Fiche de révision : Les suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Notion et rang d’une suite
2. Formule explicite d’une suite
3. Relation de récurrence
4. Représentation graphique des termes
5. Représentation graphique des suites
6. Variation et monotonie des suites
7. Étude par une fonction associée
8. Convergence et divergence des suites

📖 1. Notion et rang d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Liste ordonnée de nombres réels, où chaque entier naturel n associe un nombre réel noté u_n.

★ À maîtriser

• Le rang d’un terme est l’entier naturel qui indexe ce terme dans la suite, et le terme de rang n se note u_n.

Compléments

• La suite des nombres impairs rangés dans l’ordre croissant commence par u_0=1, u_1=3, u_2=5 et u_3=7.

📖 2. Formule explicite d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Formule qui exprime chaque terme u_n directement en fonction de son rang n, indépendamment des termes précédents.

★ À maîtriser

📐 Formule - La suite des nombres pairs définie à partir de zéro vérifie $u_n=2n$.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=2n$, le terme de rang 100 vaut 200.

📖 3. Relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Relation qui définit un terme de la suite à partir d’un ou de plusieurs termes précédents.

★ À maîtriser

📐 Formule - La suite d’exemple est définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=3u_n$.

Compléments

• Pour calculer les premiers termes de cette suite, on part de u_0=5 puis on multiplie chaque terme par 3 pour obtenir le suivant.

📌 Avec une relation de récurrence, calculer un terme éloigné peut nécessiter de remonter successivement jusqu’au terme initial, contrairement à une formule explicite.

📖 4. Représentation graphique des termes

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans l’exemple étudié, les termes sont définis par $u_n=\frac{n^2}{2}-3$.

• Pour représenter graphiquement les premiers termes d’une suite, on calcule leurs valeurs puis on place les points associant chaque rang à la valeur correspondante.

Compléments

• Pour la suite $u_n=\frac{n^2}{2}-3$, on obtient u_0=-3 et u_1=-2,5.

💡 Astuce mémo

Un nuage de points dont chaque point associe le rang à la valeur du terme.

📖 5. Représentation graphique des suites

📝 Points essentiels

• Pour représenter une suite, on place les points de coordonnées $\left(n,u_n\right)$, où le rang est l’abscisse et la valeur du terme l’ordonnée, puis on obtient un nuage de points.

📌 Les points représentant les termes d’une suite ne sont jamais reliés, sauf si l’exercice le demande explicitement.

📖 6. Variation et monotonie des suites

📝 Points essentiels

📌 Une suite est croissante à partir du rang p si, pour tout entier n supérieur ou égal à p, $u_{n+1}\geq u_n$.

📌 Une suite est décroissante à partir du rang p si, pour tout entier n supérieur ou égal à p, $u_{n+1}\leq u_n$.

• Pour étudier la monotonie d’une suite, on calcule $u_{n+1}-u_n$ et on cherche à montrer que cette différence est positive pour établir la croissance ou négative pour établir la décroissance.

💡 Astuce mémo

Différence positive : le terme monte ; différence négative : il descend.

📖 7. Étude par une fonction associée

📝 Points essentiels

📌 Si une suite vérifie $u_n=f(n)$ et que la fonction associée f est croissante ou décroissante à partir d’un certain rang, alors la suite possède la même monotonie à partir du premier rang entier correspondant.

💡 Astuce mémo

La courbe passe par les points de la suite : sa montée entraîne celle des termes.

📖 8. Convergence et divergence des suites

★ À maîtriser

📌 Une suite est convergente si ses termes se rapprochent d’une limite finie lorsque n tend vers plus l’infini.

📌 Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente ; elle peut tendre vers plus l’infini ou ne se rapprocher d’aucune limite unique.

Compléments

• La suite définie par $u_n=\frac{2n+1}{n}$ se rapproche de 2 lorsque n devient grand, donc sa limite est 2.

• La suite définie par $v_n=n^2+1$ tend vers plus l’infini lorsque n tend vers plus l’infini.

• La suite définie par $w_0=2$ et $w_{n+1}=(-1)^n w_n$ alterne entre 2 et −2 et diverge sans tendre vers plus ou moins l’infini.

💡 Astuce mémo

Converger, c’est se rapprocher d’une limite ; diverger, c’est ne pas converger.