Fiche de révision : Les ensembles en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation des ensembles
2. Appartenance et inclusion
3. Réunion et intersection
4. Ensembles de nombres

📖 1. Définition et représentation des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Groupe ou collection d’objets appelés éléments.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément et se note ∅ ou {}.

★ À maîtriser

📌 Une écriture en extension énumère les éléments d’un ensemble, tandis qu’une écriture en compréhension décrit la propriété commune de ses éléments, comme P = {entiers pairs}.

Compléments

• L’ensemble des voyelles peut s’écrire V = {a, e, i, o, u, y}.

💡 Astuce mémo

Extension = énumérer les éléments ; compréhension = décrire leur propriété.

📖 2. Appartenance et inclusion

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : Si E est un ensemble, tout objet de E est un élément de E et l’on écrit x ∈ E pour indiquer que x appartient à E.
• Sous-ensemble : Ensemble dont tous les éléments appartiennent à V, ce qui se note B ⊂ V.

★ À maîtriser

• L’ensemble vide ∅ est inclus dans tout ensemble E.

Compléments

📌 Le symbole ∈ signifie qu’un objet appartient à un ensemble, tandis que le symbole ∉ signifie qu’il n’y appartient pas.

💡 Astuce mémo

∈ relie un élément à un ensemble ; ⊂ relie un ensemble à un autre.

📖 3. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments appartenant à E et à F.
• Réunion : Ensemble des éléments appartenant à E ou à F, c’est-à-dire à au moins l’un des deux ensembles.

📝 Points essentiels

📌 Si A ⊂ E, alors A ∩ E = A et A ∪ E = E.

• Pour A = {2, 4, 6, 8} et B = {1, 3, 8, 7, a, b}, on obtient A ∩ B = {8} et A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 1, 3, 7, a, b}.

💡 Astuce mémo

∩ garde le commun ; ∪ rassemble tout ce qui appartient à au moins un ensemble.

📖 4. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Ensemble des nombres rationnels, noté Q.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.

• Le nombre √2 n’appartient pas à l’ensemble des nombres rationnels, ce qui s’écrit √2 ∉ Q.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.