Qu'est-ce qu'une proposition en mathématiques ?
Un énoncé mathématique vrai ou faux.
Quand la négation not(P) d'une proposition P est-elle vraie ?
Quand P est fausse.
Quand la négation not(P) d'une proposition P est-elle fausse ?
Quand P est vraie.
Quand la conjonction « P et Q » est-elle vraie ?
Lorsque P et Q sont vraies simultanément.
Quand la disjonction inclusive « P ou Q » est-elle vraie ?
Lorsqu’au moins l’une des propositions P ou Q est vraie.
Quelle est la définition de l'implication P ⇒ Q ?
C'est la proposition « non(P) ou Q » vraie si P est faux ou Q est vrai.
Comment démontre-t-on que l'implication P ⇒ Q est vraie ?
On suppose P vraie puis on montre que Q est vraie.
Quand la proposition P ⇔ Q est-elle vraie ?
Quand P et Q sont vraies ou fausses en même temps.
À quoi est équivalente l'équivalence P ⇔ Q ?
À la conjonction des implications P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Quelle est la négation de l'implication P ⇒ Q ?
La proposition P et non(Q).
Que dit la loi de double négation ?
P est équivalente à non(non(P)).
Qu'expriment les lois de Morgan pour non(P et Q) ?
non(P et Q) ⇔ non(P) ou non(Q).
Quelle est la contraposition de l'implication P ⇒ Q ?
non(Q) ⇒ non(P).
Qu'est-ce qu'une condition nécessaire pour avoir P ?
Q est une condition nécessaire si P implique Q.
Qu'est-ce qu'une condition suffisante pour avoir P ?
Q est une condition suffisante si Q implique P.
Qu'est-ce qu'une condition nécessaire et suffisante pour avoir P ?
Q est une condition nécessaire et suffisante si P est équivalent à Q.
Que signifie ∀x ∈ E, P(x) en logique ?
P(x) est vraie pour tout élément x de E.
Quelle est la négation de ∀x ∈ E, P(x) ?
∃x ∈ E, non(P(x)).
Dans ∀x ∈ E, ∃y ∈ F, P(x,y), comment y dépend-il ?
y peut dépendre de x.
Dans ∃y ∈ F, ∀x ∈ E, P(x,y), comment y est-il choisi ?
Le même y convient pour tous les x.
Comment commence la récurrence simple ?
Par l'initialisation de P(n₀).
Quelle étape suit l'initialisation dans la récurrence simple ?
L'hérédité de P(n) vers P(n+1).
Que conclut-on après l'hérédité en récurrence simple ?
Que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Quelles valeurs vérifie la récurrence double au départ ?
P(n₀) et P(n₀+1).
Comment la récurrence double montre-t-elle P(n+2) ?
En utilisant P(n) et P(n+1).
Que vérifie la récurrence forte au début ?
P(n₀).
Quelle hypothèse fait la récurrence forte pour montrer P(n+1) ?
Suppose vraies toutes les propriétés de P(n₀) à P(n).
Quelle propriété montre la récurrence forte après l'hypothèse ?
P(n+1).
Qu'est-ce que le raisonnement par équivalence transforme successivement ?
Une proposition en propositions équivalentes.
Pour quelles résolutions utilise-t-on le raisonnement par équivalence ?
Pour résoudre une équation, une inéquation ou déterminer un domaine de définition.
Comment démontre-t-on P ⇒ Q par raisonnement par contraposition ?
En prouvant non(Q) ⇒ non(P).
Que suppose le raisonnement par l’absurde pour démontrer P ?
Que non(P) est vraie.
Quel est le but du raisonnement par l’absurde après avoir supposé non(P) ?
Conduire à une contradiction.
En quoi consiste le raisonnement par disjonction de cas ?
Il partitionne E en parties disjointes dont la réunion est E et démontre P(x) dans chaque partie.
Quelle est la première étape du raisonnement par analyse-synthèse ?
Supposer qu’une solution existe pour déterminer des valeurs possibles.
Que fait-on après avoir déterminé des valeurs possibles en analyse-synthèse ?
On conserve celles qui appartiennent à E et vérifient la propriété.
Qui a inventé les syllogismes au IVe siècle avant J.-C. ?
Aristote.
En quelle année George Boole a-t-il publié Les Lois de la pensée ?
En 1854.
Quel ouvrage George Boole a-t-il publié en 1854 ?
Les Lois de la pensée.
Que traduit George Boole sous forme d’équations mathématiques ?
Les raisonnements logiques.
Qui a publié l’idéographie (Begriffsschrift) en 1879 ?
Gottlob Frege.
Quel concept Gottlob Frege a-t-il introduit dans l’idéographie ?
Les quantificateurs ∀ et ∃.
Quelle est l’importance de l’idéographie de Frege ?
Elle pose les bases de la logique mathématique moderne.
Dans quels domaines l’algèbre de Boole est-elle utilisée aujourd’hui ?
Dans les ordinateurs et les circuits électroniques.
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1. Quel énoncé est une proposition mathématique au sens logique ?
2. Si la proposition est vraie, quelle est la valeur de vérité de sa négation ?
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