Fiche de révision : Logique des propositions

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Combinaisons et tables de vérité
3. Négation et connecteurs logiques
4. Implication et équivalence
5. Équivalence logique et tables de vérité
6. Lois de De Morgan et négation
7. Réciproque et contraposée
8. Quantificateurs universel et existentiel

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition logique : Phrase affirmative ou négative qui donne une information.

★ À maîtriser

📌 Le principe du tiers exclu impose que toute proposition soit vraie ou fausse.

📌 Le principe de non-contradiction interdit qu’une proposition soit à la fois vraie et fausse.

• La valeur de vérité 1 représente une proposition vraie et la valeur 0 une proposition fausse.

Compléments

📌 Un souhait, une question et un ordre ne sont pas des propositions logiques.

• La logique étudie les relations entre propositions sans examiner le contenu des propositions simples ni déterminer leur véracité.

📖 2. Combinaisons et tables de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition complexe : Formée en assemblant des propositions simples au moyen de connecteurs logiques.
• Table de vérité : Table qui énumère les combinaisons de valeurs de vérité des propositions simples et indique la valeur de la proposition complexe pour chaque combinaison.

📝 Points essentiels

• Pour $n$ propositions simples, le nombre de combinaisons possibles est $2^n$.

📖 3. Négation et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Opération qui prend la valeur de vérité contraire à celle de la proposition.
• Conjonction : Opération « et », vraie si et seulement si les deux propositions sont vraies.
• Disjonction inclusive : Opération « ou », vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie, y compris lorsque les deux le sont.
• Disjonction exclusive : Opération XOR, vraie si exactement l’une des deux propositions est vraie.

📝 Points essentiels

• La négation d’une proposition vraie est fausse et la négation d’une proposition fausse est vraie.

• La condition « x ≥ 0 et y ≥ 0 » est vraie seulement si x ≥ 0 et y ≥ 0 sont toutes deux vraies.

💡 Astuce mémo

Le OU accepte les deux conditions vraies ; le XOR les exclut.

📖 4. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Opération « si a, alors b », fausse seulement lorsque a est vraie et b est fausse.
• Équivalence : L’équivalence entre deux propositions est vraie lorsqu’elles ont la même valeur de vérité et correspond à une implication dans les deux sens.

📝 Points essentiels

📌 Une implication logique « si…, alors… » n’est pas une déduction « donc » et ne précise pas ce qui se passe lorsque la condition initiale est fausse.

💡 Astuce mémo

L’implication est une flèche à sens unique ; l’équivalence est une flèche à double sens.

📖 5. Équivalence logique et tables de vérité

★ À maîtriser

📐 Formule - L’équivalence logique vérifie $a \Leftrightarrow b \equiv (a \Rightarrow b) \land (b \Rightarrow a)$.

Compléments

• Une implication composée comme $(a \land b) \Rightarrow c$ est fausse uniquement lorsque $a$ et $b$ sont vrais et que $c$ est faux.

• Pour évaluer une implication composée, on détermine les valeurs de vérité de ses propositions simples, puis celles de la conjonction antécédente, et enfin la valeur de l’implication.

📖 6. Lois de De Morgan et négation

★ À maîtriser

📐 Formule - La négation d’une conjonction vérifie $\neg(a \land b) \equiv \neg a \lor \neg b$.

📐 Formule - La négation d’une disjonction vérifie $\neg(a \lor b) \equiv \neg a \land \neg b$.

Compléments

📌 « Ni l’un ni l’autre » exprime deux propositions négatives : aucun des deux éléments n’est présent.

💡 Astuce mémo

ET devient OU sous la négation, tandis que OU devient ET.

📖 7. Réciproque et contraposée

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque : La réciproque de l’implication $a \Rightarrow b$ est $b \Rightarrow a$.
• Contraposée : La contraposée de l’implication $a \Rightarrow b$ est $\neg b \Rightarrow \neg a$.

★ À maîtriser

• Une proposition et sa contraposée ont toujours la même valeur logique.

Compléments

• La réciproque d’une implication vraie n’est pas nécessairement vraie.

• La réciproque de « S’il pleut, alors il y a des nuages » est « S’il y a des nuages, alors il pleut ».

💡 Astuce mémo

La réciproque échange a et b ; la contraposée nie et inverse les deux.

📖 8. Quantificateurs universel et existentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel $\forall x\,P(x)$ signifie que la propriété $P$ s’applique à tous les éléments de l’ensemble considéré.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel $\exists x\,P(x)$ signifie qu’il existe au moins un élément de l’ensemble considéré qui possède la propriété $P$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La négation d’une proposition universelle vérifie $\neg(\forall x\,P(x)) \equiv \exists x\,\neg P(x)$.

📐 Formule - La négation d’une proposition existentielle vérifie $\neg(\exists x\,P(x)) \equiv \forall x\,\neg P(x) \equiv \nexists x\,P(x)$.

Compléments

• La négation de « Certains cours sont inintéressants et mal donnés » est « Aucun cours n’est à la fois inintéressant et mal donné », ce qui équivaut à « Tous les cours sont intéressants ou bien donnés ».

💡 Astuce mémo

« Tous » se nie par « au moins un non » ; « il existe » par « aucun ».

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs des connecteurs à deux propositions