Fiche de révision : Intervalles et opérations ensemblistes

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation d’un intervalle
2. Intervalles fermés et bornes incluses
3. Intervalles ouverts et bornes exclues
4. Intervalles non bornés et infinis
5. Ouvert, fermé et ensemble des réels
6. Intersection et réunion d’ensembles
7. Calcul avec deux intervalles

📖 1. Définition et représentation d’un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble des nombres réels compris entre deux bornes, comme l’ensemble des nombres compris entre 2 et 4.

★ À maîtriser

📌 Sur une droite graduée, un intervalle se représente par une zone située entre ses bornes et se note à l’aide de ses extrémités et de crochets.

Compléments

• Dans l’intervalle fermé [2;4], les nombres 2, 3 et 4 appartiennent à l’intervalle, tandis que 5 n’y appartient pas.

💡 Astuce mémo

Une zone colorée entre deux bornes sur une droite graduée

📖 2. Intervalles fermés et bornes incluses

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Intervalle dont les deux bornes appartiennent à l’intervalle et dont les crochets sont tournés vers la zone représentée.

📝 Points essentiels

• L’intervalle [-3;5] est fermé, car -3 et 5 appartiennent à l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Crochet tourné vers la zone : borne incluse ; crochet tourné vers l’extérieur : borne exclue

📖 3. Intervalles ouverts et bornes exclues

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle ouvert : Intervalle dont aucune des deux bornes n’appartient à l’intervalle.

📝 Points essentiels

• L’intervalle ouvert ]0;1[ contient les nombres strictement compris entre 0 et 1, mais ni 0 ni 1.

💡 Astuce mémo

Ouvert signifie qu’aucune des deux extrémités n’appartient à l’intervalle

📖 4. Intervalles non bornés et infinis

★ À maîtriser

📌 L’ensemble des réels x strictement supérieurs à 3 se note ]3;+∞[ et se représente par une demi-droite partant de 3 sans inclure 3 et se prolongeant vers la droite.

📌 L’ensemble des réels x strictement inférieurs à -1 se note ]-∞;-1[ et se représente par une demi-droite se prolongeant vers la gauche sans inclure -1.

Compléments

📌 L’infini n’est jamais atteint et ne peut donc jamais être inclus dans un intervalle ; il est toujours associé à un crochet tourné vers l’extérieur.

💡 Astuce mémo

Une demi-droite colorée qui part d’une borne et se prolonge vers une flèche

📖 5. Ouvert, fermé et ensemble des réels

★ À maîtriser

📌 Un intervalle est ouvert lorsque ses deux extrémités sont exclues, tandis qu’il est fermé lorsque ses deux extrémités sont incluses.

Compléments

• L’ensemble des nombres réels ℝ peut se noter comme l’intervalle ouvert ]-∞;+∞[.

💡 Astuce mémo

Fermé inclut ses bornes ; ouvert les exclut, y compris les bornes infinies

📖 6. Intersection et réunion d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B simultanément, et se note A ∩ B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, et se note A ∪ B.

💡 Astuce mémo

Intersection = dans A et B ; réunion = dans A ou B

📖 7. Calcul avec deux intervalles

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour déterminer une intersection ou une réunion d’intervalles, il faut: représenter les intervalles sur une droite graduée, repérer la zone commune pour l’intersection, repérer toute la zone couverte pour la réunion

• Pour A=[-3;4] et B=[2;5], on obtient A ∩ B=[2;4] et A ∪ B=[-3;5].

💡 Astuce mémo

Représenter, repérer la zone commune, puis repérer toute la zone couverte

📊 Tableaux de synthèse

Intersection et réunion