Le raisonnement par récurrence

📋 Plan du Cours

1. Axiome et principe de récurrence
2. Mise en œuvre de la démonstration
3. Application à l'étude d'une suite

📖 1. Axiome et principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Consiste à prouver un cas de base (généralement n=1), puis à prouver que si l'affirmation est vraie pour un entier k, elle est aussi vraie pour l'entier suivant k+1.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel n ; si P(n) est vraie pour un entier initial (initialisation) et si pour tout entier naturel l'hérédité est vérifiée, alors on peut affirmer que P(n) est vraie pour tout entier supérieur ou égal à cet entier initial.

Compléments

• La propriété P(n) peut être de différentes natures : une égalité, une inégalité, ou une phrase exprimant par exemple qu'une expression est un entier naturel.
• On peut illustrer le raisonnement par récurrence par la programmation d'un robot qui doit monter des escaliers : si le robot est mis sur une marche et sait monter d'une marche à la suivante, alors il saura monter toutes les marches à partir de cette marche.

📖 2. Mise en œuvre de la démonstration

📝 Points essentiels