Fiche de révision : Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques et indice
2. Suites explicites
3. Suites par récurrence et calcul successif

📖 1. Suites numériques et indice

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre noté u_n.
• Indice n : Dans l’écriture u_n, n est l’indice et indique le rang du terme de la suite.
• Notations de suites : Une suite est souvent notée (u_n) (ou (v_n), (w_n) selon l’exercice) avec u_n, v_n ou w_n comme images de n.

📝 Points essentiels

• On peut décrire une suite par une formule donnant u_n à partir de n ou par une règle donnant u_{n+1} à partir de u_n.
• Exemple donné : pour une suite construite avec des triangles rectangles, la relation obtenue est de type $d_{n+1}=1+d_n^2$ à partir de $d_0=1$.
• Dans la suite u_n=n^2-1, on peut calculer directement certains termes comme u_0=-1, u_2=3 et u_4=15.

📖 2. Suites explicites

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition explicite : Une suite est définie de manière explicite lorsqu’on donne u_n en fonction de n sous une expression f(n).
• Fonction f(x) : L’expression associée à la suite explicite s’écrit avec une fonction f qui remplace n par x et donne u_n quand x=n.

📝 Points essentiels

• Dans une suite définie explicitement, chaque terme se calcule directement à partir de l’indice n sans connaître les termes précédents.
• Le cours associe aussi l’outil calculatrice : le mode fonction et le mode suite permettent de calculer les termes quand la formule est donnée en fonction de n.

📖 3. Suites par récurrence et calcul successif

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite par récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on donne un terme initial u_0 et une relation qui calcule u_{n+1} à partir de u_n.
• Relation de récurrence : La relation de récurrence est l’égalité qui exprime u_{n+1} en fonction de u_n.
• Calcul successif : Le calcul successif consiste à déterminer les termes dans l’ordre en réutilisant la relation de récurrence à chaque étape.

📝 Points essentiels

• Pour une suite par récurrence, on ne peut pas calculer directement u_n sans passer par les termes précédents.
• Exemple v_n : avec v_0=1 et v_{n+1}=v_n(v_n-3), on obtient v_1=-2 puis v_2=10.
• Exemple w_n : avec w_0=20 et w_{n+1}=0,6w_n+2, on obtient w_1=14 puis w_2=10,4.

📊 Tableaux de synthèse

Explicite vs récurrence

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’indice n avec la valeur du terme : n sert à repérer le rang, alors que u_n est le nombre associé au rang n.
2. Croire qu’une suite définie par récurrence permet de calculer directement u_n comme dans une suite explicite.
3. Oublier le terme initial u_0 dans une suite par récurrence : sans lui on ne peut pas démarrer le calcul successif.
4. Mélanger les notations v_n et w_n : chaque exemple suit sa propre relation de récurrence.
5. Recopier la relation de récurrence dans le mauvais sens : elle donne u_{n+1} à partir de u_n, pas l’inverse.
6. Utiliser le mauvais mode de calculatrice : le mode “suite” correspond au calcul successif quand la définition est par récurrence.

✅ Checklist Examen

1. Définir une suite numérique comme une fonction de l’entier naturel n vers un terme u_n.
2. Identifier l’indice dans une écriture du type u_n.
3. Donner la définition d’une suite définie de manière explicite : u_n exprimé en fonction de n via f(n).
4. Expliquer pourquoi une suite explicite permet de calculer directement un terme sans connaître les précédents.
5. Donner la définition d’une suite définie par récurrence : terme initial u_0 et relation donnant u_{n+1} en fonction de u_n.
6. Expliquer pourquoi, en récurrence, le calcul d’un terme nécessite le calcul successif des termes précédents.
7. Calculer v_1 et v_2 pour v_0=1 et v_{n+1}=v_n(v_n-3).
8. Calculer w_1 et w_2 pour w_0=20 et w_{n+1}=0,6w_n+2.
9. Déterminer, à partir d’une règle comme celle obtenue avec des triangles rectangles, le type de relation attendue entre d_{n+1} et d_n.
10. Reconnaître sur un énoncé si la suite est explicite ou par récurrence à partir de la forme de sa définition.