à repérer une dérivée interne $u'(x)$ et à écrire une primitive en fonction de $u(x)$.
• **Logarithme de $u** : Quand la forme interne correspond à$u'(x)/u(x)$, une primitive s’écrit avec$ ln|u(x)|$ (selon le contexte du cours).

📝 Points essentiels

• Le cours donne une règle de type « primitive de $2u'(x)$ » menant à une primitive en fonction de $u(x)$.
• Pour une forme $2u'(x)$, une primitive est obtenue en remplaçant la variable par $u(x)$ dans la primitive correspondante.
• Pour une forme $u'(x)$ multipliée par une expression en $u(x)$, on cherche une primitive de la forme $H(u(x))$.
• Le cours traite explicitement des cas menant à une primitive logarithmique quand l’expression interne correspond à une forme de type $u'(x)/u(x)$.
• Dans les exemples, on identifie l’expression interne $u(x)$ puis on réécrit la primitive en utilisant $u(x)$ directement.
• Le cours illustre aussi le cas où l’intervalle de définition impose $u(x)>0$ pour que le logarithme soit défini.

💡 Astuce mémo

Repère $u(x)$ et $u'(x)$ : si ça colle, la primitive s’écrit en $u(x)$.

📖 7. Équations différentielles : définition et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et où apparaissent des dérivées de cette fonction.
• Solution : Une solution d’une équation différentielle est une fonction qui, une fois substituée, rend l’égalité vraie.
• Inconnue fonction : Dans une équation différentielle, l’inconnue n’est pas un nombre mais une fonction dépendant de la variable.
• Dérivée de la solution : La solution doit vérifier une relation entre sa dérivée et une expression donnée.

📝 Points essentiels

• Une équation différentielle implique une fonction inconnue et au moins une de ses dérivées.
• Le cours donne des exemples où l’inconnue est notée comme une fonction $y$ (ou $u$) et où sa dérivée intervient.
• Pour l’équation $y'=f(x)$, une fonction $g$ est solution si $g'(x)=f(x)$.
• Le cours relie primitives et équations différentielles : une primitive de $f$ est une solution de $y'=f(x)$.
• Vérifier une solution revient à dériver la candidate et comparer au second membre de l’équation.
• Le cours insiste sur la méthode : substitution par dérivation directe.

💡 Astuce mémo

Solution = « candidate dérivée = second membre ».

📖 8. Équations différentielles du type y’ = ay

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation $y'=ay$ : Une équation différentielle du type $y'=ay$ relie la dérivée de $y$ à $y$ elle-même via une constante $a$.
• Constante réelle : Le paramètre $a$ est une constante réelle qui fixe la famille de solutions.
• Famille de solutions : Les solutions forment une famille paramétrée par une constante réelle $C$.

📝 Points essentiels

• Les solutions de $y'=ay$ sont de la forme $y(x)=C ext{e}^{ax}$ (avec $C$ constante réelle quelconque).
• Le cours montre la vérification directe : si $y(x)=C ext{e}^{ax}$ alors $y'(x)=aC ext{e}^{ax}=ay(x)$.
• La réciproque est aussi donnée : toute solution conduit à une forme exponentielle avec une constante multiplicative.
• Le cours utilise une transformation pour prouver que la solution doit être proportionnelle à $ext{e}^{ax}$.
• La constante $C$ correspond à la liberté de choisir une solution parmi toutes celles ayant la même dérivée relative.
• Le cours fournit aussi une méthode de résolution pour déterminer la solution satisfaisant une condition initiale.

💡 Astuce mémo

$y'=ay$ ⇒ exponentielle : « dériver multiplie par $a$ ».

📖 9. Équations différentielles du type y’ = ay + b

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation $y'=ay+b$ : Une équation différentielle du type $y'=ay+b$ combine une partie proportionnelle à $y$ et un terme constant $b$.
• Solution particulière constante : Une solution particulière constante est une solution de la forme $y(x)=k$ qui satisfait l’équation quand $k$ est choisi correctement.
• Équation linéaire premier ordre : L’équation $y'=ay+b$ est décrite comme une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
• Paramètre $C$ : La famille générale des solutions dépend d’une constante réelle $C$.

📝 Points essentiels

• Le cours donne une solution particulière constante sous la forme $y(x)=-\frac{b}{a}$ lorsque $a\neq 0$ (avec la notation du cours).
• La vérification se fait en dérivant la constante : $y'(x)=0$ puis en remplaçant dans $ay+b$.
• Les solutions générales s’écrivent comme une exponentielle multipliée par $C$, puis on soustrait la constante particulière : $y(x)=C\text{e}^{ax}-\frac{b}{a}$.
• Le cours précise que $a\neq 0$ est nécessaire pour la forme donnée de la solution particulière constante.
• La méthode de résolution combine : (1) trouver une solution particulière, (2) résoudre l’équation homogène associée, (3) additionner les deux composantes.
• Pour une condition initiale (ex. $y(0)=y_0$), on remplace $x$ et on résout pour $C$ afin d’obtenir l’unique solution demandée.

💡 Astuce mémo

Particulier constant = « compenser » $b$ ; ensuite homogène exponentielle + ajustement par $C$.

📊 Tableaux de synthèse

Primitive vs solution d’équation différentielle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « primitive » et « fonction primitive » : une primitive est une fonction dont la dérivée vaut la fonction donnée.
2. Croire que deux primitives sont identiques : elles diffèrent en général par une constante.
3. Oublier de vérifier par dérivation : une fonction candidate n’est primitive que si sa dérivée redonne exactement $f$.
4. Chercher une primitive explicite alors que le cours rappelle que l’existence ne garantit pas toujours une forme fermée.
5. Pour $y'=ay+b$, oublier la solution particulière constante et ne garder que l’exponentielle homogène.
6. Confondre le rôle de la constante $C$ : elle paramètre la famille de solutions et se fixe seulement avec une condition initiale.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une primitive et reformuler l’équivalence avec la dérivée.
2. Savoir vérifier qu’une fonction est une primitive en dérivant et en comparant au second membre.
3. Savoir utiliser la propriété : deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
4. Savoir expliquer comment obtenir une primitive particulière à partir d’une primitive générale via une condition du type $F(a)=0$.
5. Savoir appliquer la linéarité : somme et multiple par un réel pour construire des primitives.
6. Savoir traiter des primitives de fonctions composées en repérant une forme en $u(x)$ et $u'(x)$.
7. Savoir définir une équation différentielle et reconnaître une solution en vérifiant l’égalité après dérivation.
8. Savoir résoudre $y'=ay$ : écrire la famille $y(x)=C\text{e}^{ax}$ et utiliser une condition initiale pour trouver $C$.
9. Savoir résoudre $y'=ay+b$ : trouver la solution particulière constante, écrire la forme générale $y(x)=C\text{e}^{ax}-\frac{b}{a}$, puis déterminer $C$ avec la condition initiale.