Fiche de révision : Les nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Structure algébrique de R
3. Ordre et propriété d’Archimède
4. Valeur absolue et distance
5. Intervalles et densité
6. Bornes, maximum et minimum
7. Complétude de R
8. Outils de raisonnement et calcul

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, où N désigne les naturels, Z les entiers relatifs, D les décimaux, Q les rationnels et R les réels.

• Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale finie ou périodique.

Compléments

• Les nombres √2, e, ln 2 et π sont des exemples de nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Structure algébrique de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps commutatif : L’ensemble R muni de l’addition et de la multiplication est un corps commutatif.

★ À maîtriser

📌 Dans R, la multiplication est distributive par rapport à l’addition : x(y+z)=xy+xz.

Compléments

📌 Pour tous réels x et y, xy=0 si et seulement si x=0 ou y=0.

📐 Formule — Pour x non nul et n entier naturel non nul, $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.

💡 Astuce mémo

R est un corps commutatif

📖 3. Ordre et propriété d’Archimède

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété d’Archimède : La propriété d’Archimède affirme que pour tout réel x, il existe un entier naturel n tel que n>x.
• Partie entière : La partie entière E(x) est l’unique entier relatif vérifiant E(x)≤x<E(x)+1.

📝 Points essentiels

📌 La relation ≤ sur R est réflexive, antisymétrique, transitive et totale, et elle est compatible avec l’addition et la multiplication par un réel positif.

📌 Si x≤y et z≤0, alors xz≥yz, tandis que l’addition d’un même réel conserve toujours le sens de l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Archimède ⇒ chaque réel est dépassé par un entier naturel

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est définie par |x|=max(x,−x), c’est-à-dire |x|=−x si x<0 et |x|=x si x≥0.

★ À maîtriser

• Sur la droite numérique, |x−y| représente la distance entre les réels x et y, tandis que |x| représente la distance entre x et 0.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $|x+y|\le |x|+|y|$, ce qui est l’inégalité triangulaire.

Compléments

📐 Formule — Pour r≥0, $|x|\le r\Longleftrightarrow -r\le x\le r$ et $|x|<r\Longleftrightarrow -r<x<r$.

💡 Astuce mémo

|x − y| comme la distance entre x et y sur une droite graduée

📖 5. Intervalles et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Une partie I de R est un intervalle si, pour tous a,b∈I et tout réel x, a≤x≤b implique x∈I.
• Densité : Un ensemble est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide de R contient au moins un élément de cet ensemble.

★ À maîtriser

• Q et R\Q sont tous deux denses dans R : tout intervalle ouvert non vide contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel.

Compléments

• Les intervalles de R comprennent l’ensemble vide, R, les segments, les intervalles non bornés, les intervalles ouverts bornés et les intervalles semi-ouverts.

💡 Astuce mémo

Q et R\Q sont tous deux denses, bien que disjoints

📖 6. Bornes, maximum et minimum

🔑 Notions clés & Définitions

• Majorant : Un réel M est un majorant d’une partie A de R si tout élément a de A vérifie a≤M.
• Minorant : Un réel m est un minorant d’une partie A de R si tout élément a de A vérifie a≥m.
• Maximum : M est le maximum de A si M est un majorant de A et si M appartient à A.
• Borne supérieure : La borne supérieure de A est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de A.

💡 Astuce mémo

Un maximum appartient à A, une borne supérieure pas nécessairement

📖 7. Complétude de R

★ À maîtriser

📌 Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.

📌 Si A possède un maximum, alors max A=sup A, mais l’existence de sup A n’implique pas l’existence d’un maximum.

• Pour A=]0,1[, on a inf A=0 et sup A=1, mais A ne possède ni minimum ni maximum.

Compléments

📌 La propriété de la borne supérieure est vraie dans R mais fausse dans Q, comme le montre l’ensemble {x∈Q | x²≤2}, qui n’a pas de borne supérieure dans Q.

💡 Astuce mémo

Partie non vide et majorée ⇒ borne supérieure dans R

📖 8. Outils de raisonnement et calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition mathématique : Une proposition mathématique est un énoncé qui possède une et une seule valeur de vérité : vrai ou faux.

★ À maîtriser

• L’ordre de priorité est:
  • parenthèses, crochets et accolades
  • exponentiations
  • multiplications et divisions
  • additions et soustractions

Compléments

📌 L’équivalence P⇔Q signifie que P⇒Q et Q⇒P, tandis que la réciproque de P⇒Q est seulement Q⇒P.

📌 Dans une expression quantifiée, l’ordre de deux quantificateurs de nature différente ne peut pas être inversé sans changer le sens de l’assertion.

💡 Astuce mémo

Parenthèses, puissances, produits, sommes

📊 Tableaux de synthèse

Maximum et borne supérieure