QCM : La fonction racine carrée : propriétés et croissance — 8 questions

Explication

La fonction racine carrée en mathématiques est définie pour x ≥ 0, et à chaque x dans ce domaine, elle associe la valeur positive √x telle que (√x)² = x. Les autres options sont incorrectes : la racine carrée n'est pas définie pour x négatif dans le contexte réel, elle ne donne pas la valeur absolue de x, et elle est limitée à x ≥ 0.

Explication

La relation correcte est que √a² = a si a ≥ 0, et √a² = -a si a < 0. La propriété fondamentale est que √a² = |a|, la valeur absolue de a, ce qui correspond à la réponse 3. La réponse 1 est fausse car elle ne tient pas compte du signe de a. La réponse 2 est partiellement correcte mais ne précise pas que pour a = 0, √a² = 0, ce qui est inclus dans a ≥ 0. La réponse 4 est correcte en pratique, mais la formulation la plus précise et générale est que √a² = |a|, ce qui est une propriété standard.

Explication

La symétrie par rapport à l'axe y correspond à la propriété de parité d'une fonction, c'est-à-dire que f(-x) = f(x), ce qui indique que la fonction est paire et que sa courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical.

Explication

La règle √a × √b = √(a × b) a été systématisée et intégrée dans la théorie de l’analyse mathématique principalement au 19e siècle, période durant laquelle la notation et les propriétés des racines carrées ont été formalisées par des mathématiciens comme Perroux.

Explication

La relation √a² est toujours égale à la valeur absolue de a, c'est-à-dire |a|, indépendamment du signe de a. La propriété √a² = a est vraie uniquement lorsque a ≥ 0. La différence essentielle est que √a² = |a|, ce qui garantit que le résultat est toujours positif ou nul, même si a est négatif.

Explication

Augustin-Louis Cauchy a été l'un des mathématiciens qui ont systématisé la rigueur dans l'étude des fonctions, notamment en formalisation le domaine de définition de la racine carrée comme x ≥ 0 dans le cadre de l'analyse moderne.

Explication

La relation √a² = |a| indique que la racine carrée de a² est toujours la valeur absolue de a, ce qui est positif ou nul. Pour a positif, cela revient à a lui-même ; pour a négatif, cela donne -a, sa valeur positive. La réponse correcte reflète cette propriété fondamentale, tandis que les autres options négligent la nécessité de prendre la valeur absolue ou donnent des affirmations fausses.

Explication

La fonction racine carrée √x est strictement croissante sur ℝ⁺, ce qui signifie que si x₁ < x₂, alors √x₁ < √x₂. Donc, pour comparer √x₁ et √x₂ lorsque x₁ < x₂, on utilise cette propriété de croissance, ce qui donne la réponse 1.