Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et génération d'une suite
2. Calcul des termes d'une suite
3. Représentation graphique d'une suite
4. Sens de variation d'une suite

📖 1. Définition et génération d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un réel Un.
• Terme de rang n : Le terme de rang n d’une suite est le nombre réel obtenu pour l’entrée n, noté Un.
• Terme initial : Le terme initial est le premier terme de la suite, correspondant au rang 0.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence définit la suite en reliant chaque terme à un ou plusieurs termes précédents.

📝 Points essentiels

• Une suite est une liste infinie de nombres réels, ordonnée par les rangs avec un terme initial.
• Pour une suite (Un), la formule Un = 2n donne directement Un à partir du rang n, sans calculer les termes antérieurs.
• Avec la récurrence Un = Un−1 + 2 et U0 = 0, on obtient U1 = 2 puis U3 = U2 + 2.
• Une autre suite donnée par récurrence peut être définie comme une suite « de départ + règles d’évolution » sur N.

💡 Astuce mémo

Fonction : Un = f(n) ; explicite = calcul direct, récurrence = calcul par “dernier terme + quelque chose”.

📖 2. Calcul des termes d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Une formule explicite donne directement Un en fonction de n.
• Calcul de u_n : Calculer u_n consiste à remplacer n par la valeur demandée dans l’expression de la suite.

📝 Points essentiels

• Pour u_n = 2n + 4n + 5, le mode de génération est une formule explicite, puis on calcule chaque u_k en remplaçant k par n.
• Pour la suite un = 1/2 n^2 − 1, on trouve u0 = −1, u1 = −1/2, u2 = 1, u3 = 7/2, u4 = 7.
• Pour un = 1/2 n^2 − 1, les premiers termes peuvent aussi être approchés/affichés via des valeurs numériques comme v0 = −1,5 et v1 = −2,1.
• Une même suite peut être étudiée en calculant un nombre limité de termes avant d’autres étapes (représentation ou variation).

💡 Astuce mémo

Remplacer n : u_k = expression en k (pas de “remonter” tant que la formule est explicite).

📖 3. Représentation graphique d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Un nuage de points est l’ensemble des coordonnées (n, Un) obtenues en calculant plusieurs termes.
• Coordonnées (n ; Un) : Chaque point d’une représentation graphique d’une suite est formé avec le rang n en abscisse et le terme Un en ordonnée.

📝 Points essentiels

• Pour représenter (Un), on trace les points de coordonnées (n ; Un) pour n ∈ N, ce qui forme un nuage de points.
• La méthode consiste à calculer quelques premiers termes, placer leurs points, puis relier par des segments reliant (O0), (O1), (O2), (O3), (O4), (O5).
• Pour la suite Un = 1/2 n^2 − 1, les valeurs calculées u0 = −1, u1 = −1/2, u2 = 1, u3 = 7/2 et u4 = 7 servent à placer les premiers points.
• La courbe tracée à partir du nuage de points aide à dégager l’allure générale de la suite.

💡 Astuce mémo

Repère : abscisse = rang n ; ordonnée = valeur Un ; relier les points pour voir la tendance.

📖 4. Sens de variation d'une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si chaque terme suivant est au moins aussi grand que le terme précédent.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si chaque terme suivant est au plus aussi grand que le terme précédent.
• Suite constante stricte : Une suite est dite à variation nulle lorsque Un+1 = Un pour tout n, donc elle reste constante.

📝 Points essentiels

• Une suite (Un) est croissante si pour tout n, Un+1 ≥ Un.
• Une suite (Un) est décroissante si pour tout n, Un+1 ≤ Un.
• Certaines suites strictes peuvent ne pas être ni croissantes ni décroissantes (cas non monotones).
• Méthode par différence : si Un+1 − Un > 0 alors la suite est croissante, et si Un+1 − Un < 0 alors la suite est décroissante, avec l’exemple Un+1−Un = 6n+9 > 0.

💡 Astuce mémo

Cherche le signe de Δn = Un+1 − Un : positif → monte, négatif → descend.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le rang n (abscisse) et la valeur Un (ordonnée) lors de la représentation graphique.
2. Oublier que la suite est définie sur N, donc comparer toujours Un+1 et Un pour un n entier naturel.
3. Dire qu’une suite est croissante/décroissante sans vérifier la condition sur Un+1−Un ou directement Un+1 ≥ Un / Un+1 ≤ Un.
4. Calculer les termes avec une formule explicite en faisant une suite d’additions alors que le remplacement direct de n suffit.
5. Croire qu’une suite strictement définie doit forcément être monotone (croissante ou décroissante), alors que l’exemple montre l’éventualité contraire.
6. Interpréter une récurrence comme une formule explicite : avec une récurrence, on construit les termes en partant d’un terme de base.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique comme fonction de N vers R et nommer correctement le terme Un de rang n.
2. Identifier le terme initial comme le terme correspondant au rang 0.
3. Calculer des termes à partir d’une formule explicite en remplaçant n par la valeur demandée.
4. Reconnaître un mode de génération explicite (formule en n) versus une relation de récurrence reliant Un à Un−1.
5. Pour Un = 2n, calculer correctement Un pour un rang donné comme U7 = 14.
6. Pour un = 1/2 n^2 − 1, calculer u0, u1, u2, u3, u4 avec les valeurs exactes données.
7. Construire une représentation graphique en plaçant des points (n ; Un) issus des premiers termes.
8. Relier correctement les points du nuage par des segments dans l’ordre des rangs pour visualiser l’allure.
9. Donner la définition de suite croissante (Un+1 ≥ Un) et décroissante (Un+1 ≤ Un) sur N.
10. Étudier le sens de variation en calculant la différence Un+1 − Un puis en concluant à partir de son signe.
11. Traiter un exemple de différence négative pour conclure décroissance et un exemple où 6n+9 > 0 pour conclure croissance.