Sa dérivée est égale à f sur l’intervalle
Explication
Une primitive F de f vérifie par définition F'(x)=f(x) sur l’intervalle considéré. Les autres propositions confondent primitive, égalité de fonctions et dérivée seconde.
La dériver puis comparer le résultat à f
Explication
On vérifie une primitive en dérivant la fonction candidate et en contrôlant que la dérivée obtenue est bien f. C’est le lien direct entre primitive et dérivée.
Elles diffèrent d’une constante
Explication
Si F' = G' = f, alors (F-G)' = 0, donc F-G est constante sur l’intervalle. Elles ne sont donc pas nécessairement égales.
Sa dérivée est nulle
Explication
Comme F' = f et G' = f, on obtient (F-G)' = F' - G' = 0. Une fonction de dérivée nulle est constante.
La continuité sur cet intervalle
Explication
Le cours indique qu’une fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle. Les autres propriétés ne sont pas celles qui sont requises ici.
En imposant une valeur, comme F(a)=0
Explication
Une condition du type F(a)=0 permet de fixer la constante d’intégration et de sélectionner une primitive particulière. C’est ce qui distingue cette primitive des autres.
Une fonction affine de pente c
Explication
La primitive d’une constante est une fonction affine, car sa dérivée est une constante. Le terme additif reste libre à une constante près.
Le logarithme népérien
Explication
La primitive de 1/x est le logarithme népérien sur un intervalle de positifs. C’est le cas usuel mis en avant dans le cours.
C’est une primitive de f+g
Explication
La dérivée de F+G est F'+G', donc f+g. La linéarité permet ainsi de construire une primitive d’une somme en additionnant des primitives.
λF
Explication
Par dérivation, (λF)' = λF' = λf, donc λF est une primitive de λf. C’est la propriété de linéarité par multiplication par un réel.
Chercher une primitive écrite en fonction de u(x)
Explication
Le cours insiste sur la reconnaissance de u(x) et de u'(x) pour écrire une primitive directement en fonction de u(x). C’est une forme de changement de variable implicite.
Le logarithme de la valeur absolue de u(x)
Explication
La forme u'(x)/u(x) conduit à une primitive logarithmique, généralement ln|u(x)| selon le contexte. C’est le cas typique traité pour les fonctions composées.
Une équation où l’inconnue est une fonction et où figurent ses dérivées
Explication
Une équation différentielle met en jeu une fonction inconnue et au moins une de ses dérivées. La solution est une fonction qui rend l’égalité vraie.
Quand g'(x)=f(x) pour tout x de l’intervalle
Explication
Une solution de y' = f(x) doit vérifier que sa dérivée vaut f sur l’intervalle. Cela relie directement cette équation différentielle à la notion de primitive.
y(x)=Ce^{ax}
Explication
Les solutions de y' = ay sont exactement les fonctions exponentielles de la forme Ce^{ax}. La vérification se fait en dérivant : on retrouve bien ay(x).
Parce que sa dérivée vaut aCe^{ax}
Explication
En dérivant Ce^{ax}, on obtient aCe^{ax}, qui est exactement ay(x). Cela montre que cette forme est bien solution de l’équation.
y(x)=-b/a
Explication
En cherchant une solution constante, on a y'=0, donc il faut résoudre 0=ak+b, d’où k=-b/a. Cette solution particulière sert ensuite à construire la solution générale.
y(x)=Ce^{ax}-b/a
Explication
La solution générale est la somme d’une solution de l’équation homogène Ce^{ax} et d’une solution particulière constante -b/a. C’est la méthode standard indiquée dans le cours.
Mémorisez les réponses avec 18 flashcards sur Introduction aux primitives et équations différentielles.
Primitive — définition ?
Fonction dont la dérivée est la fonction donnée.
Deux primitives — différence ?
Diffèrent d’une constante.
Existence primitives — garantie ?
Oui si la fonction est continue.
Consultez la fiche de révision complète sur Introduction aux primitives et équations différentielles.
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