Fiche de révision : Introduction aux probabilités et fonctions mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Population et fréquences
2. Tableaux croisés et graphiques
3. Probabilités conditionnelles
4. Arbres de probabilités
5. Fonctions affines et suites arithmétiques
6. Suites géométriques et exponentielles
7. Taux de variation et tangente
8. Nombre dérivé et variations

📖 1. Population et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Une population est l’ensemble des individus étudiés, caractérisé par son effectif total.
• Caractère quantitatif : Un caractère quantitatif est une propriété prenant des valeurs numériques pour les individus.
• Caractère qualitatif : Un caractère qualitatif est une propriété prenant des valeurs non numériques pour les individus.
• Fréquence d’un caractère : La fréquence d’un caractère est la proportion d’individus qui possèdent ce caractère dans la population totale.

📝 Points essentiels

• Si $E$ est la population et $A$ un ensemble d’individus, alors $f(A)=\frac{card(A)}{card(E)}$ et $card(\bar A)=card(E)-card(A)$.
• Le complémentaire $\bar A$ regroupe les individus ne possédant pas le caractère $A$ et sert aux tableaux croisés.
• Pour deux caractères $A$ et $B$, $card(A\cap B)$ compte ceux qui ont à la fois $A$ et $B$, tandis que $card(A\cup B)$ compte ceux ayant au moins un des deux.
• Dans un tableau croisé, les marges (totaux de lignes/colonnes) servent à calculer des probabilités conditionnelles.

💡 Astuce mémo

Fréquence = effectif ciblé / effectif total (f(A)=card(A)/card(E)).

📖 2. Tableaux croisés et graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau croisé d’effectifs : Un tableau croisé d’effectifs est un tableau qui décrit la répartition conjointe de deux caractères en donnant des effectifs ou fréquences par combinaison.
• Marge du tableau : La marge du tableau correspond aux totaux par ligne ou par colonne utilisés pour relier effectifs aux probabilités conditionnelles.
• Nuage de points : Un nuage de points est un graphique où chaque individu apparaît comme un point pour étudier une relation entre deux variables numériques.
• Diagramme en barres empilées : Un diagramme en barres empilées présente des effectifs ou fréquences de deux caractères qualitatifs via des barres segmentées.
• Diagramme circulaire : Un diagramme circulaire visualise la répartition proportionnelle d’un caractère qualitatif par des secteurs proportionnels.

📝 Points essentiels

• Chaque case d’un tableau croisé donne l’effectif ou la fréquence des individus correspondant à une combinaison de modalités des deux caractères.
• Les marges (totaux par ligne et par colonne) permettent de calculer des probabilités conditionnelles à partir des effectifs.
• Pour trier selon plusieurs caractères, la fonction indiquée est Filtrer dans le menu Données.
• Pour compter ceux ayant les deux conditions, on utilise la fonction logique ET ; pour au moins une, on utilise OU.

💡 Astuce mémo

Tableau croisé = cases pour le conjoint, marges pour la conditionnelle.

📖 3. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d’un événement sachant que l’autre événement est réalisé.
• Événements complémentaires : Des événements complémentaires regroupent les cas où un événement se réalise ou ne se réalise pas.
• Intersection d’événements : Une intersection d’événements correspond au fait que les deux événements se réalisent en même temps.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ vérifie $p(B\mid A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$ avec $p(A)\ne 0$.
• Pour deux événements $A$ et $B$, la probabilité conjointe $p(A\cap B)$ s’exprime aussi par $p(A\cap B)=p(B\mid A)\times p(A)$.
• Si $\bar B$ est le complémentaire de $B$, alors $p(\bar B\mid A)=1-p(B\mid A)$ lorsque $A$ est réalisé.
• Dans l’exemple, $p(B)=0,6$ et $p(A\cap B)=0,3$ donnent $p(A\mid B)=\frac{0,3}{0,6}=0,5$.

💡 Astuce mémo

Conditionner revient à diviser la conjointe par la probabilité de la condition : $p(B\mid A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

📖 4. Arbres de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilités : Un arbre de probabilités est un schéma qui organise les issues d’une expérience aléatoire et leurs probabilités associées.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches qui correspond à un événement composé.
• Probabilité sur une branche : Une probabilité sur une branche est un nombre associé à une issue représentée par cette branche.
• Probabilités conditionnelles successives : Des probabilités conditionnelles successives sont des probabilités portées sur des branches dépendant des événements précédents.

📝 Points essentiels

• Dans un arbre, la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut $1$.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.
• Si une partition $(G,\bar G)$ existe, alors la probabilité totale s’obtient en additionnant les produits le long des branches qui réalisent l’événement.

💡 Astuce mémo

Chemin = produit ; événement = somme des chemins.

📖 5. Fonctions affines et suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ définie sur un domaine donné.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une fonction affine est le nombre $a$ qui correspond à la pente de la droite.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur $b$ telle que $f(0)=b$, point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une même valeur constante à celui qui précède.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine $f(x)=ax+b$ est linéaire si $b=0$, et sa représentation passe par l’origine.
• Une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$, et $r$ est la différence constante.
• Le terme général d’une suite arithmétique s’écrit $u_n=u_0+n\times r$ où $u_0$ est le premier terme.
• Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend du signe de $r$ : elle est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$, constante si $r=0$.

💡 Astuce mémo

Même idée pour droite et suite : pente/raison $=$ constante d’évolution.

📖 6. Suites géométriques et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison.
• Raison d’une suite géométrique : La raison $q$ d’une suite géométrique est le facteur commun tel que $u_{n+1}=q\,u_n$.
• Fonction exponentielle : Une fonction exponentielle de base $a$ est une fonction de la forme $f(x)=a^x$ pour $a>0$.
• Croissance exponentielle : Une croissance exponentielle correspond au cas où une suite géométrique augmente de manière multiplicative avec $q>1$.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=q\,u_n$, avec $u_0$ premier terme, et $u_n=u_0\times q^n$ pour tout $n$.
• Si $q>1$, la suite géométrique est strictement croissante ; si $0<q<1$, elle est strictement décroissante.
• Si $q=1$, la suite est constante, et si $q=0,5$ avec $u_0=1$ alors $u_1=0,5^1=0,5$ puis $u_2=0,25$.
• La fonction exponentielle $f(x)=a^x$ est strictement croissante si $a>1$ et strictement décroissante si $0<a<1$.

💡 Astuce mémo

Géométrique : multiplication répétée ; exponentielle : puissance variable $a^x$.

📖 7. Taux de variation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de $f$ entre deux abscisses mesure la pente moyenne de la fonction sur l’intervalle.
• Tangente : La tangente en $a$ est la droite limite qui approche la courbe au point d’abscisse $a$.
• Taux de variation instantané : Le taux de variation instantané est la valeur limite du taux de variation lorsque les deux abscisses se rapprochent indéfiniment.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ vaut $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et correspond à la pente de la sécante reliant $A(a,f(a))$ et $B(b,f(b))$.
• La tangente au point d’abscisse $a$ est la droite qui touche la courbe localement sans la couper.
• Le taux de variation instantané en $a$ est $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ s’il existe et c’est le coefficient directeur de la tangente.
• Le taux instantané sert de base au calcul de la dérivée étudiée ensuite en profondeur.

💡 Astuce mémo

Sécante : moyenne ; tangente : limite (instantané).

📖 8. Nombre dérivé et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
• Dérivée : La dérivée est la fonction qui associe à chaque abscisse où elle existe le nombre dérivé correspondant.
• Extremum local : Un extremum local est un point où la fonction passe d’un sens de variation à l’autre et atteint une valeur maximale ou minimale localement.

📝 Points essentiels

• La tangente à la courbe en $a$ est la droite limite des sécantes quand $b$ se rapproche de $a$ et elle approxime la courbe près de $a$.
• Le nombre dérivé de $f$ en $a$ se note $f'(a)$ et renseigne sur la pente instantanée de la courbe en $a$.
• La fonction est croissante sur un intervalle si $f'(x)\ge 0$ pour tout $x$ de l’intervalle, et décroissante si $f'(x)\le 0$ pour tout $x$.
• Un extremum local en $\alpha$ vérifie au moins $f'(\alpha)=0$ et $f(\alpha)\ge f(x)$ pour un maximum local ou $f(\alpha)\le f(x)$ pour un minimum local.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ : $+$ monte, $-$ descend, $=0$ repère potentiel d’extrémum.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $card(A\cap B)$ et $card(A\cup B)$ : l’un compte “les deux”, l’autre “au moins un”.
2. Inverser la condition dans $p(B\mid A)$ : c’est “$B$ sachant $A$”, donc on divise par $p(A)$, pas par $p(B)$.
3. Oublier l’exigence $p(A)\ne 0$ dans la formule $p(B\mid A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
4. Croire qu’un taux de variation instantané existe toujours : il faut que la limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe.
5. Penser que tangente et courbe coïncident partout : la tangente approxime localement, et la tangente peut ne pas exister en certains points.

✅ Checklist Examen

1. Définir population, caractère, sous-population et complémentaire avec l’effet correspondant.
2. Calculer une fréquence $f(A)=\frac{card(A)}{card(E)}$ et relier $A$ et son complémentaire $\bar A$.
3. Lire un tableau croisé et distinguer ce que donnent une case, une marge de ligne et une marge de colonne.
4. Écrire et utiliser $p(B\mid A)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$ ainsi que $p(A\cap B)=p(B\mid A)\times p(A)$.
5. Manipuler la complémentarité des probabilités conditionnelles : passer de $B$ à $\bar B$ sachant $A$.
6. Appliquer les règles d’arbre : somme à $1$ au même nœud, produit le long d’un chemin, somme des chemins pour un événement.
7. Construire un arbre à deux étapes avec branches de premier niveau et branches de second niveau conditionnées.
8. Résoudre un problème de suite arithmétique : reconnaître $u_{n+1}=u_n+r$, donner $u_n=u_0+n r$ et le sens selon le signe de $r$.
9. Résoudre un problème de suite géométrique : reconnaître $u_{n+1}=q u_n$, utiliser $u_n=u_0 q^n$ et le sens selon $q$ (croissante/décroissante/constante).
10. Associer variations et dérivée : croissante si $f'(x)\ge 0$ et décroissante si $f'(x)\le 0$ sur l’intervalle.
11. Calculer ou interpréter le taux de variation $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et relier le taux instantané à la dérivée via la limite en $h\to 0$.
12. Reconnaître un extremum local via $f'(\alpha)=0$ et le signe d’inégalité sur les valeurs autour de $\alpha$.