QCM : Introduction aux projecteurs et symétries vectorielles — 12 questions

Question 1

1. Que signifie l’égalité E = F ⊕ G pour deux sous-espaces F et G de E ?

Chaque vecteur de E se décompose de façon unique en une somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G

Chaque vecteur de E appartient nécessairement à F et à G à la fois

Tout vecteur de E peut s’écrire de plusieurs façons avec des composantes dans F et G

Les sous-espaces F et G sont égaux et coïncident avec E

Explication

L’écriture E = F ⊕ G signifie que tout vecteur de E admet une décomposition unique x = xF + xG avec xF ∈ F et xG ∈ G. La non-unicité proposée dans une autre option contredit précisément la somme directe.

Answer

Chaque vecteur de E se décompose de façon unique en une somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G

Question 2

2. Dans une situation où E = F ⊕ G, quelle propriété est caractéristique de la décomposition d’un vecteur x ?

Elle dépend du choix arbitraire d’un troisième sous-espace

Elle est unique, avec un seul couple (xF, xG)

Elle impose que xF et xG soient tous deux nuls

Elle autorise plusieurs couples différents donnant le même vecteur

Explication

La somme directe garantit une décomposition unique de x en une partie dans F et une partie dans G. C’est le sens même de la notation ⊕.

Answer

Elle est unique, avec un seul couple (xF, xG)

Question 3

3. Quel critère algébrique permet de reconnaître qu’un endomorphisme p est un projecteur ?

p^2 = p

p + idE = 0

p^2 = idE

p est forcément inversible

Explication

Un endomorphisme est un projecteur si et seulement si il est idempotent, c’est-à-dire p^2 = p. La condition p^2 = idE correspond plutôt à une symétrie.

Answer

Il envoie x sur xF

Answer

Les vecteurs fixés par p

Answer

Im(q) = ker(p) et ker(q) = Im(p)

Answer

s(xF + xG) = xF − xG

Answer

ker(s − idE) et ker(s + idE)

Answer

g(A) est encore contenu dans ker(f)

Answer

s = 2p − idE, donc p = 1/2(s + idE)

Answer

dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E)

Question 4

4. Si p est un projecteur sur F parallèlement à G, que fait p à un vecteur x = xF + xG ?

Il envoie x sur xF + xG

Il envoie x sur xF − xG

Il envoie x sur xF

Il envoie x sur xG

Explication

Une projection sur F parallèlement à G conserve la composante sur F et annule celle sur G. Ainsi, p(x) = xF.

Question 5

5. Quel ensemble décrit l’image d’un projecteur p ?

Les vecteurs envoyés sur 0 par p

Les vecteurs fixés par p

Les vecteurs envoyés sur leur opposé par p

Les vecteurs qui ne changent jamais de sous-espace

Explication

Pour un projecteur, l’image est exactement l’ensemble des vecteurs invariants, ceux qui vérifient p(x) = x. Les vecteurs envoyés sur 0 appartiennent au noyau.

Question 6

6. Pour le projecteur complémentaire q = idE − p, quelle relation entre image et noyau est correcte ?

Im(q) = Im(p) et ker(q) = ker(p)

Im(q) = E et ker(q) = {0}

Im(q) = ker(p) et ker(q) = Im(p)

Im(q) est toujours égale à ker(q)

Explication

Le projecteur complémentaire échange les rôles de la partie conservée et de la partie annulée : son image est le noyau de p et son noyau est l’image de p. Cela correspond à la décomposition complémentaire.

Question 7

7. Quelle formule décrit l’action d’une symétrie vectorielle s par rapport à F parallèlement à G sur x = xF + xG ?

s(xF + xG) = −xF − xG

s(xF + xG) = −xF + xG

s(xF + xG) = xF + xG

s(xF + xG) = xF − xG

Explication

Une symétrie conserve la composante sur F et inverse celle sur G. Elle transforme donc xF + xG en xF − xG.

Question 8

8. Quels noyaux permettent de retrouver les espaces invariants et inversés d’une symétrie s ?

ker(s + 2idE) et ker(s − 2idE)

ker(s) et ker(idE)

ker(s − idE) et ker(s + idE)

ker(s^2 − idE) et ker(s − idE)

Explication

Les vecteurs invariants sont ceux de ker(s − idE) et les vecteurs inversés ceux de ker(s + idE). Ces deux noyaux donnent directement les sous-espaces F et G.

Question 9

9. Si un sous-espace A est stable par g et que f g = g f, que peut-on conclure lorsque A = ker(f) ?

g(A) est nécessairement égal à Im(f)

g(A) est encore contenu dans ker(f)

g(A) est réduit au vecteur nul

g(A) devient un sous-espace non stable

Explication

Si x appartient à ker(f), alors f(x) = 0 et donc f(g(x)) = g(f(x)) = 0 grâce à la commutation. Ainsi, g(x) reste dans ker(f).

Question 10

10. Quelle relation permet de passer d’une symétrie s à un projecteur p ?

s = idE − p, donc p = idE − s

s = 2p − idE, donc p = 1/2(s + idE)

s = p − idE, donc p = s + idE

s = p^2, donc p = s^2

Explication

La passerelle correcte est s = 2p − idE, ce qui équivaut à p = 1/2(s + idE). Cette équivalence relie directement symétrie et projecteur.

Question 11

11. Quelles sont les valeurs propres possibles d’un projecteur ?

0 et −1

0 et 1

Toutes les valeurs réelles

−1 et 1

Explication

Un projecteur vérifie p^2 = p, ce qui contraint ses valeurs propres à 0 ou 1. Les valeurs −1 et 1 correspondent aux symétries.

Question 12

12. Quelle égalité doit être vérifiée pour contrôler la cohérence dimensionnelle d’un projecteur p ?

dim(Im(p)) + dim(ker(p)) = dim(E)

dim(Im(p)) − dim(ker(p)) = dim(E)

dim(Im(p)) = dim(ker(p)) pour tout p

dim(ker(p)) = 0 dans tous les cas

Explication

Le théorème du rang impose que la dimension de l’image plus celle du noyau égale la dimension de l’espace. C’est une vérification essentielle après un calcul de projecteur.

QCM : Introduction aux projecteurs et symétries vectorielles — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’égalité E = F ⊕ G pour deux sous-espaces F et G de E ?

2. Dans une situation où E = F ⊕ G, quelle propriété est caractéristique de la décomposition d’un vecteur x ?

3. Quel critère algébrique permet de reconnaître qu’un endomorphisme p est un projecteur ?

4. Si p est un projecteur sur F parallèlement à G, que fait p à un vecteur x = xF + xG ?

5. Quel ensemble décrit l’image d’un projecteur p ?

6. Pour le projecteur complémentaire q = idE − p, quelle relation entre image et noyau est correcte ?

7. Quelle formule décrit l’action d’une symétrie vectorielle s par rapport à F parallèlement à G sur x = xF + xG ?

8. Quels noyaux permettent de retrouver les espaces invariants et inversés d’une symétrie s ?

9. Si un sous-espace A est stable par g et que f g = g f, que peut-on conclure lorsque A = ker(f) ?

10. Quelle relation permet de passer d’une symétrie s à un projecteur p ?

11. Quelles sont les valeurs propres possibles d’un projecteur ?

12. Quelle égalité doit être vérifiée pour contrôler la cohérence dimensionnelle d’un projecteur p ?

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