Fiche de révision : Introduction aux Suites et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et géométriques
2. Limites et comparaison de suites
3. Sommes et moyenne de Cesàro
4. Trigonométrie
5. Continuité et dérivabilité
6. Logarithme et exponentielle
7. Calcul d’intégrales
8. Équations différentielles
9. Nombres complexes
10. Transformations du plan complexe
11. Géométrie dans l’espace
12. Probabilités et dénombrement

📖 1. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont la différence successive est constante.
• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite dont le rapport successive est constant.
• Règle d’Alembert : La règle d’Alembert donne la limite d’une suite à partir de celle du rapport $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ quand $U_n$ est positive.
• Moyenne de Cesàro : La moyenne de Cesàro relie la limite d’une suite à la limite de la suite des moyennes de ses premiers termes.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison $q$, si $-1<q<1$ alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$ et si $q>1$ alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$.
• Si $\lim_{n\to+\infty}\frac{U_{n+1}}{U_n}=l\ge0$ et $U_n$ est positive, alors $l>1\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}U_n=+\infty$ et $0\le l<1\Rightarrow \lim_{n\to+\infty}U_n=0$.
• Pour une suite liée à une fonction $f$ vérifiant $U_{n+1}=f(U_n)$, si $f$ est continue sur $I$, $f(I)\subset I$, et $U_n\to l$ alors $l$ vérifie $f(l)=l$.
• Si $U_n\to l$ alors $\frac{U_1+\cdots+U_n}{n}\to l$, et aussi $\frac{U_1- U_0+\cdots+U_n-U_{n-1}}{n}\to l$ dans le cas où la moyenne correspond à la moyenne de Cesàro utilisée.
• Si $U_n\to l$ et $U_{n+1}-U_n\to 2$, alors $U_n$ est égale à une quantité qui croît linéairement (via la méthode de moyenne de Cesàro indiquée).

💡 Astuce mémo

Alembert = Quotient : $\frac{U_{n+1}}{U_n}\to l$ puis $l>1$ explose, $l<1$ s’éteint, $l=1$ reste ambigu.

📖 2. Limites et comparaison de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison par inégalités : Des inégalités entre deux suites permettent de déduire le comportement de limite de l’une à partir de celle de l’autre.
• Principe d’encadrement : Si une suite est coincée entre deux autres qui convergent vers la même valeur, alors elle converge vers cette même valeur.
• Limite infinie : Une suite admet une limite infinie quand ses valeurs deviennent arbitrairement grandes (ou petites) en valeur absolue à partir d’un certain rang.
• Point fixe d’une itération : Sous continuité et stabilité de l’intervalle, la limite d’une suite définie par $U_{n+1}=f(U_n)$ vérifie l’équation $f(x)=x$.

📝 Points essentiels

• Si $V_n\le U_n$ et $\lim_{n\to+\infty}V_n=+\infty$ alors $\lim_{n\to+\infty}U_n=+\infty$.
• Si $U_n\le V_n$ et $\lim_{n\to+\infty}V_n=-\infty$ alors $\lim_{n\to+\infty}U_n=-\infty$.
• Si $V_n\le U_n\le W_n$ et $\lim_{n\to+\infty}V_n=\lim_{n\to+\infty}W_n=l$ alors $\lim_{n\to+\infty}U_n=l$.
• Si $|U_n-l|<V_n$ et $\lim_{n\to+\infty}V_n=0$ alors $\lim_{n\to+\infty}U_n=l$.
• Pour une suite géométrique $q^n$: si $-1<q<1$ alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$, si $q>1$ alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$, et si $q<-1$ elle n’admet pas de limite.

💡 Astuce mémo

Encadre = Squeeze: $V\le U\le W$ et $V,W\to l$ donc $U\to l$.

📖 3. Sommes et moyenne de Cesàro

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Cesàro : Le théorème de Cesàro relie la convergence d’une suite à la convergence de ses moyennes arithmétiques.
• Conversion via moyenne : La conversion via moyenne consiste à réécrire un terme sous forme de somme puis à appliquer la moyenne de Cesàro.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{n\to+\infty} v_n=l$, alors $\lim_{n\to+\infty}\frac{v_1+\cdots+v_n}{n}=l$.
• Dans l’application, on pose $S_n=\ell_n(u_n)$ puis on ramène $\ell_n(u_n)$ à une moyenne de termes dont la limite vaut $2$.

💡 Astuce mémo

Convergence de v_n ⇒ moyenne de (v_1,...,v_n) converge vers la même limite (Cesàro garde la valeur).

📖 4. Trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation trigonométrique : Une équation trigonométrique est une égalité où interviennent des fonctions trigonométriques comme $cos$ et $sin$, et qu’on cherche à résoudre dans $mathbb{R}$.
• Combinaison linéaire sinus cosinus : Une combinaison de la forme $A a g(x)+B a g(x)$ correspond à une expression qui peut souvent se réécrire avec une seule fonction trigonométrique décalée.
• Solutions périodiques : Des solutions issues d’une équation trigonométrique s’expriment fréquemment avec un paramètre entier $k\in\mathbb{Z}$ à cause de la périodicité.
• Limite de logs trigonométriques : Une limite impliquant des $ln$ de $cos$ s’évalue en utilisant des équivalents près de $0$ pour déterminer le comportement du produit ou du rapport.

📝 Points essentiels

• Résoudre $\cos x-\sqrt3\sin x-\sqrt2=0$ revient à obtenir $\cos(x+\pi/3)=\sqrt2/2$, donnant $S=\{-\pi/12+2k\pi\}\cup\{-7\pi/12+2k\pi\}$ pour $k\in\mathbb{Z}$.
• Résoudre $\cos(2x)=\sin x$ mène à $2x=\pi/2-x+2k\pi$, donc $S=\{\pi/6+2k\pi/3\}$ pour $k\in\mathbb{Z}$.
• $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos2x)}{\ln(\cos3x)}=\frac{4}{9}$ se déduit du passage aux formes en $\cos(ax)\approx 1$ près de $0$ et de la comparaison des termes dominants.

💡 Astuce mémo

Convertir $\cos x-\sqrt3\sin x$ en une seule forme décalée: $\cos x-\sqrt3\sin x=2\cos(x+\pi/3)-?$, puis on résout avec $\cos(\cdot)=\,$ valeur obtenue.

📖 5. Continuité et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en 0 : La continuité en 0 signifie que la limite de la fonction lorsque $x\to 0^+$ coïncide avec la valeur donnée en $x=0$.
• Fonction dérivée en 0 : La dérivabilité en 0 signifie que la limite du taux d’accroissement en 0 existe et définit la valeur de la dérivée en 0.
• Primitive : Une primitive $F$ de $f$ est une fonction telle que $F'(x)=f(x)$ sur l’intervalle considéré.
• Dérivée d’une fonction inverse : Si $F$ est bijective et dérivable avec $F(0)=0$, alors la dérivée de $F^{-1}$ en 0 s’exprime à partir de la dérivée de $F$ en 0.
• Tangente à une courbe : La tangente à la courbe d’une fonction au point d’abscisse donné est la droite passant par ce point et de pente égale à la dérivée en ce point.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}$ pour $x>0$ et $f(x)=ax+b$ pour $x\le 0$, alors la continuité en 0 impose $b=-\dfrac12$ avec $a$ quelconque réel.
• Si $F$ est une primitive de $f$ et que $F(0)=0$, alors $(F^{-1})'(0)=\dfrac{1}{F'(0)}=\dfrac{1}{f(0)}$.
• Pour $f(x)=x e^x$, la fonction inverse $f^{-1}$ au point d’abscisse $e$ a pour tangente $y=\dfrac12 e x+\dfrac12$.
• La pente de la tangente en un point se calcule comme la dérivée de la fonction au même point.

💡 Astuce mémo

Pour la continuité, utilise le développement $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\cdots$ donc $\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}\to -\dfrac12$ quand $x\to 0^+$.

📖 6. Logarithme et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle $e^x$ : Fonction définie par la base $e$ qui apparaît sous forme $e^{kx}$ dans les calculs d’intégrales et de limites.
• Logarithme népérien : Fonction notée n(x) utilisée pour obtenir des primitives de quotients et de formes issues de dérivées de logarithmes.
• Transformation par dérivée de $e^x$ : Méthode qui consiste à repérer une dérivée de l’expression contenue dans un logarithme, comme $\frac{(e^x-1)}{(e^x+1)}$ ou des dérivées de $\sqrt{x+1}$.
• Changements de variables logarithmiques : Technique consistant à reformuler une primitive sous la forme $\ln(\ln(\cdot))$ ou $\ln(\cdot)$ enchaîné avec une nouvelle variable.

📝 Points essentiels

• Pour $I_n=\int_1^e \frac{e^{n x}}{e^x+1}dx$ avec $n\in\mathbb N^*$, on a $I_{n+1}+I_n=\frac{e^n-1}{n}$, et donc $I_{n+1}+I_n=\frac{e^n-1}{n}$ vérifie le choix (D).
• L’intégrale $\int_{1}^{e} \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}dx$ vaut $\ln\left(\frac{e^2+1}{2e}\right)$ (réponse (A)).
• On a $\int_{e^2}^{\;?}$ pas fourni dans la source, mais on retient l’expression donnée : $\int_{e^2}^{e^{2}} x\,\ln(\ln x)\,dx= -\ln(\ln 2)\,$ (réponse (B) dans la source).
• Le calcul $\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{8}-1}{1}\,dx$ n’est pas pertinent ici, mais la primitive utilisée dans la source mène à $\int_0^1 \left(\sqrt{x}+1\right)'\sqrt{x}+1\,dx=\frac{2}{3}(\sqrt{8}-1)$ (réponse (E)).
• Dans le raisonnement par encadrement, $0\le I_n\le \frac{1}{2^n}$ entraîne $\lim_{n\to+\infty} I_n=0$ par le théorème des gendarmes (étape avec $\frac{1}{2n}$ et $\frac{1}{2^n}$ dans la source).

💡 Astuce mémo

Pense à la paire $\ln(\text{quelque chose})$ : repère une dérivée du numérateur sur le même dénominateur, comme dans $\ln(e^x+e^{-x})$.

📖 7. Calcul d’intégrales

📖 8. Équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y' − y = 4 : Une équation différentielle du type « dérivée moins la fonction » égale une constante, ici 4.
• Condition initiale y0(1) = 2 : La condition initiale fixe la valeur de la solution au point x=1, ici y0(1)=2.
• Solution y(x)=k e^x − 4 : La forme générale de la solution de y'−y=4 se met sous la forme y(x)=k e^x−4 avec k constante.

📝 Points essentiels

• Toute équation de la forme y' = a y + b admet pour solutions y(x)=k e^{ax}−\frac{b}{a} avec k constante.
• Pour y'−y=4, on a y'=y+4, donc y(x)=k e^x−4.
• Si y0(1)=2 pour y'−y=4 alors k e−4=2 donc k=6.
• Avec k=6, la valeur demandée est y0(2)=6e^{2}−4=6e^{−4}.

📖 9. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Module d’un nombre complexe : Le module est la distance du point image au point d’origine dans le plan complexe, et c’est une valeur positive associée à $|z|.
• Argument principal : L’argument d’un complexe est un angle orienté qui décrit sa position, et sa mesure est donnée modulo $2\pi$.
• Équation algébrique en $z$ : Une équation en nombres complexes se résout en transformant l’égalité sur $z$ en une équation du type polynôme dont les solutions sont les affixes correspondantes.
• Condition $\frac{z+a}{z+b} \in i\mathbb{R}$ : Une condition d’appartenance à $i\mathbb{R}$ impose une contrainte d’argument ou d’imaginaire pur, ce qui géométrise souvent le lieu comme un cercle ou une droite.

📝 Points essentiels

• Résoudre $2z-1\,/\,z+1=z$ revient à $z^2-z+\tfrac12=0$ et donne $z=\tfrac{1+ i\sqrt3}{2}$ ou $z=\tfrac{1- i\sqrt3}{2}$.
• Si $z=\sqrt5\,e^{-i\pi/8}$, alors $|z|=\sqrt5$ car $|e^{i\theta}|=1$.
• La condition $\dfrac{z+1}{z-1}\in i\mathbb{R}$ (avec $z\neq 1$) définit le cercle de diamètre reliant les points d’affixes $1$ et $-1$ privé du point d’affixe $1$.
• Si $z'=(1+i\sqrt3)z+i$, alors l’angle $(\overrightarrow{OM};\overrightarrow{OM'})$ vaut $\tfrac{2\pi}{3}$ (mesure donnée dans les propositions).
• Si $z_1^3=z_2^3=z_3^3$ et les $z_k$ sont distincts, alors $z_2=z_1\omega$ et $z_3=z_1\omega^2$ avec $\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$, ce qui donne trois racines cubiques distinctes du même cube.

💡 Astuce mémo

Idée repère: $\left|e^{i\theta}\right|=1$ pour le module; l’angle vient de $\arg(\text{facteur multiplicatif})$.

📖 10. Transformations du plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Cube des racines de l’unité : On appelle racines complexes de l’unité les nombres dont la puissance donne 1, ce qui permet de relier des solutions via des rotations complexes.
• ω=e^{2iπ/3} : ω désigne une racine cubique de l’unité, utilisée pour décrire toutes les valeurs obtenues en multipliant par des facteurs de cube.
• Argument d’un complexe : L’argument d’un nombre complexe décrit l’angle modulo $2\pi$ correspondant à sa position dans le plan complexe.
• Module d’un complexe : Le module d’un complexe mesure sa distance à l’origine et se calcule via $|zw|=|z||w|$ pour des produits.

📝 Points essentiels

• Si $(z_1)^3=(z_2)^3=(z_3)^3=1$ alors $z_2$ et $z_3$ sont obtenus en multipliant 1 par les deux autres racines cubiques de l’unité, soit $\omega$ et $\omega^2$ avec $\omega=e^{2i\pi/3}$.
• Pour $z=(1-i)^{10}(1+i\sqrt3)^{4}$, on obtient $|z|=2$ et $\arg(z)\equiv \frac{\pi}{6}[2\pi]$.
• Si $\arg(z)\equiv \frac{7\pi}{6}[2\pi]$ et $|z|=\sqrt2$, alors $\arg(z^3)\equiv 0[2\pi]$ et $\Im(z^3)=0$.
• Si $z=\sqrt2 e^{i\theta}$ alors $z^3=(\sqrt2)^3 e^{i3\theta}$ et l’argument est multiplié par 3 modulo $2\pi$.
• Pour toute racine cubique de l’unité $\lambda$, on a $\lambda^3=1$ et donc $\lambda$ ne change pas la valeur du cube.

💡 Astuce mémo

Cube = 3 rotations : $z\mapsto z^3$ multiplie l’argument par 3 (mod $2\pi$), donc les positions se regroupent par angles séparés de $\frac{2\pi}{3}$.

📖 11. Géométrie dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan (P) : Un plan de l’espace défini par une équation cartésienne du type $ax+by+cz+d=0$.
• Plan (P') : Un plan de l’espace défini par une autre équation cartésienne du type $ax+by+cz+d=0$.
• Droite (∆) : Une droite de l’espace donnée par un système paramétrique à partir d’un paramètre $t\in\mathbb{R}$.
• Vecteur normal : Un vecteur orthogonal au plan, dont la direction donne l’orientation du plan.

📝 Points essentiels

• Pour vérifier que $(\Delta)\subset(P)$, on remplace la représentation paramétrique de $(\Delta)$ dans l’équation de $(P)$ et on vérifie que l’égalité est vraie pour tout $t$.
• Si deux plans ont des vecteurs normaux colinéaires, alors ils sont parallèles; si un vecteur directeur est orthogonal à un vecteur normal, alors la droite est contenue dans le plan correspondant.
• Dans le QCM donné, on obtient bien $(\Delta)\subset(P)$ et aussi $(\Delta)\subset(P')$, ce qui correspond à la réponse A.
• Dans le QCM donné, on n’a pas $(\Delta)\cap(P)=\varnothing$ car un point de $(\Delta)$ appartient à $(P)$, ce qui élimine les propositions d’intersection vide.

💡 Astuce mémo

Test inclusion: paramètre t → dans l’équation du plan: si ça vaut 0 pour tout t, alors la droite est dans le plan.

📖 12. Probabilités et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Un événement est un sous-ensemble de résultats possibles, correspondant à un critère (par exemple « on tire une boule verte »).
• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle mesure la chance d’un événement quand on suppose qu’un autre événement est déjà réalisé.
• Tirage sans remise : Un tirage sans remise est une expérience où une fois qu’un élément est choisi, il n’est pas replacé avant les tirages suivants.
• Loi binomiale : Une loi binomiale modélise le nombre de succès lors de $n$ épreuves indépendantes à deux issues, avec une probabilité de succès $p$ à chaque épreuve.
• Espérance mathématique : L’espérance mathématique est une valeur moyenne théorique, calculée à partir des valeurs possibles pondérées par leurs probabilités.

💡 Astuce mémo

Binomiale : $\text{succès}=n$ essais indépendants, à chaque fois $p$ ; Espérance = moyenne théorique.