Fiche de révision : Introduction aux statistiques et symboles

📋 Plan du Cours

1. Rôle des statistiques inférentielles
2. Travailler et évaluer le cours
3. Ensembles et opérations fondamentales
4. Indices sommes et produits
5. Partitions et ensembles complémentaires
6. Produits et sommes indicées
7. Fondements du dénombrement
8. Principe multiplicatif
9. Permutations et arrangements
10. Combinaisons sans ordre

📖 1. Rôle des statistiques inférentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistiques : Science et art d’apprendre à partir des données, en les recueillant, en les analysant, en les interprétant et en communiquant efficacement des résultats solides.
• Statistiques inférentielles : Consistent à inférer les caractéristiques d’une population entière à partir de données obtenues sur un échantillon représentatif de cette population.

★ À maîtriser

📌 Les valeurs empiriques sont observées dans l’échantillon, tandis que les paramètres décrivent la population et sont généralement inconnus.

Compléments

📌 Une variable discrète prend des valeurs dénombrables, comme le nombre de patients ayant réussi un test, alors qu’une variable continue peut prendre des valeurs sur un continuum, comme le temps de réalisation d’une tâche.

• Les statistiques constituent un outil précieux pour la prise de décision, car l’intuition peut induire en erreur lorsqu’il faut raisonner à partir de données objectives.

💡 Astuce mémo

Données solides → décisions mieux fondées

📖 2. Travailler et évaluer le cours

★ À maîtriser

• L’évaluation de première session repose uniquement sur six contrôles continus en ligne, dont le premier est blanc et ne compte pas dans la note finale.

📌 La note finale de première session est la moyenne pondérée des contrôles continus 2 à 6, avec un poids de 1 pour les contrôles 2, 3, 4 et 5 et un poids de 6 pour le contrôle 6.

• 🔄 Le travail recommandé suit plusieurs étapes :
  1. Lire attentivement le diaporama
  2. Tenter les exercices sans aide
  3. Vérifier et comprendre ses réponses
  4. Consulter le manuel
  5. Résoudre la fiche de TD
  6. Reprendre les difficultés en TD

Compléments

• Les contrôles continus 1 à 5 comportent 10 questions à traiter en 10 à 15 minutes, tandis que le contrôle continu 6 comporte environ 25 questions avec un peu plus de temps par question.

📌 Pour cet enseignement, il faut maîtriser la distinction entre variables numériques et non numériques, puis entre variables numériques discrètes et continues, ainsi que l’arithmétique de base, les fractions, la multiplication de nombres sous-unitaires et les puissances.

💡 Astuce mémo

Diaporama → manuel → fiche TD → TD

📖 3. Ensembles et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble Ω : Regroupe toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire ; pour un dé à six faces, $\Omega=\{1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6\}$ et les résultats 0 ou 7 n’en font pas partie.
• Intersection : Contient les éléments communs à A et B ; par exemple, avec $N_6=\{1{,}2{,}3{,}4{,}5\}$ et $P=\{2{,}4{,}6\}$, $N_6\cap P=\{2{,}4\}$.
• Réunion : Contient les éléments appartenant à A, à B ou aux deux ; par exemple, $I\cup P=\Omega$ pour $I=\{1{,}3{,}5\}$ et $P=\{2{,}4{,}6\}$.

★ À maîtriser

📌 L’inclusion $A\subset B$ signifie que tous les éléments de A appartiennent aussi à B, tandis que l’appartenance $x\in A$ signifie que l’élément x appartient à A.

Compléments

📌 Une expression mélangeant intersections et réunions doit comporter des parenthèses, car $A\cap B\cup C$ est ambigu ; en revanche, une suite utilisant un seul opérateur peut être écrite sans parenthèses grâce à la commutativité.

💡 Astuce mémo

∈ relie un élément à un ensemble, ⊂ relie un ensemble à un autre

📖 4. Indices sommes et produits

★ À maîtriser

📌 Pour compter sans décalage, il faut commencer à 1 : le dernier nombre prononcé indique alors directement le nombre d’objets comptés, tandis qu’un comptage commençant à 0 donne un total égal au dernier indice plus 1.

• Une série de N mesures peut être notée $x_i$ avec $i=1,\ldots,N$, ce qui signifie que les mesures vont de $x_1$ à $x_N$ et qu’une même valeur peut apparaître plusieurs fois.

• Pour J séries comportant chacune I mesures, une mesure se note $x_{ij}$ avec $i=1,\ldots,I$ pour l’indice des mesures et $j=1,\ldots,J$ pour l’indice des groupes.

• Lorsque les séries comportent des nombres différents de mesures, le nombre de mesures de la série j se note $n_j$ et les données s’écrivent $x_{ij}$ avec $i=1,\ldots,n_j$ et $j=1,\ldots,J$.

📐 Formule - La somme d’une série de K mesures se note $\sum_{k=1}^{K}x_k$, où k=1 indique le premier terme et K le dernier.

📐 Formule - Pour une série de K mesures multipliées par une constante c, la somme vérifie $\sum_{k=1}^{K}c\times x_k=c\times\sum_{k=1}^{K}x_k$.

Compléments

📐 Formule - Le produit d’une série de K mesures se note $\prod_{k=1}^{K}x_k$, où k=1 indique le premier facteur et K le dernier.

📐 Formule - Pour J séries de tailles éventuellement différentes, la somme de toutes les mesures se note $\sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}$.

💡 Astuce mémo

Un indice étiquette chaque mesure, tandis que Σ additionne et Π multiplie

📖 5. Partitions et ensembles complémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de Ω : Constituée de parties dont la réunion vaut Ω et dont les intersections deux à deux sont vides.
• Ensembles complémentaires : Lorsque leur réunion vaut Ω et que leur intersection est vide.
• Ensemble des parties : Ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, y compris l’ensemble vide et Ω lui-même.

📝 Points essentiels

• Avec $A=\{1{,}5\}$, $B=\{2{,}4\}$ et $C=\{3{,}6\}$, les ensembles A, B et C réalisent une partition de $\Omega=\{1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6\}$.

• Les ensembles $I=\{1{,}3{,}5\}$ et $P=\{2{,}4{,}6\}$ sont complémentaires, car $I\cup P=\Omega$ et $I\cap P=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Partition : plusieurs parties disjointes ; complémentarité : deux parties disjointes qui couvrent Ω

📖 6. Produits et sommes indicées

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole produit : désigne le produit des facteurs $x_1\times x_2\times\cdots\times x_K$, où k varie de 1 à K.
• Somme double : Pour J séries de mesures comportant respectivement n_j données, la somme de toutes les données s’écrit $\sum_{j=1}^{J}\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}$.

📝 Points essentiels

• Pour les trois séries données, les sommes internes valent 17, 27 et 19, puis leur somme totale vaut 63.

💡 Astuce mémo

Produit simple → produit généralisé → somme double

📖 7. Fondements du dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Dénombrement : consiste à compter les éventualités d’une situation afin de déterminer le nombre total de configurations possibles.
• Probabilité : le nombre d’éventualités d’un événement cible divisé par le nombre total d’éventualités.

📝 Points essentiels

• Les quatre profils possibles sont :
  • (R,R)
  • (R,E)
  • (E,R)
  • (E,E)

💡 Astuce mémo

Dénombrer les éventualités → calculer les probabilités

📖 8. Principe multiplicatif

★ À maîtriser

📌 Quand une expérience comporte deux phases consécutives ayant respectivement k_1 et k_2 issues, le nombre de configurations possibles est $k_1\times k_2$.

📌 Quand une expérience comporte N phases consécutives, la phase i ayant k_i issues, le nombre de configurations est $\prod_{i=1}^{N}k_i=k_1\times k_2\times\cdots\times k_N$.

Compléments

• Une épreuve composée de trois tests binaires possède $2\times2\times2=8$ profils de résultats possibles.

• Un labyrinthe offrant successivement 2, 3 puis 2 choix de route possède $2\times3\times2=12$ profils de parcours possibles.

💡 Astuce mémo

Phase 1 × phase 2 × … × phase N

📖 9. Permutations et arrangements

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : définie par $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$.
• Permutation : dénombre les rangements ordonnés possibles de l’ensemble des n éléments, soit $n!$.
• Arrangement : dénombre les k-uplets ordonnés que l’on peut extraire d’un ensemble de n éléments, selon $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$.

📝 Points essentiels

• Le nombre de rangements ordonnés de 6 téléphones distincts est $6!=720$.

• Le nombre de sélections ordonnées de 3 téléphones parmi 7 est $A_7^3=\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210$.

💡 Astuce mémo

Permutation : tous les objets ; arrangement : seulement k objets ordonnés

📖 10. Combinaisons sans ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : dénombre les sélections non ordonnées de k éléments parmi n selon $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

★ À maîtriser

📌 Une sélection sans ordre retient k éléments parmi n sans les classer par préférence, de sorte que les mêmes éléments dans un ordre différent constituent un seul choix.

📌 Les coefficients binomiaux vérifient la symétrie $C_n^k=C_n^{n-k}$, car sélectionner k objets revient à laisser n-k objets.

Compléments

• Le nombre de choix non ordonnés de 3 produits parmi 7 est $C_7^3=\frac{210}{3!}=35$.

📌 Les cas extrêmes vérifient $C_n^n=1$ et $C_n^0=1$, car il n’existe qu’une manière de prendre tous les objets ou de n’en prendre aucun.

💡 Astuce mémo

Arrangement : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas

📊 Tableaux de synthèse

Opérations sur les ensembles

Types de dénombrement