Fiche de révision : Introduction aux suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites arithmétiques
2. Terme général et fonction affine
3. Variation des suites arithmétiques
4. Limites des suites arithmétiques
5. Sommes de suites arithmétiques
6. Définition des suites géométriques
7. Variation des suites géométriques
8. Limites et sommes géométriques

📖 1. Définition des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsqu’il existe un réel r tel que, pour tout n, le passage de u_n à u_{n+1} ajoute toujours r.
• Raison r : La raison d’une suite arithmétique est la constante r qui représente l’écart u_{n+1}-u_n.
• Exemple de suite arithmétique : Une suite arithmétique modélise un phénomène où on ajoute la même quantité à chaque étape discrète.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, on a pour tout n : u_{n+1}-u_n=r.
• Si u_0=5 et u_{n+1}=u_n-2, alors la raison vaut r=-2.
• Une suite arithmétique correspond à un incrément constant (même quantité ajoutée à chaque pas).

💡 Astuce mémo

Arithmétique = “+ r” : l’écart entre deux termes consécutifs est constant.

📖 2. Terme général et fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme général : Le terme général d’une suite arithmétique exprime u_n directement en fonction de n, sans calculer tous les termes précédents.
• Forme explicite : La forme explicite d’une suite arithmétique donne u_n en fonction de u_0, n et la raison r.
• Fonction affine : Une fonction affine a pour la forme f(x)=a x + b et l’écriture d’une suite arithmétique est l’échantillonnage de cette forme sur les entiers.

📝 Points essentiels

• Si u est arithmétique de raison r, alors pour tout n≥p : u_n=u_p+(n-p)r.
• Pour une suite arithmétique : u_n=u_0+n r pour tout n.
• Si u_0=5 et r=2, alors u_n=5+2n pour tout n∈N.

💡 Astuce mémo

u_n = u_0 + n r : une droite “u0 + pente·n”.

📖 3. Variation des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation indique si les termes augmentent, restent constants ou diminuent quand n grandit.
• Monotonie croissante : Une suite est croissante si u_{n+1}≥u_n pour tout n.
• Monotonie décroissante : Une suite est décroissante si u_{n+1}≤u_n pour tout n.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r : si r≥0 alors elle est croissante (au sens non strict).
• Pour une suite arithmétique de raison r : si r=0 alors elle est constante.
• Pour une suite arithmétique de raison r : si r≤0 alors elle est décroissante (au sens non strict).
• Exemple : u_0=4 et u_{n+1}=u_n-3 donne r=-3 donc la suite est décroissante.
• Si on remplace les inégalités larges par < et >, on obtient le version strictement croissante/décroissante.

💡 Astuce mémo

Signe de r = signe du “pas” : r>0 monte, r<0 descend, r=0 plat.

📖 4. Limites des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une limite infinie signifie que u_n diverge vers +∞ ou vers −∞.
• Convergence : Une suite est convergente si u_n approche un réel fini quand n→+∞.

📝 Points essentiels

• Toute suite arithmétique de raison r non nulle est divergente.
• Si r>0 pour une suite arithmétique, alors lim_{n→+∞}u_n=+∞.
• Si r<0 pour une suite arithmétique, alors lim_{n→+∞}u_n=−∞.
• Si r=0, alors la suite est convergente et lim_{n→+∞}u_n=u_0.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : pas constant ⇒ si r≠0 ça “part” en infini, si r=0 ça se fige à u_0.

📖 5. Sommes de suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de termes consécutifs : Une somme de termes consécutifs additionne les valeurs u_k pour k allant d’un rang de départ jusqu’à un rang final.
• Formule de la moyenne : Dans une suite arithmétique, la somme s’écrit comme la moyenne des deux extrêmes multipliée par le nombre de termes.
• Nombre de termes : Le nombre de termes d’une somme de u_k de k=p à k=n vaut (n-p+1).

📝 Points essentiels

• Pour n≥1 : 1+2+…+n = n(n+1)/2.
• Si u est arithmétique de raison r, alors pour n>p : ∑_{k=p}^n u_k = (u_p+u_n)(n-p+1)/2.
• Exemple : u_0=5, r=2, somme de 20 premiers termes (k=0 à 19) : S=(u_0+u_19)·20/2=480.

💡 Astuce mémo

Somme arithmétique = (premier + dernier) × nombre de termes / 2.

📖 6. Définition des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsqu’il existe un réel q tel que, pour tout n, u_{n+1}=u_n×q.
• Raison q : La raison q d’une suite géométrique est le facteur multiplicatif commun entre deux termes consécutifs.
• Forme multiplicative : Une suite géométrique modélise un phénomène où on multiplie par le même facteur à chaque étape.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique : u_{n+1}=u_n×q et donc u_{n+1}/u_n=q (quand u_n≠0).
• Exemple : u_0=5 et q=1/2 donne u_{n+1}=u_n×1/2.
• Si q est le facteur commun, alors chaque étape multiplie la quantité précédente par q.

💡 Astuce mémo

Géométrique = “× q” : le ratio u_{n+1}/u_n est constant.

📖 7. Variation des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotonie : La monotonie décrit si les termes restent constants, augmentent ou diminuent selon n.
• Suite non monotone : Une suite est non monotone si elle n’est ni toujours croissante ni toujours décroissante.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison q≠0 : si q<0, la suite n’est pas monotone.
• Si 0<q<1, alors la suite est décroissante.
• Si q=1, alors la suite est constante et vaut 1.
• Si q>1, alors la suite est croissante.
• Exemple : u_n=(−1)^n (donc q=−1) alterne et n’est pas monotone.

💡 Astuce mémo

q<0 ⇒ alternance ; 0<q<1 ⇒ décroît ; q=1 ⇒ fixe ; q>1 ⇒ croît.

📖 8. Limites et sommes géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite d’une suite géométrique : La limite d’une suite géométrique dépend directement de la valeur de q et de sa relation à 1 et à −1.
• Somme géométrique : Une somme géométrique additionne des puissances successives ou des termes u_k issus d’une suite u_{k+1}=u_k×q.
• Formule de la somme avec q≠1 : Pour q≠1, la somme géométrique s’exprime avec une différence de puissances sur 1−q.

📝 Points essentiels

• Pour q≠0 : si q≤−1, alors la suite q^n est divergente sans limite précise.
• Pour −1<q<1 : lim_{n→+∞}q^n=0.
• Pour q=1 : lim_{n→+∞}q^n=1, et pour q>1 : lim_{n→+∞}q^n=+∞.
• Pour q≠1 et n≥0 : ∑{k=n0}^n q^k = (1−q^{n+1})/(1−q) pour la série de puissances décrite, et ∑{k=p}^n u_k = u_p(1−q^{n-p+1})/(1−q).
• Exemple : u_0=3, q=2, somme de 10 premiers termes (k=0 à 9) : S=3(1−2^{10})/(1−2)=−3(1−1024)=−3(−1023)=3069.

💡 Astuce mémo

Limites : |q|<1 ⇒ 0 ; q=1 ⇒ 1 ; q>1 ⇒ +∞ ; q≤−1 ⇒ divergence.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la définition : en arithmétique on ajoute une constante r, en géométrique on multiplie par un facteur q.
2. Prendre le mauvais sens de variation pour une suite arithmétique : c’est le signe de r qui décide.
3. Oublier le cas r=0 pour les limites arithmétiques : la suite ne diverge pas et vaut u_0.
4. Utiliser la formule de somme géométrique quand q=1 : la formule donnée exige q≠1.
5. Confondre la décroissance d’une géométrique : si 0<q<1 alors c’est décroissant, mais si q>1 c’est croissant.
6. Confondre alternance et monotonie : une géométrique avec q<0 n’est pas monotone car les signes alternent selon n.

✅ Checklist Examen

1. Déterminer si une suite est arithmétique à partir de la relation entre u_{n+1} et u_n et identifier la raison r.
2. Calculer u_n à partir de u_0 et r en utilisant u_n=u_0+n r.
3. Calculer u_n à partir de u_p et r en utilisant u_n=u_p+(n-p)r.
4. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique en fonction du signe de r.
5. Conclure sur la limite d’une suite arithmétique : r>0 vers +∞, r<0 vers −∞, r=0 vers u_0.
6. Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique avec (u_p+u_n)(n-p+1)/2.
7. Déterminer si une suite est géométrique et identifier la raison q via u_{n+1}=u_n×q.
8. Écrire le terme général d’une suite géométrique sous la forme u_n=u_0×q^n.
9. Déterminer le sens de variation d’une suite géométrique selon q : q<0 non monotone, 0<q<1 décroissante, q=1 constante, q>1 croissante.
10. Conclure sur la limite d’une géométrique selon q : q≤−1 divergence, −1<q<1 vers 0, q=1 vers 1, q>1 vers +∞.
11. Calculer une somme géométrique pour q≠1 avec une formule de type u_p(1−q^{n-p+1})/(1−q).
12. Faire un calcul numérique de somme (exemples de type 20 premiers termes arithmétiques ou 10 premiers termes géométriques) jusqu’à un entier donné.