Fiche de révision : Introduction aux variables aléatoires et risques

📋 Plan du Cours

1. Jeu du dé et gain aléatoire
2. Variable aléatoire discrète
3. Loi de probabilité
4. Espérance d'une variable aléatoire
5. Variance et écart-type
6. Jeu de cartes aléatoire
7. Loi de probabilité et fréquences
8. Gain moyen sur plusieurs parties
9. Jeu équitable et mise
10. Comparaison du risque

📖 1. Jeu du dé et gain aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Gain aléatoire G : Le gain aléatoire est une variable numérique qui associe à chaque issue du lancer un nombre réel représentant ce que le joueur gagne ou perd.
• Univers Ω du lancer : L’univers Ω est l’ensemble des issues possibles du lancer de dé (par exemple les numéros 1 à 6).
• Slogan « Devantage de gagnants que de perdants » : Le slogan compare le nombre d’issues où le joueur gagne et celles où il perd, sans suffire à déterminer si le jeu est favorable.

📝 Points essentiels

• Avec le dé équilibré, P({G=5}) vaut 1/6 quand G=5 correspond à l’issue 6.
• Dans l’activité, le gain dépend du résultat : +5 si 6, +1 si 3/4/5, et −5 si 1/2.
• « Plus de gagnants que de perdants » renvoie à une comparaison du nombre d’issues, pas directement au gain moyen.

💡 Astuce mémo

G=5 n’arrive que sur 6, donc 1/6.

📖 2. Variable aléatoire discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une application qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel.
• Variable aléatoire discrète : Une variable aléatoire discrète prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs réelles.
• Notation X, Y, Z : Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule comme X, Y ou Z.

📝 Points essentiels

• On note souvent Ω={1,2,...,n} pour une expérience finie et on associe à chaque issue un nombre réel X.
• Pour le dé, chaque numéro de l’univers correspond à une valeur numérique du gain (par exemple G).
• L’ensemble des valeurs possibles de X se note {x1,x2,...,xn}.

💡 Astuce mémo

Discrète = valeurs en liste (x1, x2, ..., xn).

📖 3. Loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité d’une variable : La loi de probabilité décrit, pour chaque valeur possible xi d’une variable X, la probabilité P(X=xi).
• Table de loi : Une table de loi regroupe les valeurs xi et leurs probabilités pi correspondantes.
• Somme des probabilités : La loi de probabilité vérifie une condition de normalisation sur toutes les valeurs possibles.

📝 Points essentiels

• Si X prend les valeurs {x1,x2,...,xn}, la loi se donne par les probabilités P(X=xi).
• Dans une table, la somme des probabilités P(X=x1)+...+P(X=xn) vaut 1.
• Pour alléger, on écrit P(G=5) plutôt que P({G=5}).

💡 Astuce mémo

Loi de probabilité = tableau valeurs xi et proba pi, et tout somme à 1.

📖 4. Espérance d'une variable aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance E(X) : L’espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs possibles de X par leurs probabilités.
• Gain moyen : L’espérance d’un gain est le gain moyen espéré sur un grand nombre de parties.
• Jeu favorable / défavorable : Un jeu est favorable si l’espérance du gain est positive, défavorable si elle est négative.

📝 Points essentiels

• Si X prend x1,...,xn avec pi=P(X=xi), alors E(X)=x1p1+...+xnpn=∑ xi·pi.
• L’espérance s’exprime dans la même unité que les valeurs prises par X.
• Le texte associe une lecture “jeu” : si le jeu est équitable, alors l’espérance du gain est nulle.
• Quand E(X)>0, le joueur peut espérer un gain moyen ; quand E(X)<0, il espère perdre en moyenne.

💡 Astuce mémo

E(X)=∑(valeur × probabilité) = moyenne pondérée.

📖 5. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance V(X) : La variance mesure la dispersion de X autour de son espérance via la moyenne des carrés des écarts.
• Écart-type σ(X) : L’écart-type est la racine carrée de la variance et représente la dispersion typique autour de E(X).
• Dispersion autour de l’espérance : La variance et l’écart-type quantifient à quel point les valeurs de X s’éloignent en moyenne de l’espérance.

📝 Points essentiels

• La variance vaut V(X)=∑ pi·(xi−E(X))^2 quand X prend les valeurs xi avec pi=P(X=xi).
• L’écart-type vaut σ(X)=√V(X).
• L’écart-type est présenté comme la mesure courante de dispersion par rapport à l’espérance.

💡 Astuce mémo

Variance = carrés des écarts ; écart-type = √variance.

📖 6. Jeu de cartes aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable X (gain de carte) : La variable X donne le gain aléatoire du jeu de tirage d’une carte à partir du résultat obtenu.
• Loi de probabilité de X : La loi de probabilité de X associe à chaque valeur possible de gain la probabilité correspondante.

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice, X prend les valeurs −1, 1, 3, 5, 7 et P(X=xi) sont 21/32, 7/32, 3/32, 1/32 et 1/32.
• L’espérance calculée du jeu vaut E(X)=0,47 €, interprétée comme un gain moyen positif si l’on répète beaucoup.
• Le texte donne σ(X)≈2,28 et V(X) est calculée à partir des écarts (xi−0,47)^2 pondérés par les probabilités.
• Avec une mise de 0,50 € demandée par l’organisateur, le texte conclut à un bénéfice moyen d’environ 0,03 €.

💡 Astuce mémo

Pour ce jeu : E(X)=0,47 et σ(X)≈2,28.

📖 7. Loi de probabilité et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence de réalisation : La fréquence de réalisation d’un événement pendant des essais répétés est le pourcentage d’occurrence observé.
• Événement {G=5} : L’événement {G=5} regroupe les parties où le gain aléatoire vaut 5.
• Lien fréquences → espérance : Quand le nombre de parties devient très grand, les fréquences observées servent à estimer le gain moyen proche de l’espérance.

📝 Points essentiels

• Quand on répète, la question posée porte sur la valeur vers laquelle la fréquence de {G=5} se rapproche.
• La même question est posée pour {G=1} et {G=-5} (mêmes idées de rapprochement des fréquences).
• Dans l’énoncé, le gain moyen “estimé” en utilisant ces valeurs est identifié comme l’espérance E(G).
• L’exercice associe aussi E(G) à un “gain total” réparti sur le nombre de parties.

💡 Astuce mémo

Grand nombre de parties : fréquences observées ≈ probabilités théoriques, puis on retrouve le gain moyen (espérance).

📖 8. Gain moyen sur plusieurs parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Gain total : Le gain total est la somme des gains obtenus sur plusieurs parties réalisées.
• Gain moyen par partie : Le gain moyen par partie est le gain total divisé par le nombre de parties.
• Espérance E(G) : L’espérance E(G) est le gain moyen vers lequel tend le gain moyen quand le nombre de parties devient très grand.

📝 Points essentiels

• Sur 3 parties avec des gains 5, 1 et −5, le gain total vaut −3 et le gain moyen vaut −3/3=−1.
• Pour 60 parties, le texte demande le gain moyen espéré (calcul basé sur des probabilités utilisées dans l’expression donnée).
• L’exercice 3c relie explicitement l’estimation du gain moyen au fait que ce gain moyen est appelé « espérance ».

💡 Astuce mémo

Gain moyen = (gain total) / (nombre de parties).

📖 9. Jeu équitable et mise

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu équitable : Un jeu est équitable lorsque le gain espéré est nul, ce qui correspond à une espérance nulle du gain.
• Mise m : La mise est un montant retiré au gain lors du calcul du gain net du joueur.
• Gain net G : Le gain net est le gain calculé en tenant compte de la mise (gain initial moins m).

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple avec gain 3 ou 0 avant mise, le gain net prend les valeurs 3−m et −m.
• En posant E(G)=0, le texte déduit que la mise doit être m=2 € pour que le jeu soit équitable.
• Le texte donne la relation E(G)= 2/3(3−m)+1/3(−m) et conclut 2−m=0.
• Une phrase de remarque relie directement “jeu équitable” à E(G)=0.

💡 Astuce mémo

Équitable ⇔ E(G)=0, donc on choisit m pour annuler l’espérance.

📖 10. Comparaison du risque

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque d’un jeu : Le risque est comparé par la dispersion des gains autour de l’espérance, via l’écart-type.
• Écart-type comme indicateur de risque : Plus l’écart-type est grand, plus les résultats varient, donc le jeu est présenté comme plus risqué.
• Comparaison par σ : Comparer deux jeux revient à comparer leurs écarts-types σ quand leurs espérances sont établies dans l’exercice.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple de correction, le premier jeu a un écart-type 5 tandis que le second a un écart-type 2.
• Le texte conclut que le premier jeu est le plus risqué car l’écart-type est plus grand.
• Dans l’exercice, σ(X)=√25=5 et σ(Y)=√4=2 sont les valeurs utilisées pour la comparaison.

💡 Astuce mémo

Plus σ est grand, plus le jeu est risqué (d’après l’exercice).

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison du risque via l'écart-type

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “plus d’issues gagnantes” avec “gain moyen positif” : le slogan parle du nombre de cas, pas de l’espérance.
2. Écrire P(G=5) sous une forme trop lourde : l’énoncé indique qu’on peut simplifier en P(G=5).
3. Se tromper de formule de dispersion : la variance utilise des carrés des écarts (xi−E(X))^2, puis l’écart-type est la racine.
4. Oublier que l’espérance est une somme pondérée : ∑ xi·pi, pas une simple moyenne des valeurs.
5. Croire que l’écart-type est la variance : dans le texte, σ(X)=√V(X).
6. Dans le jeu avec mise, confondre gain “avant mise” et gain “net” : la mise retire m (valeurs 3−m et −m).
7. Pour comparer le risque, ne pas utiliser l’écart-type : l’exercice conclut explicitement via σ.

✅ Checklist Examen

1. Savoir associer à chaque issue un nombre réel via une variable aléatoire.
2. Savoir définir une variable aléatoire discrète et caractériser qu’elle prend des valeurs en liste {x1,...,xn}.
3. Savoir écrire la loi de probabilité d’une variable X comme tableau des valeurs xi et des probabilités P(X=xi).
4. Vérifier que les probabilités de la loi somment à 1.
5. Calculer E(X)=∑ xi·pi à partir de la loi de probabilité.
6. Interpréter l’espérance d’un gain comme gain moyen sur un grand nombre de parties.
7. Calculer la variance V(X)=∑ pi·(xi−E(X))^2.
8. Calculer l’écart-type σ(X)=√V(X).
9. Pour un jeu avec mise, modéliser le gain net en retirant la mise m et vérifier l’équité via E(G)=0.
10. Comparer deux jeux de hasard en utilisant l’écart-type : σ plus grand ⇒ jeu plus risqué (au vu de l’exemple).