La différence entre deux termes consécutifs est constante
Explication
Une suite arithmétique est définie par une différence successive constante. Le rapport constant, lui, caractérise une suite géométrique.
0
Explication
Pour une suite géométrique de raison comprise strictement entre -1 et 1, les puissances q^n tendent vers 0. La divergence vers +∞ correspond au cas q>1.
U_n converge aussi vers l
Explication
C’est le principe d’encadrement : si V_n ≤ U_n ≤ W_n et que V_n et W_n tendent vers la même limite, alors U_n tend vers cette même limite. La monotonie n’intervient pas ici.
U_n tend vers +∞
Explication
Une suite majorée inférieurement par une suite qui diverge vers +∞ diverge elle aussi vers +∞. L’information sur V_n suffit ici à conclure.
l
Explication
C’est le théorème de Cesàro : si v_n converge vers l, alors la suite de ses moyennes arithmétiques converge aussi vers l. Cette propriété relie la suite et sa moyenne.
Appliquer la convergence des moyennes pour obtenir une limite
Explication
La conversion par moyenne consiste à réécrire une expression comme une somme afin d’utiliser le théorème de Cesàro. L’objectif est d’exploiter une moyenne dont la limite est connue.
Sous la forme d’un cosinus unique avec un décalage de phase
Explication
Une combinaison linéaire de sinus et cosinus peut souvent se réécrire comme une seule fonction trigonométrique décalée. C’est précisément l’idée utilisée pour résoudre ce type d’équation.
4/9
Explication
En utilisant les équivalents près de 0, on compare les termes dominants issus de cos(2x) et cos(3x). On obtient alors le rapport 4/9.
b = -1/2
Explication
Le développement de \(\ln(1+x)\) montre que \(\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\to -1/2\) quand x→0^+. La continuité en 0 impose donc b = -1/2.
1 / F'(0)
Explication
La dérivée de la fonction réciproque en 0 est l’inverse de la dérivée de F en 0, à condition que F soit bijective et dérivable. Comme F' = f, on peut aussi écrire 1/f(0).
Elle converge vers 0
Explication
Pour une suite géométrique de raison q avec -1<q<1, on a bien q^n→0. Les autres propositions correspondent à d’autres cas de raison ou à une suite constante.
La limite l vérifie f(l)=l
Explication
Dans ce cadre d’itération, la limite éventuelle est un point fixe de f, donc elle vérifie f(l)=l. La continuité permet de passer à la limite dans la relation de récurrence.
∫ de 1 à e de (e^{2x}-1)/(e^{2x}+1) dx
Explication
L’intégrale donnée dans la source se calcule à ln((e^2+1)/(2e)). Les autres expressions ne correspondent pas à ce résultat précis.
I_n converge vers 0
Explication
Comme 1/2^n tend vers 0, le théorème des gendarmes impose I_n→0. L’encadrement suffit donc à conclure à la convergence vers 0.
Elle converge vers l
Explication
Le théorème de Cesàro affirme que la moyenne arithmétique d’une suite convergente converge vers la même limite. C’est précisément le lien utilisé dans le calcul des sommes.
On réécrit un terme sous forme de somme
Explication
La conversion par moyenne consiste à transformer l’expression en somme de termes, afin d’appliquer ensuite la moyenne de Cesàro. Les autres propositions ne décrivent pas cette technique.
z^2-z+1/2=0
Explication
L’équation est réécrite sous la forme z^2-z+1/2=0, ce qui permet d’obtenir les deux racines complexes indiquées. Les autres polynômes ne correspondent pas à la réduction donnée.
La distance du point image à l’origine
Explication
Le module mesure la distance entre le point image et l’origine dans le plan complexe. L’argument, et non le module, décrit l’angle.
Il est triplé modulo 2π
Explication
Pour z^3, l’argument est multiplié par 3 modulo 2π. C’est l’idée centrale utilisée pour regrouper les positions des racines de l’unité.
λ^3=1
Explication
Une racine cubique de l’unité est, par définition, un nombre complexe dont le cube vaut 1. Son module vaut 1, mais son argument n’est pas forcément nul.
En remplaçant l’expression paramétrique de la droite dans l’équation du plan et en vérifiant que l’égalité est vraie pour tout paramètre
Explication
Pour montrer qu’une droite est incluse dans un plan, on substitue ses coordonnées paramétriques dans l’équation cartésienne du plan et on vérifie que l’identité est vraie pour tout paramètre. Le fait de tester un seul point ne suffit pas à prouver l’inclusion.
Les deux plans sont parallèles
Explication
Deux plans dont les vecteurs normaux sont colinéaires ont la même direction normale, donc ils sont parallèles. Ils ne sont confondus que si leurs équations sont en plus compatibles.
Un tirage où l’élément choisi n’est pas replacé avant le tirage suivant
Explication
Dans un tirage sans remise, l’élément prélevé n’est pas remis dans l’ensemble avant les tirages suivants. Cela modifie les probabilités au cours de l’expérience, contrairement au tirage avec remise.
Lorsqu’on répète un nombre fixé d’épreuves indépendantes à deux issues avec la même probabilité de succès
Explication
Une loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de répétitions indépendantes d’une même épreuve à deux issues, avec probabilité de succès constante. Le tirage sans remise ne correspond pas à ce cadre général.
Mémorisez les réponses avec 24 flashcards sur Introduction aux Suites et Probabilités.
Suite arithmétique — différence constante ?
Oui, différence entre termes successifs constante.
Suite géométrique — rapport constant ?
Oui, rapport entre termes successifs constant.
Règle d’Alembert — limite suite ?
Limite donnée par le rapport $ rac{U_{n+1}}{U_n}$.
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