Fiche de révision : Les propriétés de l'homothétie

📋 Plan du Cours

1. Effet du rapport d’homothétie sur la taille
2. Agrandissement et réduction selon k
3. Sens des figures selon le signe de k
4. Définition de l’homothétie centre et rapport
5. Construction d’une image par homothétie de rapport négatif
6. Application : homothétie de rapport 0,9
7. Application : homothétie de rapport -2

📖 1. Effet du rapport d’homothétie sur la taille

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement : Un agrandissement est une figure obtenue à partir d’une autre avec des longueurs multipliées par un facteur $k$ de valeur absolue supérieure à 1.
• Réduction : Une réduction est une figure obtenue à partir d’une autre avec des longueurs multipliées par un facteur $k$ de valeur absolue comprise entre 0 et 1.
• Rapport d’homothétie : Le rapport d’homothétie $k$ est le nombre qui fixe le facteur de proportionnalité entre les longueurs de la figure et celles de son image.

📝 Points essentiels

• Si $k>1$ ou $k<-1$, l’image est un agrandissement de la figure initiale.
• Si $-1<k<0$ ou $0<k<1$, l’image est une réduction de la figure initiale.
• Le cas $k=0$ n’est pas utilisé pour définir une homothétie dans le cours (rapport non nul).
• Le signe de $k$ ne change pas la taille (c’est la valeur absolue qui pilote agrandissement/réduction), mais il change le sens.
• Les longueurs de l’image sont proportionnelles à celles de l’original avec le même facteur $k$.
• Les points correspondants $A$ et $A'$ vérifient une relation de proportionnalité via $k$ (exprimée par la multiplication des distances au centre).

💡 Astuce mémo

Taille : regarde $|k|$ ; si $|k|>1$ agrandit, si $0<|k|<1$ réduit.

📖 2. Agrandissement et réduction selon k

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue de k : La valeur absolue $|k|$ mesure l’ampleur du facteur sans tenir compte du signe, donc elle pilote agrandissement ou réduction.
• Cas $k>1$ : Le cas $k>1$ correspond à un agrandissement car le facteur de proportionnalité est supérieur à 1.
• **Cas $0<k<1** : Le cas$0<k<1$ correspond à une réduction car le facteur de proportionnalité est compris entre 0 et 1.

📝 Points essentiels

• Agrandissement pour $k>1$ : les distances au centre sont multipliées par un facteur supérieur à 1.
• Agrandissement pour $k<-1$ : même agrandissement en taille, mais le sens sera inversé (voir section sur le signe).
• Réduction pour $0<k<1$ : les distances au centre sont multipliées par un facteur entre 0 et 1.
• Réduction pour $-1<k<0$ : même réduction en taille, mais le sens sera inversé.
• Le cours regroupe les conditions de taille en deux intervalles : $k>1$ ou $k<-1$ d’un côté, $-1<k<0$ ou $0<k<1$ de l’autre.
• Les conditions de taille ne couvrent pas $k=1$ (taille identique) ni $k=-1$ (taille identique mais sens inversé), car le cours traite surtout les cas d’agrandissement/réduction.

💡 Astuce mémo

Intervalles : $k>1$ ou $k<-1$ → grand ; $-1<k<0$ ou $0<k<1$ → petit.

📖 3. Sens des figures selon le signe de k

🔑 Notions clés & Définitions

• Même sens : Deux figures sont dans le même sens par rapport au centre O lorsque le rapport $k$ est positif.
• Sens inversé : Deux figures ne sont pas dans le même sens par rapport au centre O lorsque le rapport $k$ est négatif.
• Point O : Le point O est le centre de l’homothétie, par rapport auquel on compare le sens des figures et où l’on mesure les distances.

📝 Points essentiels

• Si $k>0$, les figures $ABC$ et $A'B'C'$ sont dans le même sens par rapport au point O.
• Si $k<0$, les figures $ABC$ et $A'B'C'$ ne sont pas dans le même sens par rapport au point O.
• Le signe de $k$ agit sur l’orientation (sens) autour du centre, pas sur la proportionnalité des longueurs.
• Pour construire l’image avec $k<0$, on reporte la distance de l’autre côté du centre O.
• Dans l’exemple, $k=-0,5$ entraîne un report de la distance à droite de O alors que le point initial est à gauche de O.
• Le sens dépend uniquement du signe de $k$ (positif ou négatif) dans les conditions données.

💡 Astuce mémo

Signe : $k+$ → même sens ; $k-$ → sens inversé (on “change de côté” autour de O).

📖 4. Définition de l’homothétie centre et rapport

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement ou réduction : On dit qu’une figure est un agrandissement ou une réduction d’une autre quand elles ont la même forme et des longueurs proportionnelles.
• Centre d’homothétie : Le centre d’homothétie est le point fixe noté O à partir duquel on définit la transformation.
• Rapport de l’homothétie : Le rapport d’homothétie est un nombre non nul $k$ (positif ou négatif) qui fixe le facteur de proportionnalité.
• Homothétie : Une homothétie est une transformation définie par un centre et un rapport qui envoie chaque point sur un point image aligné avec le centre.

📝 Points essentiels

• Deux figures ont la même forme et des longueurs proportionnelles : l’une est un agrandissement ou une réduction de l’autre.
• Pour définir une homothétie, il suffit de choisir un point appelé centre.
• Pour définir une homothétie, il faut aussi un nombre non nul $k$ appelé rapport.
• Le rapport $k$ peut être positif ou négatif selon l’effet sur le sens.
• Le cours utilise des images notées avec des apostrophes, par exemple $A'$ image de $A$.
• Les constructions s’appuient sur la mesure des distances au centre puis leur multiplication par $k$.

💡 Astuce mémo

Définition express : Centre (O) + rapport non nul ($k$).

📖 5. Construction d’une image par homothétie de rapport négatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Construction par report : La construction par report consiste à mesurer une distance au centre, la multiplier par $k$, puis reporter cette nouvelle distance sur la droite correspondante.
• Rapport négatif : Un rapport négatif $k<0$ signifie que l’image se place de l’autre côté du centre O par rapport au point initial.
• Droite (AO) : La droite passant par le centre O et le point A sert de support pour placer le point image $A'$.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, le rapport vaut $-0,5$ et on construit l’image d’un carré par homothétie de centre O.
• Pour placer $A'$, on mesure d’abord $OA$ puis on calcule $OA'$ en multipliant $OA$ par $0,5$ (valeur numérique donnée).
• Dans l’exemple, $OA=5$ et $OA'=2,5$.
• On trace la droite $(AO)$ pour savoir sur quel alignement placer $A'$.
• Comme $k$ est négatif, le cours indique de reporter la distance calculée de l’autre côté du centre O.
• Dans l’exemple, $A$ est à gauche de O et $A'$ est placé à droite de O après le report de $2,5$ cm.

💡 Astuce mémo

Rapport négatif : même distance calculée, mais côté opposé de O sur la droite (AO).

📖 6. Application : homothétie de rapport 0,9

🔑 Notions clés & Définitions

• Rapport 0,9 : Un rapport $k=0,9$ est un facteur positif inférieur à 1 qui produit une réduction de la figure.
• Image d’un quadrilatère : L’image d’un quadrilatère $ABCD$ par homothétie est le quadrilatère $A''B''C''D''$ obtenu par construction des points images.
• Réduction : Une réduction correspond à des longueurs multipliées par un facteur de valeur absolue comprise entre 0 et 1.

📝 Points essentiels

• On demande de tracer $A''B''C''D''$, image de $ABCD$ par homothétie de centre O et de rapport $0,9$.
• Comme $0<0,9<1$, l’image est une réduction de $ABCD$ en taille.
• Comme $0,9>0$, les figures sont dans le même sens par rapport au point O.
• La construction utilise le même principe : mesurer une distance au centre puis multiplier par $0,9$ pour obtenir la distance correspondante.
• Les points $A''$, $B''$, $C''$, $D''$ sont placés sur les droites reliant O aux points initiaux correspondants.
• Le cours formule l’application comme un exercice de tracé sur la figure de l’exemple C.

💡 Astuce mémo

$0,9$ : réduction et même sens (positif, mais plus petit que 1).

📖 7. Application : homothétie de rapport -2

🔑 Notions clés & Définitions

• Rapport -2 : Un rapport $k=-2$ est un facteur négatif dont la valeur absolue dépasse 1, donc il agrandit et inverse le sens.
• Image d’un quadrilatère : L’image d’un quadrilatère $ABCD$ par homothétie est le quadrilatère $A'''B'''C'''D''$ obtenu par construction des points images.
• Agrandissement : Un agrandissement correspond à des longueurs multipliées par un facteur de valeur absolue supérieure à 1.

📝 Points essentiels

• On demande de tracer $A'''B'''C'''D''$, image de $ABCD$ par homothétie de centre O et de rapport $-2$.
• Comme $-2<-1$, l’image est un agrandissement de $ABCD$ en taille.
• Comme $-2<0$, l’image n’est pas dans le même sens que la figure initiale par rapport à O.
• La construction doit placer chaque point image de l’autre côté du centre O par rapport au point initial.
• Le facteur $-2$ implique que les distances au centre sont multipliées par 2 en valeur, puis inversées de côté.
• L’exercice demande un tracé à partir de la figure de l’exemple C.

💡 Astuce mémo

$-2$ : agrandit (|k|>1) et inverse le sens (k négatif).

📊 Tableaux de synthèse

Taille et sens selon k

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre taille et sens : la taille dépend de $|k|$, tandis que le sens dépend du signe de $k$.
2. Oublier que pour $k<0$ on place l’image de l’autre côté du centre O, même si la distance calculée est positive.
3. Prendre $k=0$ comme cas possible : le cours impose un rapport non nul pour définir une homothétie.
4. Croire que $k$ négatif change aussi la proportionnalité : il change le sens, mais les longueurs restent proportionnelles via le facteur $k$.
5. Mélanger les notations des images ($A'$, $A''$, $A'''$) entre les applications $0,9$ et $-2$.
6. Penser que la construction se fait sans alignement : le cours trace les droites $(AO)$, $(BO)$, etc. pour placer les images.

✅ Checklist Examen

1. Savoir décider agrandissement ou réduction à partir de l’intervalle de $k$ (avec les conditions données).
2. Savoir déterminer le sens des figures par rapport à O selon le signe de $k$ (même sens si $k>0$, sens inversé si $k<0$).
3. Connaître la définition : homothétie déterminée par un centre et un rapport non nul $k$ (positif ou négatif).
4. Savoir décrire la méthode de construction : mesurer une distance au centre, multiplier par $k$ (ou sa valeur numérique), tracer la droite avec le point initial et placer le point image du bon côté.
5. Être capable d’appliquer $k=0,9$ : réduction et même sens, et tracer $A''B''C''D''$.
6. Être capable d’appliquer $k=-2$ : agrandissement et sens inversé, et tracer $A'''B'''C'''D''$.