QCM : Les suites numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans une suite numérique, quel rôle joue chaque entier naturel nn ?

Il indique que chaque terme est un nombre entier.
Il classe les termes sans leur associer de valeur.
Il associe à chaque terme un rang réel.
Il indexe un terme réel de la liste ordonnée.

Il indexe un terme réel de la liste ordonnée.

Explication

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels dans laquelle chaque entier naturel nn est associé à un terme unu_n. La réponse parlant d’un ensemble non ordonné confond liste et ensemble, celle limitant les termes aux entiers confond réels et entiers, et celle associant un rang réel inverse les rôles.

2. Dans une suite, on sait que u5=12u_5=12. Quelle est la valeur du rang du terme désigné par u5u_5 ?

Le rang est u5u_5.
Le rang est 1717.
Le rang est 1212.
Le rang est 55.

Le rang est $$5$$.

Explication

Le rang est l’entier naturel qui indexe le terme : pour u5u_5, le rang est donc 55. 1212 est la valeur du terme, u5u_5 est sa notation et 1717 résulte de l’addition du rang et de la valeur.

3. Une suite est donnée par une formule qui permet de calculer directement chaque terme à partir de son rang, sans calculer les termes antérieurs. De quel type de formule s’agit-il ?

D’une formule explicite.
D’une formule de récurrence.
D’une liste ordonnée de termes.
D’une relation entre deux rangs successifs.

D’une formule explicite.

Explication

Une formule explicite donne directement unu_n en fonction du rang nn, sans dépendre des termes précédents. Une récurrence utilise un terme antérieur, une liste énumère des valeurs et une relation entre rangs ne donne pas directement le terme recherché.

4. Une suite de nombres pairs définie à partir de zéro suit la règle un=2nu_n=2n. Quelle valeur obtient-on pour le terme de rang 77 ?

1616
1414
1212
99

$$14$$

Explication

La règle donne directement u7=2×7=14u_7=2\times 7=14. 7+2=97+2=9 correspond à une addition, 1212 oublie le facteur deux et 1616 applique le double au rang suivant.

5. Qu’est-ce qu’une relation de récurrence pour une suite ?

Une relation qui définit un terme à partir d’un ou de plusieurs termes précédents.
Une formule qui donne chaque terme directement à partir de son rang.
Une propriété qui compare les termes successifs pour établir leur monotonie.
Une règle qui associe à chaque rang la valeur d’une fonction associée.

Une relation qui définit un terme à partir d’un ou de plusieurs termes précédents.

Explication

Une relation de récurrence permet de déterminer un terme en utilisant un ou plusieurs termes antérieurs. Une formule explicite, contrairement à une récurrence, exprime directement chaque terme en fonction de son rang.

6. Pour la suite définie par un=n22−3u_n=\frac{n^2}{2}-3, quelle est la valeur du terme de rang 1 ?

−2,75-2,75
−2-2
−2,5-2,5
−1,5-1,5

$$-2,5$$

Explication

En remplaçant nn par 1, on obtient u1=12−3=−2,5u_1=\frac{1}{2}-3=-2,5. La valeur −3-3 correspond au terme de rang 0, et non au terme de rang 1.

7. Quel est le rôle de l’abscisse dans la représentation graphique des termes d’une suite ?

Elle indique le rang du terme représenté.
Elle représente la limite vers laquelle la suite converge.
Elle indique la valeur du terme représenté.
Elle donne la différence entre deux termes consécutifs.

Elle indique le rang du terme représenté.

Explication

L’abscisse d’un point représentant une suite correspond au rang n, tandis que son ordonnée donne la valeur u_n. Confondre l’abscisse avec la valeur du terme revient à intervertir le rang et l’ordonnée.

8. En quoi la définition d’une suite croissante à partir du rang pp diffère-t-elle de celle d’une suite décroissante à partir de ce rang ?

La première impose un+1≥unu_{n+1}\geq u_n, tandis que la seconde impose un+1≤unu_{n+1}\leq u_n pour tout n≥pn\geq p.
La première exige un+1>unu_{n+1}>u_n, tandis que la seconde exige un+1<unu_{n+1}<u_n pour tout n≥pn\geq p.
La première impose un≥0u_n\geq 0, tandis que la seconde impose un≤0u_n\leq 0 pour tout n≥pn\geq p.
La première compare chaque terme à upu_p, tandis que la seconde compare chaque terme à u0u_0 pour tout n≥pn\geq p.

La première impose $$u_{n+1}\geq u_n$$, tandis que la seconde impose $$u_{n+1}\leq u_n$$ pour tout $$n\geq p$$.

Explication

La croissance se caractérise par des termes successifs qui ne diminuent pas, et la décroissance par des termes successifs qui n’augmentent pas, à partir du rang considéré. La comparaison stricte proposée dans une autre réponse exclut à tort les suites qui comportent des termes successifs égaux.

9. Si une suite vérifie un=f(n)u_n=f(n) et que ff est croissante à partir d’un certain rang entier, quelle conséquence cela a-t-il sur la suite ?

La suite est croissante à partir de ce rang.
La suite converge vers la valeur de la fonction à ce rang.
La suite alterne entre des termes croissants et décroissants.
La suite est décroissante à partir de ce rang.

La suite est croissante à partir de ce rang.

Explication

Les termes de la suite sont les valeurs de ff aux rangs entiers; la croissance de la fonction entraîne donc celle de la suite à partir du rang correspondant. Une fonction décroissante entraînerait plutôt une suite décroissante.

10. Pour déterminer si la suite définie par un=2n+1nu_n=\frac{2n+1}{n} converge, quelle démarche et quelle conclusion sont appropriées lorsque nn devient grand ?

Vérifier que les termes augmentent sans borne et conclure qu’ils tendent vers l’infini.
Constater que les termes alternent entre deux valeurs et conclure qu’ils divergent.
Observer que les termes se rapprochent de 22, qui est une limite finie.
Montrer que les termes se rapprochent de zéro et conclure que la suite converge vers zéro.

Observer que les termes se rapprochent de $$2$$, qui est une limite finie.

Explication

On peut écrire un=2+1nu_n=2+\frac{1}{n} : lorsque nn grandit, le terme 1n\frac{1}{n} se rapproche de zéro, donc la suite se rapproche de la limite finie 22. La croissance sans borne ne convient pas ici, puisque les termes se rapprochent de 22.

11. Quelle propriété caractérise une suite numérique ?

Elle associe à chaque entier naturel une paire de nombres réels dans un ordre déterminé.
Elle associe à chaque entier naturel un nombre réel dans un ordre déterminé.
Elle associe à chaque nombre réel une valeur réelle sans utiliser d’index.
Elle associe à chaque nombre réel un entier naturel dans un ordre déterminé.

Elle associe à chaque entier naturel un nombre réel dans un ordre déterminé.

Explication

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels, indexée par les entiers naturels. Une fonction peut associer des valeurs à des entrées réelles, mais ce n’est pas la caractéristique donnée ici pour une suite.

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Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

Une liste ordonnée de nombres réels indexés par les entiers naturels.

Comment note-t-on le terme de rang n dans une suite ?

unu_n

Que donne une formule explicite de la suite en fonction du rang ?

Chaque terme directement, indépendamment des termes précédents.

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