Fiche de révision : Méthodes de factorisation

📋 Plan du Cours

1. Définition et objectifs
2. Facteur commun et regroupement
3. Identités remarquables
4. Trinôme du second degré
5. Polynôme de degré trois
6. Règles et applications

📖 1. Définition et objectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Consiste à écrire une expression algébrique sous la forme d’un produit de facteurs et constitue l’opération inverse du développement.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement et la factorisation sont liés par les relations $a(b+c)=ab+ac$ et $ab+ac=a(b+c)$.

Compléments

• La factorisation sert à simplifier des expressions algébriques, résoudre des équations ou des inéquations et mettre en évidence des propriétés comme la divisibilité ou les racines.

💡 Astuce mémo

Développement : produit vers somme ; factorisation : somme vers produit.

📖 2. Facteur commun et regroupement

★ À maîtriser

📐 Formule — La mise en facteur commun repose sur la relation $ab+ac=a(b+c)$.

• La factorisation par regroupement consiste à regrouper les termes par paires afin de faire apparaître un facteur commun, puis à factoriser ce facteur commun.

Compléments

• L’expression $3x^2-6x$ se factorise en $3x(x-2)$.

• L’expression $ax+ay+bx+by$ devient $a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$ par regroupement.

💡 Astuce mémo

Des termes regroupés tirent le même facteur hors des parenthèses.

📖 3. Identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités remarquables comprennent $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📐 Formule — Les identités remarquables de degré trois comprennent $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ et $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

📐 Formule — Les différences et sommes de cubes se factorisent selon $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ et $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Compléments

• L’expression $x^2-4$ est une différence de carrés et se factorise en $(x-2)(x+2)$.

📖 4. Trinôme du second degré

★ À maîtriser

• Pour factoriser un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$, puis ses racines lorsqu’elles existent.

📐 Formule — Si les racines $x_1$ et $x_2$ existent, le trinôme se factorise selon $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Le trinôme $x^2+5x+6$ se factorise en $(x+2)(x+3)$.

💡 Astuce mémo

Discriminant → racines → facteurs.

📖 5. Polynôme de degré trois

★ À maîtriser

• Pour un polynôme du troisième degré, on cherche d’abord une racine évidente, puis on factorise par le facteur associé avant de traiter le polynôme du second degré restant.

📌 Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$, alors $P(x)$ est divisible par $x-\alpha$ et s’écrit sous la forme $P(x)=(x-\alpha)(mx^2+nx+p)$.

Compléments

• Pour un polynôme unitaire, les racines entières sont toujours des diviseurs du terme constant $d$.

• Après avoir trouvé une racine $\alpha$, le polynôme de degré deux peut aussi être obtenu par division euclidienne de $P(x)$ par $x-\alpha$.

💡 Astuce mémo

Racine évidente → facteur linéaire → trinôme → factorisation finale.

📖 6. Règles et applications

★ À maîtriser

📌 Il faut toujours chercher d’abord un facteur commun avant d’essayer une autre méthode de factorisation.

📌 Pour résoudre une équation factorisée, on utilise la règle $A\cdot B=0$ qui implique $A=0$ ou $B=0$.

Compléments

• La factorisation permet de simplifier des fractions algébriques lorsque le numérateur et le dénominateur possèdent un facteur commun.

• La fraction $\frac{x^2-1}{x-1}$ se simplifie en $x+1$ après la factorisation $x^2-1=(x-1)(x+1)$, sous réserve que $x\ne1$.

💡 Astuce mémo

Produit nul → au moins un facteur nul → résolution de l’équation.

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes classiques de factorisation