QCM : Méthodes de factorisation — 13 questions

Question 1

1. Quelle transformation caractérise la factorisation d’une expression algébrique ?

Écrire une somme ou une différence sous la forme d’un produit de facteurs

Transformer un produit de facteurs en une somme ou une différence

Réduire une expression en additionnant ses termes semblables

Remplacer chaque variable par une valeur numérique adaptée

Explication

La factorisation consiste à transformer une expression en produit de facteurs, ce qui correspond à l’opération inverse du développement. Le développement part au contraire d’un produit pour obtenir une somme ou une différence.

Answer

Écrire une somme ou une différence sous la forme d’un produit de facteurs

Question 2

2. Quelle égalité illustre directement une factorisation par distributivité ?

ab+ac=a(b+c)

ab+ac=(a+b)(a+c)

a+b=a(b+1)

a(b+c)=ab+ac

Explication

L’égalité $ab+ac=a(b+c)$ met en évidence le facteur commun $a$ et constitue donc une factorisation. L’égalité $a(b+c)=ab+ac$ décrit le développement de la forme factorisée.

Answer

$$ab+ac=a(b+c)$$

Question 3

3. Quelle relation fonde la mise en facteur commun ?

ab+ac=a(b+c)

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a(b+c)=ab+ac

Explication

La mise en facteur commun repose sur $ab+ac=a(b+c)$ , car le facteur $a$ est présent dans les deux termes. La relation $a(b+c)=ab+ac$ correspond à la transformation inverse, appelée développement.

Answer

$$ab+ac=a(b+c)$$

Question 4

4. Quelle démarche décrit une factorisation par regroupement ?

Associer des termes, faire apparaître un facteur commun, puis le factoriser

Remplacer les variables par des nombres, calculer les termes, puis comparer les résultats

Développer chaque produit, réduire les termes semblables, puis supprimer les parenthèses

Repérer un facteur présent dans tous les termes, puis le placer devant une parenthèse

Explication

Le regroupement consiste à réunir les termes par paires afin de faire apparaître un facteur commun, puis à factoriser ce facteur. Le facteur commun simple est quant à lui repéré directement dans tous les termes, sans former de paquets au préalable.

Answer

Associer des termes, faire apparaître un facteur commun, puis le factoriser

Question 5

5. Quel développement correspond au carré d’une différence ?

(a-b)^2=a^2-2ab-b^2

(a-b)^2=a^2+ab+b^2

(a-b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Explication

Le carré d’une différence contient le terme du milieu $-2ab$ et s’écrit $a^2-2ab+b^2$ . Le signe positif devant $2ab$ caractérise le carré d’une somme.

Answer

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Question 6

6. Quelle factorisation est correcte pour une différence de cubes ?

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3-b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)

a^3-b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)

Explication

Une différence de cubes se factorise en conservant la différence $a-b$ , puis en utilisant le trinôme $a^2+ab+b^2$ . La forme avec $a+b$ et $a^2-ab+b^2$ correspond à une somme de cubes.

Answer

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Question 7

7. Comment factoriser correctement l’expression $x^2-4$ ?

(x-4)(x+1)

(x+4)(x-1)

(x-2)(x+2)

(x-2)^2

Explication

L’expression $x^2-4$ est une différence de carrés, car $4=2^2$ , et elle se factorise selon $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Le carré $(x-2)^2$ produirait un terme supplémentaire en $x$ .

Answer

$$(x-2)(x+2)$$

Question 8

8. Quelle démarche permet de factoriser un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

Remplacer le terme constant par zéro avant de développer l’expression

Calculer

\Delta=b^2-4ac

, puis déterminer les racines lorsqu’elles existent

Chercher directement deux facteurs sans examiner les racines éventuelles

Calculer la dérivée, puis utiliser son sommet pour construire les facteurs

Explication

Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ sert à déterminer les racines, qui permettent ensuite d’obtenir la factorisation. Chercher directement des facteurs ne constitue pas la démarche générale décrite pour un trinôme quelconque.

Answer

Calculer $$\Delta=b^2-4ac$$, puis déterminer les racines lorsqu’elles existent

Question 9

9. Si les racines d’un trinôme $ax^2+bx+c$ sont $x_1$ et $x_2$ , quelle est sa forme factorisée ?

a(x+x_1)(x+x_2)

(x-x_1)(x-x_2)

(ax-x_1)(ax-x_2)

a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

La forme factorisée conserve le coefficient directeur et s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Omettre $a$ donnerait un produit de facteurs moniques, qui ne correspond pas en général au trinôme initial.

Answer

$$a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 10

10. Après avoir trouvé une racine évidente $\alpha$ d’un polynôme du troisième degré, quelle étape vient ensuite ?

Factoriser par le facteur associé, puis étudier le polynôme du second degré restant

Calculer directement le discriminant du polynôme du troisième degré complet

Remplacer chaque occurrence de

x

par

\alpha

dans l’expression factorisée

Chercher une seconde racine sans utiliser la racine déjà déterminée

Explication

Une racine évidente permet d’identifier le facteur associé $x-\alpha$ , puis de réduire l’étude à un polynôme du second degré. Le discriminant s’applique ensuite au facteur quadratique restant, pas au polynôme cubique complet.

Answer

Factoriser par le facteur associé, puis étudier le polynôme du second degré restant

Question 11

11. Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ , quelle affirmation est correcte ?

P(x)

est divisible par

x+\alpha

et s’écrit

(x+\alpha)(mx^2+nx+p)

P(\alpha)=\alpha

et le facteur associé est

x-\alpha

P(x)

est divisible par

x-\alpha

et s’écrit

(x-\alpha)(mx^2+nx+p)

P(x)

est divisible par

\alpha x-1

et s’écrit

(\alpha x-1)(mx^2+nx+p)

Explication

La relation $P(\alpha)=0$ implique, d’après le théorème du facteur, que $x-\alpha$ divise $P(x)$ . Le facteur $x+\alpha$ correspondrait à une racine $-\alpha$ , et non à $\alpha$ .

Answer

$$P(x)$$ est divisible par $$x-\alpha$$ et s’écrit $$(x-\alpha)(mx^2+nx+p)$$

Question 12

12. Quelle méthode faut-il tester en premier lors de la factorisation d’une expression algébrique ?

Appliquer une identité remarquable adaptée aux termes visibles

Calculer les racines du polynôme de plus haut degré

Rechercher un facteur commun à tous les termes

Développer chaque produit avant de choisir une méthode

Explication

La recherche d’un facteur commun constitue la première méthode à tester, car elle peut simplifier immédiatement l’expression. Une identité remarquable devient pertinente lorsqu’aucun facteur commun suffisant n’est exploitable.

Answer

Rechercher un facteur commun à tous les termes

Question 13

13. Pour résoudre une équation factorisée de la forme $A\cdot B=0$ , quelle règle faut-il appliquer ?

Diviser par

A

et imposer ensuite

B=0

Résoudre

A=0

ou

B=0

Résoudre

A=1

ou

B=1

Additionner

A

et

B

puis égaler leur somme à zéro

Explication

La règle du produit nul affirme que si $A\cdot B=0$ , alors $A=0$ ou $B=0$ , ce qui fournit les deux équations à résoudre. Cette règle ne s’applique pas à un produit dont la valeur est non nulle.

Answer

Résoudre $$A=0$$ ou $$B=0$$

QCM : Méthodes de factorisation — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation caractérise la factorisation d’une expression algébrique ?

2. Quelle égalité illustre directement une factorisation par distributivité ?

3. Quelle relation fonde la mise en facteur commun ?

4. Quelle démarche décrit une factorisation par regroupement ?

5. Quel développement correspond au carré d’une différence ?

6. Quelle factorisation est correcte pour une différence de cubes ?

7. Comment factoriser correctement l’expression $x^2-4$ ?

8. Quelle démarche permet de factoriser un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

9. Si les racines d’un trinôme $ax^2+bx+c$ sont $x_1$ et $x_2$ , quelle est sa forme factorisée ?

10. Après avoir trouvé une racine évidente $\alpha$ d’un polynôme du troisième degré, quelle étape vient ensuite ?

11. Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ , quelle affirmation est correcte ?

12. Quelle méthode faut-il tester en premier lors de la factorisation d’une expression algébrique ?

13. Pour résoudre une équation factorisée de la forme $A\cdot B=0$ , quelle règle faut-il appliquer ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation caractérise la factorisation d’une expression algébrique ?

2. Quelle égalité illustre directement une factorisation par distributivité ?

3. Quelle relation fonde la mise en facteur commun ?

4. Quelle démarche décrit une factorisation par regroupement ?

5. Quel développement correspond au carré d’une différence ?

6. Quelle factorisation est correcte pour une différence de cubes ?

7. Comment factoriser correctement l’expression x2−4x^2-4x2−4 ?

8. Quelle démarche permet de factoriser un trinôme du second degré ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

9. Si les racines d’un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle est sa forme factorisée ?

10. Après avoir trouvé une racine évidente α\alphaα d’un polynôme du troisième degré, quelle étape vient ensuite ?

11. Si α\alphaα est une racine de P(x)P(x)P(x), quelle affirmation est correcte ?

12. Quelle méthode faut-il tester en premier lors de la factorisation d’une expression algébrique ?

13. Pour résoudre une équation factorisée de la forme A⋅B=0A\cdot B=0A⋅B=0, quelle règle faut-il appliquer ?

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7. Comment factoriser correctement l’expression $x^2-4$ ?

8. Quelle démarche permet de factoriser un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ ?

9. Si les racines d’un trinôme $ax^2+bx+c$ sont $x_1$ et $x_2$ , quelle est sa forme factorisée ?

10. Après avoir trouvé une racine évidente $\alpha$ d’un polynôme du troisième degré, quelle étape vient ensuite ?

11. Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ , quelle affirmation est correcte ?

13. Pour résoudre une équation factorisée de la forme $A\cdot B=0$ , quelle règle faut-il appliquer ?