Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition suite numérique
2. Notion de terme général
3. Représentation graphique suite
4. Étude du sens de variation
5. Suites bornées et bornitude

📖 1. Définition suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

Suite numérique : Une suite est une fonction définie sur ℕ ou une partie de ℕ et à valeurs dans ℝ. Elle associe à chaque entier naturel n un réel 𝑢𝑛. (Laura Margan, source)

Terme d'indice n : Le terme 𝑢𝑛 désigne le terme de la suite correspondant à l’indice n. Il est noté 𝑢𝑛 et représente la valeur de la suite pour n. (Laura Margan, source)

Terme général : Le terme général 𝑢𝑛 est la formule ou l’expression qui permet de calculer directement le terme d’indice n de la suite, sans connaître les termes précédents. (Laura Margan, source)

Relation fonctionnelle : La suite peut être définie par une relation fonctionnelle : 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛), où 𝑓 est une fonction de n. Cela permet d’obtenir chaque terme par une formule explicite en n. (Laura Margan, source)

Relation de récurrence : La suite est définie par récurrence si chaque terme dépend des termes précédents, généralement avec une ou plusieurs conditions initiales. La formule permet de calculer un terme à partir des termes antérieurs. (Laura Margan, source)

Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante appelée raison au terme précédent. Exemple : 𝑢0 = 15, raison 5, termes croissants de 5 en 5. (Laura Margan, source)

📝 Points essentiels

Une suite est une fonction discrète, définie sur ℕ ou une partie de ℕ, à valeurs dans ℝ. Elle associe à chaque entier naturel n un terme 𝑢𝑛, appelé terme d’indice n. Le terme général 𝑢𝑛 désigne une formule permettant de calculer directement ce terme pour tout n. La suite peut être définie par une relation fonctionnelle, c’est-à-dire 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛), ou par une relation de récurrence, où chaque terme dépend des termes précédents, souvent avec des conditions initiales. Une suite arithmétique est un exemple particulier où chaque terme s’obtient en ajoutant une constante au terme précédent.

💡 À retenir

Une suite numérique est une fonction discrète qui associe à chaque entier naturel un réel, pouvant être définie explicitement par une formule ou par une relation de récurrence, ce qui est fondamental pour son étude ultérieure.

📖 2. Notion de terme général

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme général : voir section 1

Indice de terme : La position d’un terme dans la suite, généralement notée n, un entier naturel. La suite peut commencer à un rang 𝑛₀ quelconque, notée (𝑢𝑛)ₙ≥𝑛₀, ce qui indique que les termes sont définis à partir de ce rang initial.

Relation explicite : Une formule qui donne directement 𝑢𝑛 en fonction de n, sans faire intervenir les termes précédents. Elle permet de calculer n’importe quel terme sans remonter la suite.

• Relation de récurrence : voir section 1

Suite définie à partir d’un rang : Une suite dont la définition commence à un rang 𝑛₀ quelconque, et non nécessairement à 0. Elle est notée (𝑢𝑛)ₙ≥𝑛₀, indiquant que les termes sont définis pour n ≥ 𝑛₀.

📝 Points essentiels

• Le terme général 𝑢𝑛 permet de calculer directement le n-ième terme de la suite, évitant de remonter à partir des termes initiaux ou de la relation de récurrence.
• Une suite peut débuter à un rang 𝑛₀ quelconque, notée (𝑢𝑛)ₙ≥𝑛₀, ce qui signifie que ses termes sont définis à partir de ce rang initial.
• La relation explicite donne 𝑢𝑛 en fonction de n sans référence aux termes précédents, facilitant le calcul direct.
• La relation de récurrence nécessite des conditions initiales (par exemple 𝑢₀ ou 𝑢₁) pour définir la suite, puis chaque terme est obtenu à partir des précédents.
• Il est important de différencier le n-ième terme 𝑢𝑛 du terme d’indice n, afin d’éviter toute confusion lors de l’étude ou du calcul de la suite.

💡 À retenir

Le terme général est la clé pour accéder directement à n’importe quel terme de la suite, et sa forme explicite ou récursive conditionne la méthode d’étude et de calcul.

📖 3. Représentation graphique suite

🔑 Notions clés & Définitions

Représentation sur droite graduée : La suite peut être représentée par des points placés sur une droite numérique où chaque point correspond à un terme de la suite, avec son abscisse n et son ordonnée uₙ.

Représentation dans un repère : La suite est représentée dans un repère orthogonal (x, y), où l’abscisse n correspond à la position dans la suite et l’ordonnée uₙ à la valeur du terme. On trace les points (n, uₙ).

Courbe représentative de fonction associée : Si la suite est définie par une fonction f, on trace la courbe de f dans le repère. Les points de la suite (n, uₙ) sont placés en utilisant cette courbe, en prenant uₙ = f(n).

Première bissectrice : La droite d’équation y = x, qui sert de référence pour repérer la convergence d’une suite. La limite graphique d’une suite correspond à l’intersection de la courbe de f avec cette droite.

Projection des points : La méthode consiste à projeter chaque terme uₙ sur l’axe des abscisses à l’aide de la première bissectrice. On trace une verticale pour relier la valeur uₙ à son abscisse n, permettant de placer le point (n, uₙ).

Convergence graphique : La tendance de la suite vers une limite peut être visualisée par l’intersection de la courbe de f avec la droite y = x. La limite graphique correspond à l’ordonnée du point d’intersection.

📝 Points essentiels

Une suite peut être représentée graphiquement soit sur une droite graduée, soit dans un repère orthogonal. Pour une suite définie par 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛), on trace la courbe de f et on place les points d’abscisse n en utilisant cette courbe. La projection des points consiste à projeter la valeur de uₙ sur l’axe des abscisses à l’aide de la première bissectrice, puis à placer uₙ en traçant l’image de uₙ par f. Pour une suite définie par récurrence 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛), on utilise la première bissectrice pour construire graphiquement chaque terme, en partant d’un point initial. La représentation graphique permet d’observer la tendance de la suite et sa convergence éventuelle. La limite graphique est donnée par l’ordonnée du point d’intersection entre la courbe de f et la droite y = x.

💡 À retenir

Visualiser une suite graphiquement, en utilisant la courbe de la fonction associée et la première bissectrice, permet de mieux comprendre son comportement, notamment sa tendance et sa convergence vers une limite.

📖 4. Étude du sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

Suite croissante : Une suite (𝑢𝑛) est dite croissante si, à partir d’un certain rang, 𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛+1. Autrement dit, chaque terme est inférieur ou égal au terme suivant.

Suite décroissante : Une suite (𝑢𝑛) est décroissante si, à partir d’un certain rang, 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1. Chaque terme est supérieur ou égal au terme suivant.

Suite monotone : Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante sur tout son domaine.

Étude par fonction croissante/décroissante : Si la fonction associée à une suite (𝑢𝑛) est croissante, alors la suite l’est aussi. Inversement, si la fonction est décroissante, la suite l’est également.

Différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 : La différence entre deux termes successifs permet de déterminer si la suite est croissante (différence ≥ 0) ou décroissante (différence ≤ 0).

Rapport 𝑢𝑛+1/𝑢𝑛 : Si la suite est strictement positive, ce rapport est un critère alternatif pour analyser le sens de variation. Si ce rapport est ≥ 1, la suite est croissante ; s’il est ≤ 1, elle est décroissante.

📝 Points essentiels

Une suite (𝑢𝑛) est croissante si 𝑢𝑛 ≤ 𝑢𝑛+1 à partir d’un certain rang. La croissance peut aussi s’étudier via la fonction associée : si cette fonction est croissante, la suite l’est aussi. La différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 permet de déterminer la croissance ou décroissance : si cette différence est positive ou nulle, la suite est croissante ; si elle est négative ou nulle, elle est décroissante.

Pour une suite strictement positive, le rapport 𝑢𝑛+1/𝑢𝑛 constitue un critère alternatif : si ce rapport est supérieur ou égal à 1, la suite est croissante ; s’il est inférieur ou égal à 1, elle est décroissante. Enfin, une suite monotone est soit croissante, soit décroissante sur tout son domaine.

💡 À retenir

Analyser le sens de variation d'une suite permet de comprendre son évolution, en utilisant la différence ou le rapport entre termes successifs, ainsi que l’étude de la fonction associée si elle existe.

📖 5. Suites bornées et bornitude

🔑 Notions clés & Définitions

Suite majorée :
Une suite $(u_n)$ est dite majorée s'il existe un réel $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, on ait $u_n \leq M$. Autrement dit, tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à ce même réel $M$.

Suite minorée :
Une suite $(u_n)$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, on ait $u_n \geq m$. La suite est alors toujours supérieure ou égale à ce réel $m$.

Suite bornée :
Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Elle est ainsi encadrée dans un intervalle $[m, M]$, où $m$ et $M$ sont respectivement une minorante et une majorante.

📝 Points essentiels

• Une suite est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$.
• Une suite est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq m$.
• Une suite est bornée si elle possède à la fois une majorante et une minorante.
• Toute suite croissante est minorée par son premier terme, car elle ne peut pas descendre en dessous.
• Toute suite décroissante est majorée par son premier terme, puisqu'elle ne peut pas dépasser ce dernier.
• Exemple : la suite $u_n = (-1)^n$ est bornée entre $-1$ et $1$.

💡 À retenir

La bornitude d'une suite encadre ses termes dans un intervalle, ce qui est une condition essentielle pour étudier sa convergence et son comportement global.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre terme d’indice n et terme général : le terme d’indice n est noté 𝑢𝑛, le terme général est une formule permettant de calculer ce terme.
2. Oublier que la suite peut commencer à un rang n₀ autre que 0, notée (𝑢𝑛)ₙ≥𝑛₀.
3. Confondre relation explicite et relation de récurrence : la première donne directement 𝑢𝑛, la seconde dépend des termes précédents.
4. Négliger l’importance des conditions initiales dans une relation de récurrence.
5. Se méfier du signe dans l’étude de la variation : différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ou rapport 𝑢𝑛+1/𝑢𝑛.
6. Confondre représentation graphique et étude analytique : la représentation graphique visualise mais ne remplace pas l’analyse formelle.
7. Oublier que la limite graphique correspond à l’intersection avec y=x, mais ne garantit pas la convergence.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’une suite numérique selon Laura Margan.
2. Savoir distinguer un terme d’indice n et un terme général.
3. Maîtriser la différence entre relation explicite et relation de récurrence.
4. Être capable d’identifier une suite arithmétique et donner sa formule explicite.
5. Savoir représenter graphiquement une suite sur une droite graduée ou dans un repère.
6. Comprendre le principe de projection des points pour la représentation graphique.
7. Connaître la notion de convergence graphique et son lien avec la courbe de f et y=x.
8. Savoir déterminer si une suite est croissante ou décroissante à partir de la différence 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛.
9. Comprendre que si la fonction associée est croissante/décroissante, alors la suite l’est aussi.
10. Maîtriser les critères pour analyser le sens de variation : différence ou rapport.
11. Savoir utiliser le critère du rapport 𝑢𝑛+1/𝑢𝑛 pour une suite positive.
12. Vérifier que le terme général permet un calcul direct sans remonter toute la suite.