QCM : Les nombres réels — 24 questions

Question 1

1. Quelle inclusion entre ensembles de nombres est correcte ?

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

Explication

Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels. L’inclusion de $\mathbb{D}$ dans $\mathbb{Q}$ interdit de placer les décimaux après les rationnels.

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Question 2

2. Laquelle de ces écritures définit un nombre rationnel ?

\frac{\sqrt{2}}{1}

, avec un numérateur irrationnel et un dénominateur entier non nul

\frac{-7}{3}

, avec un numérateur et un dénominateur entiers et un dénominateur non nul

\frac{5}{0}

, avec un numérateur entier et un dénominateur nul

\frac{\pi}{4}

, avec un numérateur irrationnel et un dénominateur entier non nul

Explication

Un rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers relatifs, avec un dénominateur non nul. Une division par zéro n’est pas définie, tandis que la présence d’un nombre irrationnel au numérateur ne fournit pas une écriture rationnelle.

Answer

$$\frac{-7}{3}$$, avec un numérateur et un dénominateur entiers et un dénominateur non nul

Question 3

3. Quel nombre est rationnel en raison de son écriture décimale ?

0,272727\ldots

, qui possède une période

e

, dont l’écriture décimale est infinie non périodique

\pi

, dont les décimales ne suivent pas de période

\sqrt{3}

, dont l’écriture décimale est infinie non périodique

Explication

Une écriture décimale périodique correspond à un nombre rationnel, comme celle de $0,272727\ldots$ . Les écritures décimales infinies non périodiques caractérisent les nombres irrationnels.

Answer

$$0,272727\ldots$$, qui possède une période

Question 4

4. Quelle égalité applique correctement la distributivité de la multiplication sur l’addition ?

(3+4)+5=3+(4+5)

3\times4=4\times3

(3\times4)\times5=3\times(4\times5)

3(4+5)=3\times4+3\times5

Explication

La distributivité développe un produit portant sur une somme en additionnant les produits correspondants. Les autres égalités illustrent respectivement l’associativité de l’addition, la commutativité de la multiplication et son associativité.

Answer

$$3(4+5)=3\times4+3\times5$$

Question 5

5. Si $ab=0$ pour deux réels $a$ et $b$ , quelle conclusion est nécessairement valable ?

a+b=0

a=0

ou

b=0

a=b

a=1

ou

b=1

Explication

Dans $\mathbb{R}$ , un produit nul implique qu’au moins l’un de ses facteurs est nul, et la réciproque est également vraie. L’égalité du produit à zéro ne permet pas de conclure que les deux facteurs sont égaux ou que leur somme est nulle.

Answer

$$a=0$$ ou $$b=0$$

Question 6

6. Que devient l’inégalité $2<5$ après multiplication par $3$ ?

-6<-15

, car le facteur positif change les signes

6>15

, car toute multiplication inverse le sens

2<15

, car seul le membre droit est multiplié

6<15

, car un facteur positif conserve le sens

Explication

La multiplication d’une inégalité par un réel positif conserve son sens, donc $2<5$ devient $6<15$ . L’inversion du sens se produit lors d’une multiplication par un réel négatif.

Answer

$$6<15$$, car un facteur positif conserve le sens

Question 7

7. Si $x\le y$ et $z\le0$ , quelle relation obtient-on après multiplication par $z$ ?

xz\ge yz

, car le facteur est négatif ou nul

xz=yz

, car les deux membres sont multipliés

x+z\ge y+z

, car l’addition inverse le sens

xz\le yz

, car toute multiplication conserve le sens

Explication

La multiplication par un réel négatif inverse le sens d’une inégalité, et le cas nul donne l’égalité, d’où $xz\ge yz$ . En revanche, l’addition d’un même réel conserve le sens de l’inégalité.

Answer

$$xz\ge yz$$, car le facteur est négatif ou nul

Question 8

8. Quelle affirmation traduit la propriété d’Archimède pour un réel $x$ donné ?

Il existe un réel

n

tel que

n>x

.

Il existe un entier naturel

n

tel que

n>x

.

Il existe un entier naturel

n

tel que

n=x

.

Tout entier naturel

n

vérifie

n>x

.

Explication

La propriété d’Archimède affirme que, pour tout réel $x$ , on peut trouver un entier naturel qui lui est strictement supérieur. L’égalité avec $x$ n’est pas exigée, et la propriété ne porte pas sur tous les entiers naturels.

Answer

Il existe un entier naturel $$n$$ tel que $$n>x$$.

Question 9

9. Quelle condition caractérise la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

E(x)\le x<E(x)+1

E(x)<x\le E(x)+1

x\le E(x)<x+1

E(x)-1<x\le E(x)

Explication

La partie entière est l’unique entier relatif situé à gauche ou au niveau de $x$ , avec un écart inférieur à un. La condition proposée dans la deuxième réponse exclut notamment les entiers, tandis que les deux dernières placent l’entier du mauvais côté de $x$ .

Answer

$$E(x)\le x<E(x)+1$$

Question 10

10. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel négatif $x$ ?

|x|=x

|x|=0

|x|=\frac{1}{x}

|x|=-x

Explication

Lorsque $x<0$ , la définition impose $|x|=-x$ afin d’obtenir une valeur positive ou nulle. L’égalité $|x|=x$ convient lorsque $x\ge 0$ , mais pas pour un réel négatif.

Answer

$$|x|=-x$$

Question 11

11. Sur une droite numérique, que représente l’expression $|x-y|$ ?

La distance entre

x

et

y

La différence orientée entre

x

et

y

La distance entre

x

et zéro

La somme des distances de

x

et

y

à zéro

Explication

La valeur $|x-y|$ mesure l’écart entre les positions de $x$ et $y$ sur la droite numérique. L’expression $|x|$ correspond, elle, à la distance entre $x$ et zéro.

Answer

La distance entre $$x$$ et $$y$$

Question 12

12. Quelle inégalité est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?

|x+y|<|x|+|y|

|x+y|\ge |x|+|y|

|x+y|=|x|-|y|

|x+y|\le |x|+|y|

Explication

L’inégalité triangulaire affirme que la valeur absolue d’une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues. L’égalité n’est pas garantie, car elle dépend des signes et des valeurs de $x$ et $y$ .

Answer

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

Question 13

13. Quelle propriété caractérise une partie $I$ de $\mathbb{R}$ comme un intervalle ?

Elle contient tout réel situé entre deux de ses éléments

Elle contient au moins un entier entre deux de ses éléments

Elle contient uniquement des réels positifs entre deux de ses éléments

Elle possède nécessairement deux extrémités qui lui appartiennent

Explication

Une partie est un intervalle lorsqu’elle contient tout réel $x$ tel que $a\le x\le b$ dès que $a$ et $b$ lui appartiennent. Cette propriété de remplissage distingue un intervalle d’une partie quelconque.

Answer

Elle contient tout réel situé entre deux de ses éléments

Question 14

14. Quand dit-on qu’un ensemble est dense dans $\mathbb{R}$ ?

Tout intervalle ouvert non vide contient au moins un élément de cet ensemble

L’ensemble contient un élément entre chaque paire d’entiers consécutifs

Tout intervalle fermé contient exactement un élément de cet ensemble

L’ensemble possède une borne supérieure et une borne inférieure

Explication

La densité signifie que chaque intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ rencontre l’ensemble considéré. Elle ne demande ni un nombre précis d’éléments ni l’existence de bornes.

Answer

Tout intervalle ouvert non vide contient au moins un élément de cet ensemble

Question 15

15. Quelle affirmation décrit correctement la densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ?

Tout intervalle ouvert non vide contient des rationnels mais pas d’irrationnels

Les irrationnels sont denses, tandis que les rationnels forment un intervalle

Les rationnels sont denses, tandis que les irrationnels sont isolés

Tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel et un irrationnel

Explication

Les rationnels et les irrationnels sont tous deux denses dans $\mathbb{R}$ : chaque intervalle ouvert non vide contient au moins un élément de chacune de ces catégories. La présence de rationnels dans un intervalle n’exclut donc pas celle d’irrationnels.

Answer

Tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel et un irrationnel

Question 16

16. Quelle condition définit un majorant $M$ d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

Le réel

M

est nécessairement le plus grand élément de

A

Tout élément

a\in A

vérifie

a\ge M

Tout élément

a\in A

vérifie

a\le M

Le réel

M

appartient nécessairement à

A

Explication

Un majorant est un réel situé au-dessus ou au niveau de chaque élément de $A$ . Il peut être extérieur à $A$ , contrairement au maximum, qui doit appartenir à l’ensemble.

Answer

Tout élément $$a\in A$$ vérifie $$a\le M$$

Question 17

17. Quelle condition définit un minorant $m$ d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

Tout élément

a\in A

vérifie

a\le m

Le réel

m

appartient nécessairement à

A

Le réel

m

est nécessairement le plus petit élément de

A

Tout élément

a\in A

vérifie

a\ge m

Explication

Un minorant est un réel qui est inférieur ou égal à chaque élément de $A$ . Comme pour un majorant, il n’est pas requis qu’il appartienne à la partie considérée.

Answer

Tout élément $$a\in A$$ vérifie $$a\ge m$$

Question 18

18. Quelle propriété supplémentaire transforme un majorant $M$ de $A$ en maximum de $A$ ?

M

est un majorant d’une autre partie de

\mathbb{R}

M

appartient à

A

M

est extérieur à

A

M

est inférieur à tous les éléments de

A

Explication

Le maximum combine deux propriétés : être un majorant et appartenir à l’ensemble. Un majorant extérieur à $A$ ne peut donc pas être le maximum de $A$ .

Answer

$$M$$ appartient à $$A$$

Question 19

19. Comment caractériser la borne supérieure d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

C’est un élément de

A

inférieur à tous les autres éléments

C’est le plus grand élément appartenant nécessairement à

A

C’est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de

A

C’est le plus grand élément de l’ensemble des minorants de

A

Explication

La borne supérieure est le plus petit des réels qui majorent $A$ . Elle peut ne pas appartenir à $A$ , alors que le maximum doit être un élément de $A$ .

Answer

C’est le plus petit élément de l’ensemble des majorants de $$A$$

Question 20

20. Quelle propriété caractérise la complétude de $\mathbb{R}$ pour les ensembles ordonnés non vides ?

Toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée possède une borne inférieure.

Toute partie non vide possède à la fois un maximum et un minimum dans

\mathbb{R}

.

Toute partie minorée possède une borne supérieure, tandis qu’une partie majorée possède une borne inférieure.

Toute partie majorée possède un maximum, même lorsqu’elle est vide ou dépourvue de borne inférieure.

Explication

La complétude de $\mathbb{R}$ garantit l’existence d’une borne supérieure pour toute partie non vide majorée et d’une borne inférieure pour toute partie non vide minorée. Elle ne garantit pas que ces bornes appartiennent à la partie ni qu’elles soient des extremums atteints.

Answer

Toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée possède une borne inférieure.

Question 21

21. Quelle affirmation distingue correctement le maximum d’une partie et sa borne supérieure ?

Une partie possède un maximum dès qu’elle est non vide et majorée, même si sa borne supérieure n’est pas atteinte.

Le maximum d’une partie est une borne qui peut être extérieure à celle-ci, contrairement à toute borne supérieure.

Si une partie possède une borne supérieure, cette borne est nécessairement son maximum, car elle domine tous ses éléments.

Si une partie possède un maximum, celui-ci est sa borne supérieure, mais une borne supérieure peut ne pas appartenir à la partie.

Explication

Un maximum appartient à la partie et domine tous ses éléments, donc il coïncide avec la borne supérieure lorsqu’il existe. En revanche, une borne supérieure peut être une limite extérieure à la partie et ne pas être atteinte.

Answer

Si une partie possède un maximum, celui-ci est sa borne supérieure, mais une borne supérieure peut ne pas appartenir à la partie.

Question 22

22. Pour l’ensemble $A=]0,1[$ , quelles sont ses bornes extrêmes et quels extremums possède-t-il ?

On a

\inf A=0

et

\sup A=1

, mais

A

n’a ni minimum ni maximum.

On a

\min A=0

et

\max A=1

, car les deux extrémités bornent l’intervalle.

On a

\inf A=0

et

\sup A=1

, et ces deux nombres appartiennent à

A

comme ses extremums.

On a

\inf A=1

et

\sup A=0

, puisque l’ordre des extrémités est inversé dans un intervalle ouvert.

Explication

Les nombres $0$ et $1$ sont respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de $]0,1[$ , sans appartenir à l’ensemble. Il n’y a donc ni minimum ni maximum, contrairement à l’intervalle fermé $[0,1]$ .

Answer

On a $$\inf A=0$$ et $$\sup A=1$$, mais $$A$$ n’a ni minimum ni maximum.

Question 23

23. Quelle valeur obtient-on pour $3+2\times(5-1)^2$ en respectant l’ordre des opérations ?

49

23

31

35

Explication

Il faut d’abord calculer la parenthèse, puis l’exponentiation, la multiplication et enfin l’addition : $3+2\times(5-1)^2=3+2\times16=35$ . La valeur $31$ provient notamment d’un calcul incorrect de l’exponentiation ou de la multiplication.

Answer

$$P\Leftrightarrow Q$$ signifie que $$P\Rightarrow Q$$ et $$Q\Rightarrow P$$ sont toutes deux vraies.

Question 24

24. Quelle relation logique décrit correctement l’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ ?

P\Leftrightarrow Q

signifie que seule l’implication

P\Rightarrow Q

est vraie.

P\Leftrightarrow Q

signifie que

P

et

Q

ont des contenus différents mais des valeurs de vérité opposées.

P\Leftrightarrow Q

signifie que

P\Rightarrow Q

et

Q\Rightarrow P

sont toutes deux vraies.

P\Leftrightarrow Q

signifie que la réciproque de

P\Rightarrow Q

remplace l’implication initiale sans l’ajouter.

Explication

Une équivalence regroupe les deux implications réciproques, $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ . La réciproque seule correspond à $Q\Rightarrow P$ et ne constitue donc pas, à elle seule, une équivalence.

QCM : Les nombres réels — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle inclusion entre ensembles de nombres est correcte ?

2. Laquelle de ces écritures définit un nombre rationnel ?

3. Quel nombre est rationnel en raison de son écriture décimale ?

4. Quelle égalité applique correctement la distributivité de la multiplication sur l’addition ?

5. Si $ab=0$ pour deux réels $a$ et $b$ , quelle conclusion est nécessairement valable ?

6. Que devient l’inégalité $2<5$ après multiplication par $3$ ?

7. Si $x\le y$ et $z\le0$ , quelle relation obtient-on après multiplication par $z$ ?

8. Quelle affirmation traduit la propriété d’Archimède pour un réel $x$ donné ?

9. Quelle condition caractérise la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

10. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel négatif $x$ ?

11. Sur une droite numérique, que représente l’expression $|x-y|$ ?

12. Quelle inégalité est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?

13. Quelle propriété caractérise une partie $I$ de $\mathbb{R}$ comme un intervalle ?

14. Quand dit-on qu’un ensemble est dense dans $\mathbb{R}$ ?

15. Quelle affirmation décrit correctement la densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ?

16. Quelle condition définit un majorant $M$ d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

17. Quelle condition définit un minorant $m$ d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

18. Quelle propriété supplémentaire transforme un majorant $M$ de $A$ en maximum de $A$ ?

19. Comment caractériser la borne supérieure d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

20. Quelle propriété caractérise la complétude de $\mathbb{R}$ pour les ensembles ordonnés non vides ?

21. Quelle affirmation distingue correctement le maximum d’une partie et sa borne supérieure ?

22. Pour l’ensemble $A=]0,1[$ , quelles sont ses bornes extrêmes et quels extremums possède-t-il ?

23. Quelle valeur obtient-on pour $3+2\times(5-1)^2$ en respectant l’ordre des opérations ?

24. Quelle relation logique décrit correctement l’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ ?

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QCM : Les nombres réels — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle inclusion entre ensembles de nombres est correcte ?

2. Laquelle de ces écritures définit un nombre rationnel ?

3. Quel nombre est rationnel en raison de son écriture décimale ?

4. Quelle égalité applique correctement la distributivité de la multiplication sur l’addition ?

5. Si ab=0ab=0ab=0 pour deux réels aaa et bbb, quelle conclusion est nécessairement valable ?

6. Que devient l’inégalité 2<52<52<5 après multiplication par 333 ?

7. Si x≤yx\le yx≤y et z≤0z\le0z≤0, quelle relation obtient-on après multiplication par zzz ?

8. Quelle affirmation traduit la propriété d’Archimède pour un réel xxx donné ?

9. Quelle condition caractérise la partie entière E(x)E(x)E(x) d’un réel xxx ?

10. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel négatif xxx ?

11. Sur une droite numérique, que représente l’expression ∣x−y∣|x-y|∣x−y∣ ?

12. Quelle inégalité est vraie pour tous réels xxx et yyy ?

13. Quelle propriété caractérise une partie III de R\mathbb{R}R comme un intervalle ?

14. Quand dit-on qu’un ensemble est dense dans R\mathbb{R}R ?

15. Quelle affirmation décrit correctement la densité de Q\mathbb{Q}Q et de R∖Q\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}R∖Q ?

16. Quelle condition définit un majorant MMM d’une partie AAA de R\mathbb{R}R ?

17. Quelle condition définit un minorant mmm d’une partie AAA de R\mathbb{R}R ?

18. Quelle propriété supplémentaire transforme un majorant MMM de AAA en maximum de AAA ?

19. Comment caractériser la borne supérieure d’une partie AAA de R\mathbb{R}R ?

20. Quelle propriété caractérise la complétude de R\mathbb{R}R pour les ensembles ordonnés non vides ?

21. Quelle affirmation distingue correctement le maximum d’une partie et sa borne supérieure ?

22. Pour l’ensemble A=]0,1[A=]0,1[A=]0,1[, quelles sont ses bornes extrêmes et quels extremums possède-t-il ?

23. Quelle valeur obtient-on pour 3+2×(5−1)23+2\times(5-1)^23+2×(5−1)2 en respectant l’ordre des opérations ?

24. Quelle relation logique décrit correctement l’équivalence entre deux propositions PPP et QQQ ?

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5. Si $ab=0$ pour deux réels $a$ et $b$ , quelle conclusion est nécessairement valable ?

6. Que devient l’inégalité $2<5$ après multiplication par $3$ ?

7. Si $x\le y$ et $z\le0$ , quelle relation obtient-on après multiplication par $z$ ?

8. Quelle affirmation traduit la propriété d’Archimède pour un réel $x$ donné ?

9. Quelle condition caractérise la partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ ?

10. Quelle expression donne correctement la valeur absolue d’un réel négatif $x$ ?

11. Sur une droite numérique, que représente l’expression $|x-y|$ ?

12. Quelle inégalité est vraie pour tous réels $x$ et $y$ ?

13. Quelle propriété caractérise une partie $I$ de $\mathbb{R}$ comme un intervalle ?

14. Quand dit-on qu’un ensemble est dense dans $\mathbb{R}$ ?

15. Quelle affirmation décrit correctement la densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ?

16. Quelle condition définit un majorant $M$ d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

17. Quelle condition définit un minorant $m$ d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

18. Quelle propriété supplémentaire transforme un majorant $M$ de $A$ en maximum de $A$ ?

19. Comment caractériser la borne supérieure d’une partie $A$ de $\mathbb{R}$ ?

20. Quelle propriété caractérise la complétude de $\mathbb{R}$ pour les ensembles ordonnés non vides ?

22. Pour l’ensemble $A=]0,1[$ , quelles sont ses bornes extrêmes et quels extremums possède-t-il ?

23. Quelle valeur obtient-on pour $3+2\times(5-1)^2$ en respectant l’ordre des opérations ?

24. Quelle relation logique décrit correctement l’équivalence entre deux propositions $P$ et $Q$ ?