Comment sont emboîtés les ensembles N, Z, D, Q, R ?
N est inclus dans Z, qui est inclus dans D, puis Q, puis R.
Que désigne l'ensemble N ?
Les nombres naturels.
Que désigne l'ensemble Z ?
Les entiers relatifs.
Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?
Un nombre qui s'écrit comme le quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul.
Quand un nombre est-il rationnel ?
S'il admet une écriture décimale finie ou périodique.
Quels sont des exemples de nombres irrationnels ?
√2, e, ln 2 et π.
Qu'est-ce que R muni de l'addition et de la multiplication ?
Un corps commutatif.
Quelle propriété relie la multiplication à l'addition dans R ?
La multiplication est distributive par rapport à l'addition.
Quand le produit de deux réels x et y est-il nul ?
Si et seulement si x=0 ou y=0.
Comment s'exprime l'inverse d'une puissance pour ?
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Quelles propriétés la relation ≤ sur ℝ possède-t-elle ?
Elle est réflexive, antisymétrique, transitive et totale.
Avec quoi la relation ≤ sur ℝ est-elle compatible ?
Avec l’addition et la multiplication par un réel positif.
Que se passe-t-il si x≤y et z≤0 pour l'inégalité ?
Alors xz≥yz.
L'addition d'un même réel modifie-t-elle le sens d'une inégalité ?
Non, elle conserve toujours le sens de l’inégalité.
Que dit la propriété d’Archimède pour tout réel x ?
Il existe un entier naturel n tel que n>x.
Qu'est-ce que la partie entière E(x) ?
L’unique entier relatif vérifiant E(x)≤x<E(x)+1.
Comment est définie la valeur absolue d'un réel x ?
La valeur absolue de x est |x|=max(x,−x).
Que représente |x−y| sur la droite numérique ?
La distance entre les réels x et y.
Que représente |x| sur la droite numérique ?
La distance entre x et 0.
Quelle inégalité exprime l'inégalité triangulaire pour tous réels x et y ?
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Que signifie pour un réel r≥0 ?
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Que signifie pour un réel r≥0 ?
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Qu'est-ce qu'un intervalle dans R ?
Une partie I de R telle que pour tous a,b∈I et x réel, a≤x≤b implique x∈I.
Quels types d'intervalles comprend R ?
L'ensemble vide, R, les segments, les intervalles non bornés, ouverts bornés et semi-ouverts.
Qu'est-ce qu'un ensemble dense dans R ?
Un ensemble dont tout intervalle ouvert non vide de R contient au moins un élément.
Quels ensembles sont denses dans R ?
Les rationnels Q et les irrationnels R\Q sont tous deux denses dans R.
Que contient tout intervalle ouvert non vide de R ?
Au moins un rationnel et au moins un irrationnel.
Qu'est-ce qu'un majorant d'une partie A de R ?
Un réel M tel que tout élément a de A vérifie a ≤ M.
Qu'est-ce qu'un minorant d'une partie A de R ?
Un réel m tel que tout élément a de A vérifie a ≥ m.
Quelles conditions caractérisent le maximum de A ?
M est un majorant de A et appartient à A.
Qu'est-ce que la borne supérieure d'une partie A ?
Le plus petit élément de l'ensemble des majorants de A.
Quelle propriété possède toute partie non vide et majorée de R ?
Elle admet une borne supérieure.
Quelle propriété possède toute partie non vide et minorée de R ?
Elle admet une borne inférieure.
Que vaut max A si A possède un maximum ?
max A = sup A.
L'existence de sup A implique-t-elle toujours l'existence d'un maximum ?
Non, elle ne l'implique pas toujours.
Pour A=]0,1[, quelles sont inf A et sup A ?
inf A = 0 et sup A = 1.
L'ensemble A=]0,1[ possède-t-il un minimum ou un maximum ?
Non, il ne possède ni minimum ni maximum.
La propriété de la borne supérieure est-elle vraie dans Q ?
Non, elle est fausse dans Q.
Quel exemple montre que {x∈Q | x²≤2} n'a pas de borne supérieure dans Q ?
L'ensemble {x∈Q | x²≤2} n'a pas de borne supérieure dans Q.
Quel est l'ordre de priorité des opérations en calcul ?
Parenthèses, exponentiations, multiplications/divisions, additions/soustractions.
Comment s'effectuent les opérations de même niveau ?
De gauche à droite.
Qu'est-ce qu'une proposition mathématique ?
Un énoncé avec une seule valeur de vérité, vrai ou faux.
Que signifie l'équivalence logique P⇔Q ?
Que P⇒Q et Q⇒P sont vraies.
Quelle est la différence entre l'équivalence P⇔Q et la réciproque de P⇒Q ?
La réciproque est seulement Q⇒P, pas forcément P⇒Q.
Peut-on inverser l'ordre de deux quantificateurs différents sans changer le sens ?
Non, cela change le sens de l'assertion.
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1. Quelle inclusion entre ensembles de nombres est correcte ?
2. Laquelle de ces écritures définit un nombre rationnel ?
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