Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une suite numérique
2. Suites explicites
3. Suites définies par récurrence
4. Représentation graphique des suites
5. Calculatrice et tableau de valeurs
6. Sens de variation des suites

📖 1. Définition d’une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels indexée par des entiers, où chaque position correspond à un terme.
• Terme de rang (terme d’indice) : Un terme de rang est le nombre réel associé à un certain entier n dans la suite.
• Suite (n) : La notation u_n désigne le terme de rang n d’une suite numérique notée (u_n).

📝 Points essentiels

• Une suite est potentiellement infinie et on peut donner un rang à chaque élément de la suite.
• Si une suite commence à l’indice p, son premier terme est u_p et le suivant est u_{p+1}.
• On ne doit pas confondre la suite (u_n) avec le terme u_n correspondant à un indice donné.
• Les suites sont souvent nommées avec une lettre comme u, v, w, et l’indice appartient le plus souvent aux entiers naturels.

💡 Astuce mémo

Indice = position dans la liste : u_n est le nombre à la position n.

📖 2. Suites explicites

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie explicitement s’il existe une fonction qui donne directement u_n en fonction de n.
• Calcul d’image : Dans une suite explicite, calculer u_n revient à calculer l’image de n par la fonction associée.

📝 Points essentiels

• Pour une suite explicite, u_n s’obtient en remplaçant n par la valeur voulue dans la formule.
• Le passage de n à u_n correspond à un calcul du type f(n) où f est la fonction qui génère la suite.
• Exemple : les carrés consécutifs s’expriment par u_n = (n)^2 pour les indices correspondant à la liste donnée.

💡 Astuce mémo

Explicite = on calcule directement : u_n vient de la formule avec n.

📖 3. Suites définies par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand elle est déterminée par son premier terme et une relation qui relie u_{n+1} à des termes précédents.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence est l’égalité qui permet d’obtenir le terme suivant à partir des termes antérieurs.

📝 Points essentiels

• Une suite récurrente se construit en calculant d’abord u_0 (ou u_1 selon l’énoncé) puis u_1, u_2, etc.
• Contrairement au cas explicite, pour connaître un terme u_n il faut en général avoir calculé les termes précédents.
• Exemple de récurrence d’ordre 1 : si u_{n+1}=2u_n, alors chaque terme est le double du précédent.
• Exemple d’ordre 2 : si u_{n+1} dépend de u_n et u_{n-1}, l’ordre impose de connaître plusieurs termes antérieurs avant de poursuivre.

💡 Astuce mémo

Récurrence = chaîne : pour aller à u_{n+1}, il faut déjà avoir les maillons avant.

📖 4. Représentation graphique des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : La représentation graphique d’une suite consiste à placer des points dont les coordonnées viennent des indices et des termes.
• Point (n; u_n) : Un point de la représentation associe l’abscisse n et l’ordonnée u_n.

📝 Points essentiels

• Dans un repère du plan, on représente la suite par les points de coordonnées (n, u_n) pour les entiers naturels.
• On obtient un nuage de points, pas une courbe continue.
• Méthode : calculer quelques premiers termes, puis placer les points A_n (n ; u_n) correspondant aux indices choisis.
• Attention : ne pas relier les points lors de la représentation d’une suite.

💡 Astuce mémo

Nuage, pas ligne : chaque point correspond à un rang n.

📖 5. Calculatrice et tableau de valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode suite : Le mode suite de la calculatrice permet de renseigner une expression ou une relation pour générer les valeurs successives d’une suite.
• Tableau de valeurs : Le tableau de valeurs liste les termes u(n) pour des valeurs entières de n dans la fenêtre choisie.

📝 Points essentiels

• Pour une suite explicite, on choisit le type SUITE(n), on saisit l’expression de u(n) et on définit nMin puis un pas de 1 dans le tableau.
• Pour une suite récurrente d’ordre 1, on choisit SUITE(n+1) (ou SUITE(n+2) si l’ordre 2), on renseigne le premier terme puis la relation dans u(n+1).
• Après avoir défini la table, on observe le graphe ou la table pour visualiser le nuage de points.
• Le calculatrice TI-83 utilise une fenêtre ajustable pour faire apparaître les points à l’écran.

💡 Astuce mémo

Explicite : SUITE(n) ; Récurrence : SUITE(n+1) (ou n+2 si ordre 2).

📖 6. Sens de variation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite strictement croissante : Une suite est strictement croissante si chaque terme est strictement inférieur au terme qui le suit.
• Suite strictement décroissante : Une suite est strictement décroissante si chaque terme est strictement supérieur au terme qui le suit.
• Suite constante : Une suite est constante si chaque terme est égal au terme qui le suit.

📝 Points essentiels

• Par lecture graphique, on conjecture : des ordonnées qui augmentent suggèrent une croissance, des ordonnées qui diminuent suggèrent une décroissance.
• Par calcul algébrique : pour étudier, on calcule u_{n+1}-u_n et on lit le signe (positif, négatif) selon le sens.
• Si la suite est explicite par une fonction f, ses variations sont celles de f.
• Méthode par quotient : si les termes sont non nuls et de même signe, on étudie u_{n+1}/u_n ; si >1 c’est strictement croissant, si <1 strictement décroissant, si =1 constant.

💡 Astuce mémo

Différence : signe de u_{n+1}-u_n ; Quotient : comparaison de u_{n+1}/u_n à 1.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la suite (u_n) et le terme u_n : la première désigne l’ensemble indexé, le second un seul nombre pour un indice fixé.
2. Relier les points sur le graphe : une représentation de suite est un nuage de points, pas une courbe.
3. Croire que la lecture graphique prouve le sens de variation : elle permet seulement une conjecture sur les premiers termes.
4. Mélanger les indices si la suite commence à 1 (ou à p) : le premier terme n’est pas forcément u_0.
5. Penser qu’on peut calculer u_n d’une suite récurrente directement avec une formule : sans avoir les précédents, on ne peut pas poursuivre la chaîne.
6. Mauvaise méthode de variation : utiliser le signe de u_{n+1}-u_n alors que l’énoncé demande un quotient u_{n+1}/u_n (ou vice versa).

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique et expliquer ce que représente un terme de rang u_n.
2. Identifier u_{n-1}, u_n et u_{n+1} à partir de la position d’un terme, en respectant le rang de départ indiqué.
3. Classer une suite comme définie explicitement quand une fonction donne directement u_n en fonction de n.
4. Calculer un terme u_n d’une suite explicite en remplaçant n par la valeur demandée.
5. Définir une suite par récurrence à partir d’un premier terme et d’une relation reliant le terme suivant aux précédents.
6. Calculer les premiers termes d’une suite récurrente en appliquant successivement la relation jusqu’à l’indice voulu.
7. Construire la liste des points (n ; u_n) pour représenter graphiquement une suite.
8. Savoir que la représentation graphique d’une suite est un nuage de points et qu’on ne relie pas les points.
9. Utiliser correctement le tableau de valeurs sur une calculatrice : SUITE(n) pour explicite et SUITE(n+1)/SUITE(n+2) pour récurrente selon l’ordre.
10. Déduire un sens de variation par lecture graphique uniquement comme conjecture.
11. Déterminer le sens de variation par calcul : étudier le signe de u_{n+1}-u_n.
12. Déterminer le sens de variation par quotient quand on peut former u_{n+1}/u_n et comparer ce quotient à 1.