Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Les entiers naturels
2. Les entiers relatifs
3. Les nombres décimaux
4. Les nombres rationnels
5. Les nombres réels
6. Les nombres complexes
7. Inclusions et extensions numériques

📖 1. Les entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, auxquels appartient également zéro.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des entiers naturels se note N.

• Les nombres 0, 1, 2, 3, 4 et 5 sont des entiers naturels.

💡 Astuce mémo

Compter puis intégrer zéro : 1, 2, 3… et 0

📖 2. Les entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Les entiers relatifs regroupent les entiers positifs et les entiers négatifs.

★ À maîtriser

• Les nombres négatifs portent un symbole moins devant leur écriture, comme −5, −200 et −14.

Compléments

• L’ensemble des entiers relatifs se note Z.

💡 Astuce mémo

Positif et négatif s’opposent autour de zéro

📖 3. Les nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombre obtenu en partageant un entier et dont l’écriture décimale s’arrête.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des nombres décimaux se note D.

📖 4. Les nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs.

★ À maîtriser

• Le quotient 1/3 est rationnel et possède une écriture décimale infinie périodique : 0,333

📐 Formule — Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs.

Compléments

• L’ensemble des nombres rationnels se note Q.

💡 Astuce mémo

Décimal fini contre décimal infini périodique

📖 5. Les nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
• Nombres algébriques : Nombre réel qui est solution d’une équation polynomiale à coefficients entiers.
• Nombres transcendants : Nombres qui ne sont pas algébriques et qui ne sont solutions d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

★ À maîtriser

• Le nombre √2 est irrationnel, car son écriture décimale est infinie et ne présente pas de suite répétitive.

Compléments

• Le nombre π est un nombre transcendant.

💡 Astuce mémo

Algébriques : équation possible ; transcendants : aucune équation polynomiale

📖 6. Les nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité imaginaire : L’unité imaginaire i est une solution complexe de l’équation x² = −1.
• Nombres complexes : Nombres de la forme a + ib, où a et b sont des nombres réels.

★ À maîtriser

📌 L’équation x² = −1 n’a pas de solution réelle, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.

Compléments

• L’ensemble des nombres complexes se note C.

💡 Astuce mémo

x² = −1 sans solution réelle → introduction de i

📖 7. Inclusions et extensions numériques

📝 Points essentiels

📌 Les inclusions entre les principaux ensembles de nombres sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

• Le nombre 1 appartient simultanément aux ensembles N, Z, D, Q, R et C.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

📊 Tableaux de synthèse

Principaux ensembles de nombres