Fiche de révision : Les asymptotes d’une courbe

📋 Plan du Cours

1. Notion générale d’asymptote
2. Asymptote horizontale
3. Asymptote verticale
4. Asymptote oblique
5. Détermination d’une asymptote oblique
6. Asymptotes courbes hors programme

📖 1. Notion générale d’asymptote

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote : Droite qui donne une information infinitésimale sur une courbe représentative et en simplifie la compréhension.

📝 Points essentiels

• Les trois types de droites asymptotes sont:
  • l’asymptote horizontale d’équation y = b
  • l’asymptote verticale d’équation x = a
  • l’asymptote oblique d’équation y = ax + b

💡 Astuce mémo

La fonction relève de l’analyse, tandis que sa courbe relève de la géométrie.

📖 2. Asymptote horizontale

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : La droite y = b est une asymptote horizontale en −∞ si $\lim_{x\to-\infty} f(x)=b$ et en +∞ si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=b$.

📝 Points essentiels

• Pour la fonction $f(x)=\frac{x}{x-1}$, on a $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1$, donc la droite y = 1 est une asymptote horizontale à sa courbe représentative.

💡 Astuce mémo

À gauche ou à droite : −∞ puis +∞.

📖 3. Asymptote verticale

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : La droite x = a est une asymptote verticale si $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\frac{x}{x-1}$, on a $\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$, donc x = 1 est une asymptote verticale à la courbe.

💡 Astuce mémo

La courbe s’approche de la droite verticale x = a en montant vers l’infini.

📖 4. Asymptote oblique

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote oblique : La droite y = ax + b est une asymptote oblique en −∞ si $\lim_{x\to-\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ et en +∞ si $\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\frac{x^2-1}{2x+1}$, la droite $y=\frac12x-\frac14$ est une asymptote oblique car la différence entre f(x) et cette expression tend vers 0 à l’infini.

💡 Astuce mémo

La différence avec une droite tend vers zéro → la droite est asymptote.

📖 5. Détermination d’une asymptote oblique

★ À maîtriser

• Pour déterminer une asymptote oblique, on calcule d’abord $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$, puis $\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax]=b$ ; si cette seconde limite existe, la droite y = ax + b est asymptote oblique, sinon la courbe n’en admet pas.

Compléments

• Pour $f(x)=\frac{x^2-1}{2x+1}$, on obtient $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\frac12$ puis $\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-\frac12x\right]=-\frac14$, donc l’asymptote oblique est $y=\frac12x-\frac14$.

💡 Astuce mémo

Pente a : f(x)/x, puis ordonnée b : f(x) − ax.

📖 6. Asymptotes courbes hors programme

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote courbe : Une courbe C_g est une asymptote de la courbe C_f en −∞ ou en +∞ si la différence $f(x)-g(x)$ tend vers 0 dans la direction considérée.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\frac{x^3}{x-1}$ et $g(x)=x^2+x+1$, on a $f(x)-g(x)=\frac1{x-1}$, qui tend vers 0 quand x tend vers +∞ ; la parabole C_g est donc une asymptote à C_f en +∞.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’asymptotes droites