Fiche de révision : Introduction aux vecteurs et complexes

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire : définition et formule
2. Produit scalaire : propriétés et coordonnées
3. Orthogonalité et projeté orthogonal
4. Dérivée : définition et règles de calcul
5. Sens de variation et extremum via signe
6. Module d’un complexe : définition et propriétés
7. Argument d’un complexe et remarques
8. Forme trigonométrique d’un complexe
9. Probabilités : événement contraire et indépendance
10. Arbres de probabilité et règles de calcul

📖 1. Produit scalaire : définition et formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire est une opération qui associe à deux vecteurs un nombre réel mesurant leur “alignement” via l’angle entre eux.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur est une valeur positive représentant sa longueur, notée u$pour le vecteur$u.
• Angle entre vecteurs : L’angle entre deux vecteurs est l’angle géométrique utilisé dans la formule du produit scalaire via son cosinus.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs u$et$v, on a uv = uv cos(u, v), soit uv = uv cos(u, v).
• Le produit scalaire uu vaut toujours u$au carré, donc$uu$=$u^2.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = longueurs × cos(angle : “plus l’angle est petit, plus le produit est grand”).

📖 2. Produit scalaire : propriétés et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les axes sont perpendiculaires et unitaires, permettant des calculs directs de distances et angles.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur sont les nombres $(x,y)$ qui permettent d’exprimer le vecteur dans un repère donné.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé (O,i,j)$, si$u=(x,y) et v$=(x',y'), alors$uv$ = x x' + y y'.
• La formule en coordonnées remplace le calcul d’angle quand on connaît directement les composantes.

💡 Astuce mémo

Coordonnées : on multiplie “en colonne” puis on additionne (x x' + y y').

📖 3. Orthogonalité et projeté orthogonal

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité de vecteurs : Deux vecteurs sont orthogonaux quand ils forment un angle droit, ce qui se traduit algébriquement par un produit scalaire nul.
• Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point d’intersection entre la droite et la perpendiculaire passant par ce point.
• Perpendiculaire à une droite : Une perpendiculaire à une droite est une droite qui forme un angle droit avec celle-ci.

📝 Points essentiels

• Pour deux vecteurs non nuls, uv = 0 équivaut à l’orthogonalité des vecteurs.
• Si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$, alors OH$est perpendiculaire à$OA.
• Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur une droite $d$ est l’intersection de $d$ avec la perpendiculaire à $d$ passant par $M$.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité ⇔ produit scalaire nul : “zéro = angle droit”.

📖 4. Dérivée : définition et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque réel $x$ le nombre dérivé de $f$ en $x$, noté $f'(x)$.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en $x$ mesure la variation instantanée de la fonction $f$ au voisinage de $x$.
• Fonctions usuelles : Les fonctions usuelles sont des formes classiques dont on connaît par cœur les dérivées.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a$ (constante), alors $f'(x)=0$.
• Si $f(x)=x$, alors $f'(x)=1$.
• Si $f(x)=x^n$, alors $f'(x)=n x^{n-1}$.
• Si $f(x)=e^x$, alors $f'(x)=e^x$.
• Si $f(x)=\ln(x)$, alors $f'(x)=\frac{1}{x}$.
• Pour $f$ et $g$ dérivables sur $\mathbb{R}$, on a $(af+bg)'=a f'+b g'$ et $(f+g)'=f'+g'$.

💡 Astuce mémo

Dérivées de base : constante→0, $x$→1, $x^n$→$n x^{n-1}$, $e^x$→$e^x$, $\ln x$→$1/x$.

📖 5. Sens de variation et extremum via signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation décrit si une fonction augmente ou diminue quand $x$ varie sur un intervalle.
• Extremum : Un extremum est un maximum ou un minimum local atteint par une fonction.
• Changement de signe de la dérivée : Un changement de signe de $f'$ signifie que la dérivée passe de positive à négative ou inversement en un point.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)\le 0$ alors $f$ est décroissante.
• Si $f'(x)\ge 0$ alors $f$ est croissante.
• Si $f'$ s’annule et change de signe en $c$, alors $f$ admet un extremum en $c$.
• Pour $f(x)=2x^2+12$, on a $f'(x)=4x$.
• La condition $f'(x)\ge 0$ donne $x\ge 0$.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ : $+$ monte, $-$ descend, et $0$ avec changement de signe → extremum.

📖 6. Module d’un complexe : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Complexe : Un complexe s’écrit sous la forme $z=a+ib$ où $a$ est la partie réelle et $b$ la partie imaginaire.
• Module d’un complexe : Le module d’un complexe est une quantité positive mesurant sa “distance” à l’origine dans le plan complexe.
• Propriétés du module : Les propriétés du module décrivent comment le module se comporte avec produit, quotient et puissances.

📝 Points essentiels

• Pour $z=a+ib$, on a $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Pour $z_1$ et $z_2$, $|z_1 z_2|=|z_1|\,|z_2|$.
• Pour $z_2\ne 0$, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$.
• On a $|z^2|=|z|^2$.

💡 Astuce mémo

Module = racine de $a^2+b^2$, et il “se multiplie” et “se divise” comme une distance.

📖 7. Argument d’un complexe et remarques

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument d’un complexe : L’argument d’un complexe non nul est une mesure en radians de l’angle formé avec l’axe réel dans le plan complexe.
• Infinité d’arguments : Un même complexe non nul admet plusieurs arguments qui diffèrent de multiples de $2\pi$.
• Complexe nul : Le complexe nul n’a pas d’argument car il ne définit pas de direction depuis l’origine.

📝 Points essentiels

• Si $M$ a pour affixe $z\ne 0$, alors $\arg(z)$ est l’angle $(\vec{i},\overrightarrow{OM})$ en radians.
• Les arguments possibles vérifient la forme $\arg(z)+k\times 2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
• Le complexe non nul possède une infinité d’arguments, mais ils correspondent à la même direction.
• On n’a pas d’argument pour $z=0$.

💡 Astuce mémo

Argument = direction : même direction = $+2\pi k$ ; zéro = pas de direction.

📖 8. Forme trigonométrique d’un complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : La forme trigonométrique d’un complexe non nul exprime le nombre avec son module et un angle via cosinus et sinus.
• Angle $\theta$ : L’angle $\theta$ de la forme trigonométrique est pris égal à l’argument du complexe.

📝 Points essentiels

• Pour $z\ne 0$, on écrit $z=|z|(\cos(\theta)+\sin(\theta))$ avec $\theta=\arg(z)$.
• Les coordonnées associées à la décomposition donnent $b=|z|\sin(\theta)$.
• La partie réelle est donnée par $a=|z|\cos(\theta)$.

💡 Astuce mémo

Module × (cos, sin) : $a=|z|\cos\theta$ et $b=|z|\sin\theta$.

📖 9. Probabilités : événement contraire et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement contraire : L’événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, regroupe les issues où $A$ ne se réalise pas.
• Indépendance : Deux expériences sont indépendantes quand le résultat de l’une n’influence pas la probabilité de l’autre.

📝 Points essentiels

• Pour tout événement $A$, on a $P(\overline{A})=1-P(A)$.
• L’indépendance signifie que le résultat d’une expérience ne modifie pas le résultat de l’autre.
• Exemple : dix lancers d’un dé répétés sont indépendants entre eux.

💡 Astuce mémo

Contraire : $P(\overline{A})=1-P(A)$ ; Indépendance : “pas d’influence”.

📖 10. Arbres de probabilité et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre de probabilité : Un arbre de probabilité représente une succession d’expériences aléatoires et les probabilités associées à chaque branche.
• Chemin de l’arbre : Un chemin est une suite de branches menant à un résultat final, correspondant à un événement précis.
• Événement par chemins : Un événement peut être décrit comme l’union de plusieurs chemins distincts de l’arbre.

📝 Points essentiels

• On peut modéliser une succession d’expériences indépendantes par un arbre de probabilité.
• Règle 1 : la probabilité d’un événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.
• Règle 2 : si un événement correspond à plusieurs chemins distincts, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins.

💡 Astuce mémo

Arbre : produit sur un chemin, somme sur plusieurs chemins.

📊 Tableaux de synthèse

Produit scalaire : définition vs coordonnées

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre orthogonalité et égalité : $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ implique orthogonalité, pas forcément que l’un des vecteurs soit nul.
2. Mélanger les signes : $f'(x)\ge 0$ donne une fonction croissante, tandis que $f'(x)\le 0$ donne une fonction décroissante.
3. Oublier que l’argument n’est défini que pour $z\ne 0$ et qu’il existe une infinité d’arguments via $+2\pi k$.
4. Se tromper de formule de dérivation : la dérivée du produit et du quotient ne sont pas celles de la somme.
5. Utiliser une formule de forme trigonométrique sans préciser que $z$ est non nul.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la définition du produit scalaire avec normes et cosinus de l’angle.
2. Savoir utiliser la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé : $x x'+y y'$.
3. Savoir caractériser l’orthogonalité par la condition $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ et décrire le projeté orthogonal.
4. Connaître les dérivées des fonctions usuelles : constante, $x$, $x^n$, $e^x$, $\ln x$.
5. Savoir appliquer les règles de dérivation : linéarité, somme, produit, quotient.
6. Déterminer le sens de variation à partir du signe de $f'$ et conclure sur l’existence d’un extremum quand $f'$ s’annule et change de signe.
7. Calculer le module d’un complexe $z=a+ib$ et utiliser ses propriétés pour produit, quotient et carré.
8. Donner l’argument d’un complexe non nul et rappeler la forme $\arg(z)+2\pi k$ ; savoir dire qu’il n’existe pas pour $z=0$.
9. Écrire la forme trigonométrique $z=|z|(\cos\theta+\sin\theta)$ avec $\theta=\arg(z)$ et retrouver $a$ et $b$ via cos et sin.
10. Utiliser $P(\overline{A})=1-P(A)$ et comprendre la notion d’indépendance.
11. Savoir calculer une probabilité avec un arbre : produit sur un chemin, somme sur plusieurs chemins.