Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques et passage au terme suivant
2. Définition, rang et notation des suites
3. Suite arithmétique par addition constante
4. Suite géométrique par multiplication constante
5. Suite du cube des entiers naturels
6. Suite des nombres premiers sans formule

📖 1. Suites numériques et passage au terme suivant

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, dont chaque élément est appelé terme.
• Terme suivant : Le terme suivant est le terme immédiatement après un terme donné dans la liste de la suite.

📝 Points essentiels

• Dans la suite 2 ; 5 ; 8 ; …, on passe d’un terme au suivant en ajoutant 3.
• Le terme de rang 0 est le premier terme de la suite, noté u0.
• Le terme de rang 1 est le deuxième terme, noté u1.
• Le terme de rang n est noté un, avec n entier (rang ou indice).
• Dans la suite 2 ; 5 ; 8 ; …, le terme qui succède à u5 vaut 20 et le terme qui précède u4 vaut 11.

💡 Astuce mémo

Ajout constant : 2→5→8 augmente de 3 à chaque pas.

📖 2. Définition, rang et notation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang (indice) : Le rang, aussi appelé indice, est la position entière d’un terme dans la suite.
• Notation (un) : La notation (un) désigne la suite dans sa globalité, tandis que un désigne le terme de rang n.
• Terme initial : Le terme initial est le premier terme de la suite, souvent noté u0 (ou u1 selon la convention du cours).

📝 Points essentiels

• Une suite peut être vue comme une fonction définie sur N qui associe à chaque rang n un unique terme un.
• Pour désigner la suite entière, on écrit (un) (ou parfois …).
• Pour désigner le terme de rang n, on écrit un.
• Le terme initial est généralement noté u0 (premier terme de rang 0).
• Dans l’exemple 2 ; 5 ; 8 ; …, le rang du terme valant 17 est 5.

💡 Astuce mémo

un = “u au rang n” : n indique la position, pas la valeur.

📖 3. Suite arithmétique par addition constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où l’on obtient le terme suivant en ajoutant une même constante à chaque fois.
• Constante d’accroissement : La constante d’accroissement est la valeur ajoutée à chaque passage d’un terme au suivant.

📝 Points essentiels

• La suite 2 ; 5 ; 8 ; … est arithmétique car on ajoute 3 entre deux termes consécutifs.
• Le passage au terme suivant correspond à une addition constante.
• Le terme u0 vaut 2 et les termes augmentent régulièrement de 3.
• Le terme u5 vaut 17 dans l’exemple donné.
• Le terme u8 vaut 26 dans le tableau fourni.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = “+ fixe” : même nombre ajouté à chaque étape.

📖 4. Suite géométrique par multiplication constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où l’on obtient le terme suivant en multipliant par une même constante.
• Facteur multiplicatif : Le facteur multiplicatif est le nombre par lequel on multiplie pour passer d’un terme au suivant.

📝 Points essentiels

• L’exemple 6 ; 15 ; 37,5 ; 93,75 ; … est géométrique car on multiplie par 2,5.
• Pour cette suite, on a a0 = 6.
• La relation de récurrence indiquée est an+1 = an × 2,5.
• La suite est notée (an) dans l’exemple.
• Les valeurs données confirment la multiplication par 2,5 entre termes consécutifs.

💡 Astuce mémo

Géométrique = “× fixe” : même facteur à chaque étape.

📖 5. Suite du cube des entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite des cubes : La suite des cubes associe à chaque entier naturel n le cube n³.
• Formule explicite : Une formule explicite donne directement un terme en fonction de son rang, sans passer par les précédents.

📝 Points essentiels

• La suite 0 ; 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; … correspond aux cubes des entiers naturels.
• Le premier terme est d0 = 0, puis d1 = 1, d2 = 8, d3 = 27, d4 = 64.
• La suite est notée (dn).
• La formule explicite donnée est dn = n³.
• Les termes affichés correspondent bien à n³ pour n = 0, 1, 2, 3, 4.

💡 Astuce mémo

Cube = n³ : 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64.

📖 6. Suite des nombres premiers sans formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers : Les nombres premiers sont des nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.
• Suite des nombres premiers : La suite des nombres premiers est la liste ordonnée des nombres premiers, repérée par son rang.

📝 Points essentiels

• La suite 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; … est la suite des nombres premiers.
• Les premiers termes sont p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7.
• Le cours indique qu’on ne peut pas trouver de formule explicite pour cette suite.
• Le cours indique qu’on ne peut pas trouver de formule de récurrence pour cette suite.
• La suite est donc décrite par la liste des nombres premiers plutôt que par une règle de calcul donnée.

💡 Astuce mémo

Pas de formule : on liste les premiers, comme une suite “sans recette”.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le rang n (position) avec la valeur du terme un.
2. Croire que toute suite a une formule explicite ou une récurrence : la suite des nombres premiers est donnée comme sans formule.
3. Mélanger arithmétique et géométrique : l’une utilise une addition constante, l’autre une multiplication constante.
4. Prendre u0 comme le deuxième terme : u0 est le terme de rang 0 (premier terme).

✅ Checklist Examen

1. Savoir déterminer le calcul permettant de passer d’un terme au suivant à partir de quelques termes (addition ou multiplication constante).
2. Savoir interpréter le vocabulaire : rang (indice), terme, terme initial, terme de rang n.
3. Savoir utiliser la notation : (un) pour la suite entière et un pour le terme de rang n.
4. Savoir exploiter une suite arithmétique : identifier la constante d’accroissement et retrouver des valeurs comme u5, le successeur de u5 et le prédécesseur de u4.
5. Savoir exploiter une suite géométrique : identifier le facteur multiplicatif et utiliser la récurrence an+1 = an × 2,5 avec a0 = 6.
6. Savoir reconnaître la suite des cubes et utiliser dn = n³ pour retrouver des termes donnés.
7. Savoir citer les premiers nombres premiers et rappeler que le cours affirme l’absence de formule explicite et de récurrence pour cette suite.