Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Les entiers naturels et relatifs
2. Les nombres décimaux
3. Les nombres rationnels
4. Les nombres réels
5. Algébriques et transcendants
6. Les nombres complexes
7. Inclusion des ensembles numériques

📖 1. Les entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, notamment 0, 1, 2, 3, 4 et 5, dont l’ensemble se note ℕ.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs regroupent les entiers positifs et les entiers négatifs, comme −5, −200 et −14, et leur ensemble se note ℤ.

📝 Points essentiels

📌 Un nombre négatif est un entier précédé du symbole moins, tandis qu’un nombre positif ne l’est pas.

💡 Astuce mémo

Naturels : compter ; relatifs : compter aussi les nombres négatifs

📖 2. Les nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres obtenus en partageant un entier et possédant une écriture décimale qui s’arrête, comme 1,5.

📝 Points essentiels

• Le nombre 1,5 est un nombre décimal composé d’un entier et de la moitié d’un entier.

💡 Astuce mémo

Un entier découpé en parts donnant une écriture qui s’arrête

📖 3. Les nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs, sous la forme $\frac{a}{b}$ avec un dénominateur non nul, et dont l’ensemble se note ℚ.

★ À maîtriser

• Le quotient $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel dont l’écriture décimale est 0,333… avec une suite infinie de chiffres 3.

Compléments

📌 Les écritures décimales rationnelles peuvent être infinies tout en répétant périodiquement les mêmes chiffres, comme 0,248248248… .

💡 Astuce mémo

Rationnel : décimales répétées ou fraction ; décimal : écriture finie

📖 4. Les nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombres réels dont l’écriture décimale est infinie et non périodique, comme $\sqrt{2} \approx 1{,}4142135…$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre $\sqrt{2}$ est la solution positive de l’équation $x^2=2$.

💡 Astuce mémo

Écriture infinie non périodique → nombre irrationnel → nombre réel

📖 5. Algébriques et transcendants

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres transcendants : Nombres réels qui ne sont pas algébriques et qui ne sont solutions d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

📝 Points essentiels

• Le nombre $\sqrt{2}$ est algébrique car il est solution de l’équation polynomiale $x^2=2$.

• Le nombre π est transcendant car aucune équation polynomiale à coefficients entiers n’a π pour solution.

💡 Astuce mémo

Algébrique : solution d’une équation polynomiale ; transcendant : aucune solution de ce type

📖 6. Les nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Nombres de la forme $a+ib$, où a et b sont des nombres réels et où i est une solution de l’équation $x^2=-1$; leur ensemble se note ℂ.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation $x^2=-1$ n’a pas de solution réelle, mais elle possède la solution complexe i.

Compléments

• Dans les nombres réels, le carré d’un nombre ne peut pas être négatif, car le produit d’un nombre par lui-même est positif ou nul.

💡 Astuce mémo

Réel : carré de lui-même non négatif ; complexe : permet une solution à x² = −1

📖 7. Inclusion des ensembles numériques

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles numériques suivent la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Compléments

• Le nombre 1 appartient aux entiers naturels, aux entiers relatifs, aux nombres décimaux, aux nombres rationnels, aux nombres réels et aux nombres complexes.

💡 Astuce mémo

Entiers ⊂ décimaux ⊂ rationnels ⊂ réels ⊂ complexes