QCM : Logique et rédaction mathématique — 31 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les caractéristiques et les pratiques d’une rédaction mathématique claire :

Des sauts de ligne entre les grandes étapes améliorent la présentation mathématique.
Une rédaction mathématique rigoureuse doit permettre de suivre et vérifier le raisonnement.
Une rédaction mathématique claire doit être lisible, précise et complète.
Toute factorisation intermédiaire doit être justifiée par une phrase détaillée.
La positivité d’un nombre constitue une justification de fond à rédiger explicitement.

Des sauts de ligne entre les grandes étapes améliorent la présentation mathématique. · Une rédaction mathématique rigoureuse doit permettre de suivre et vérifier le raisonnement. · Une rédaction mathématique claire doit être lisible, précise et complète. · La positivité d’un nombre constitue une justification de fond à rédiger explicitement.

Explication

Une rédaction mathématique doit permettre de suivre et de vérifier le raisonnement grâce à la lisibilité, la précision, la complétude et la rigueur. Les manipulations techniques simples peuvent rester implicites, mais les justifications de fond doivent être écrites ; les sauts de ligne améliorent aussi la présentation.

2. Pour distinguer les éléments à expliciter dans une démonstration, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La permutation de termes peut rester implicite dans une rédaction mathématique.
Un résultat important gagne à être mis en valeur dans la présentation.
La continuité d’une fonction doit être mentionnée lorsqu’elle justifie un raisonnement.
Le développement d’une expression exige une justification rédigée aussi détaillée qu’un argument de fond.
La positivité d’un nombre doit être écrite lorsqu’elle intervient comme justification.

La permutation de termes peut rester implicite dans une rédaction mathématique. · Un résultat important gagne à être mis en valeur dans la présentation. · La continuité d’une fonction doit être mentionnée lorsqu’elle justifie un raisonnement. · La positivité d’un nombre doit être écrite lorsqu’elle intervient comme justification.

Explication

Les permutations, factorisations et développements sont des manipulations techniques qui peuvent rester implicites. En revanche, la continuité d’une fonction et la positivité d’un nombre sont des justifications de fond qui doivent apparaître dans la rédaction ; les résultats importants doivent être mis en valeur.

3. Parmi les propositions suivantes concernant les connecteurs et la rédaction logique, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le connecteur « donc » introduit une conséquence dans un raisonnement.
Une phrase mathématique peut mélanger librement mots français et symboles logiques.
Le mot « mais » marque une opposition entre deux éléments.
Le connecteur « car » introduit une cause ou une justification.
L’expression « en outre » ajoute une information à l’argumentation.

Le connecteur « donc » introduit une conséquence dans un raisonnement. · Le mot « mais » marque une opposition entre deux éléments. · Le connecteur « car » introduit une cause ou une justification. · L’expression « en outre » ajoute une information à l’argumentation.

Explication

« Donc », « ainsi » et « par conséquent » expriment une conséquence, tandis que « en outre » ajoute une information et « mais » marque une opposition. Une phrase mathématique doit rester entièrement en français ou entièrement symbolique, sans mélange des deux modes.

4. Concernant l’emploi des symboles et des connecteurs logiques en rédaction mathématique :

Le symbole ⇔\Leftrightarrow porte sur des propositions mathématiques.
Le symbole ∀\forall peut remplacer un mot au milieu d’une phrase française.
Le symbole ⇒\Rightarrow exprime une implication entre deux propositions.
La formulation « Soit x∈Ex \in E » peut être utilisée dans une phrase française.
Le mot « donc » appartient aux connecteurs de rédaction.

Le symbole $$\Leftrightarrow$$ porte sur des propositions mathématiques. · Le symbole $$\Rightarrow$$ exprime une implication entre deux propositions. · La formulation « Soit $$x \in E$$ » peut être utilisée dans une phrase française. · Le mot « donc » appartient aux connecteurs de rédaction.

Explication

Les symboles ⇒\Rightarrow et ⇔\Leftrightarrow portent sur des propositions, alors que « donc » et « c’est-à-dire » sont des connecteurs de rédaction. Le symbole ∈\in peut apparaître dans « Soit x∈Ex \in E », contrairement à ∀\forall et ∃\exists employés comme abréviations au milieu d’une phrase française.

5. Quelles sont les réponses exactes au sujet des modes de rédaction et des connecteurs logiques ?

Une phrase mathématique doit être entièrement rédigée en français ou entièrement symbolique.
Le connecteur « puisque » exprime une cause ou une justification.
Le symbole ∃\exists remplace un mot au milieu d’une phrase française.
Les symboles ⇒\Rightarrow et ⇔\Leftrightarrow portent sur des propositions.
Le connecteur « or » introduit un fait nouveau dans le raisonnement.

Une phrase mathématique doit être entièrement rédigée en français ou entièrement symbolique. · Le connecteur « puisque » exprime une cause ou une justification. · Les symboles $$\Rightarrow$$ et $$\Leftrightarrow$$ portent sur des propositions. · Le connecteur « or » introduit un fait nouveau dans le raisonnement.

Explication

Une phrase mathématique doit adopter soit une rédaction entièrement française, soit une écriture entièrement symbolique. Les symboles ⇒\Rightarrow et ⇔\Leftrightarrow concernent des propositions, tandis que « puisque » exprime une justification et « or » introduit un fait nouveau.

6. Concernant l’introduction et l’utilisation des objets mathématiques :

L’expression f(x)f(x) désigne une valeur numérique associée à xx.
Une fonction doit être introduite en précisant sa nature avant son utilisation.
L’utilisation d’un théorème exige la vérification de toutes ses hypothèses.
L’origine d’un ensemble doit être précisée avant son emploi dans une preuve.
La fonction ff et le nombre f(x)f(x) désignent le même objet mathématique.

L’expression $$f(x)$$ désigne une valeur numérique associée à $$x$$. · Une fonction doit être introduite en précisant sa nature avant son utilisation. · L’utilisation d’un théorème exige la vérification de toutes ses hypothèses. · L’origine d’un ensemble doit être précisée avant son emploi dans une preuve.

Explication

Avant d’utiliser un objet mathématique, il faut préciser son origine, sa nature et éventuellement ses propriétés. Une fonction ff associe une valeur à un nombre xx, tandis que f(x)f(x) désigne la valeur obtenue en ce point ; un théorème exige la vérification explicite de toutes ses hypothèses.

7. Un étudiant souhaite appliquer un théorème à une fonction ff ; quelles propositions sont exactes ?

Il doit distinguer la fonction ff de la valeur f(x)f(x).
Il doit mentionner explicitement les hypothèses vérifiées dans la rédaction.
Il doit vérifier chaque hypothèse du théorème avant son application.
Il peut appliquer le théorème après avoir vérifié seulement une hypothèse essentielle.
Il doit préciser la nature de la fonction avant de l’utiliser.

Il doit distinguer la fonction $$f$$ de la valeur $$f(x)$$. · Il doit mentionner explicitement les hypothèses vérifiées dans la rédaction. · Il doit vérifier chaque hypothèse du théorème avant son application. · Il doit préciser la nature de la fonction avant de l’utiliser.

Explication

Le théorème ne peut être utilisé qu’après vérification et mention explicite de toutes ses hypothèses. Introduire une fonction suppose de préciser sa nature, et ff désigne la fonction alors que f(x)f(x) désigne sa valeur en xx.

8. Les caractéristiques du choix, de la désignation et de l’utilisation des objets comprennent :

L’expression f(x)f(x) désigne une fonction plutôt que sa valeur en xx.
« Notons ff » sert à nommer un objet déjà déterminé par le contexte.
« Posons K=…K=\dots » sert à choisir une nouvelle valeur.
La fonction ff associe à chaque nombre xx la valeur f(x)f(x).
Un théorème s’utilise après vérification explicite de toutes ses hypothèses.

« Notons $$f$$ » sert à nommer un objet déjà déterminé par le contexte. · « Posons $$K=\dots$$ » sert à choisir une nouvelle valeur. · La fonction $$f$$ associe à chaque nombre $$x$$ la valeur $$f(x)$$. · Un théorème s’utilise après vérification explicite de toutes ses hypothèses.

Explication

« Posons » sert à choisir ou créer une nouvelle valeur, tandis que « notons » sert à donner un nom à un objet déjà déterminé par le contexte. Ainsi, la fonction ff est l’objet nommé, alors que f(x)f(x) est sa valeur en xx ; l’application d’un théorème requiert toutes ses hypothèses.

9. Concernant les méthodes de raisonnement sur les propositions composées :

Le « ou » mathématique impose qu’une seule des deux propositions soit vraie.
La proposition « P et Q » est établie dès que P est démontrée.
Démontrer « P et Q » revient à établir séparément P puis Q.
Démontrer « P ou Q » peut se faire en supposant P fausse puis en établissant Q.
Le « ou » mathématique est vrai lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

Démontrer « P et Q » revient à établir séparément P puis Q. · Démontrer « P ou Q » peut se faire en supposant P fausse puis en établissant Q. · Le « ou » mathématique est vrai lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

Explication

Pour établir une conjonction, il faut établir séparément chacune des deux propositions. Le « ou » mathématique est inclusif : une seule proposition vraie suffit, mais les deux peuvent également être vraies ; la méthode par supposition de la fausseté de P permet alors d’établir Q.

10. Parmi les propositions suivantes concernant la disjonction mathématique, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La disjonction « P ou Q » devient fausse lorsque P et Q sont vraies.
Démontrer P suffit à établir la conjonction « P et Q ».
Pour établir « P ou Q », on peut supposer P fausse et démontrer Q.
Le « ou » mathématique possède le sens exclusif du langage courant.
La disjonction « P ou Q » est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

Pour établir « P ou Q », on peut supposer P fausse et démontrer Q. · La disjonction « P ou Q » est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

Explication

La disjonction mathématique est inclusive : elle est vraie si P est vraie, si Q est vraie, ou si les deux le sont. La démonstration de « P ou Q » peut notamment consister à supposer P fausse et à montrer Q.

11. Les règles de démonstration des propositions composées comprennent :

La vérité de P suffit à démontrer « P et Q ».
La preuve de « P et Q » nécessite deux démonstrations distinctes.
Le « ou » mathématique exclut le cas où P et Q sont simultanément vraies.
La preuve de « P ou Q » peut partir de l’hypothèse que P est fausse.
La disjonction « P ou Q » est fausse dès qu’une seule proposition est fausse.

La preuve de « P et Q » nécessite deux démonstrations distinctes. · La preuve de « P ou Q » peut partir de l’hypothèse que P est fausse.

Explication

Une conjonction exige que P et Q soient établies séparément. En mathématiques, le « ou » est inclusif et accepte donc la situation où les deux propositions sont vraies ; la méthode indiquée permet aussi de démontrer une disjonction.

12. Concernant les valeurs de vérité de l’implication et de l’équivalence :

P⇔QP \Leftrightarrow Q est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.
P⇒QP \Rightarrow Q exige les deux implications entre P et Q.
P⇒QP \Rightarrow Q est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse.
P⇔QP \Leftrightarrow Q peut être vraie lorsque P est vraie et Q est fausse.
P⇒QP \Rightarrow Q est fausse lorsque P et Q sont toutes deux vraies.

$$P \Leftrightarrow Q$$ est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité. · $$P \Rightarrow Q$$ est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse.

Explication

Une implication échoue dans le seul cas où son antécédent est vrai et son conséquent faux ; les trois autres combinaisons la rendent vraie. L’équivalence exige que P et Q aient la même valeur de vérité et correspond à deux implications réciproques.

13. À propos de l’équivalence logique, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La contraposée de P⇒QP \Rightarrow Q s’écrit P⇒¬QP \Rightarrow \lnot Q.
La réciproque Q⇒PQ \Rightarrow P est toujours équivalente à P⇒QP \Rightarrow Q.
P⇔QP \Leftrightarrow Q est vraie lorsque P et Q sont toutes deux fausses.
P⇔QP \Leftrightarrow Q correspond à deux implications réciproques.
P⇒QP \Rightarrow Q est vraie dans les trois cas autres que P vraie et Q fausse.

$$P \Leftrightarrow Q$$ est vraie lorsque P et Q sont toutes deux fausses. · $$P \Leftrightarrow Q$$ correspond à deux implications réciproques. · $$P \Rightarrow Q$$ est vraie dans les trois cas autres que P vraie et Q fausse.

Explication

L’équivalence est vraie lorsque les deux propositions partagent la même valeur de vérité. Elle correspond à deux implications, tandis qu’une implication simple n’en exige qu’une ; la contraposée conserve l’équivalence avec l’implication initiale.

14. Concernant la contraposée et la réciproque d’une implication, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

La réciproque de P⇒QP \Rightarrow Q est Q⇒PQ \Rightarrow P.
La contraposée de P⇒QP \Rightarrow Q est Q⇒PQ \Rightarrow P.
La contraposée de P⇒QP \Rightarrow Q s’obtient en conservant Q sans négation.
La contraposée de P⇒QP \Rightarrow Q est ¬Q⇒¬P\lnot Q \Rightarrow \lnot P.
La réciproque de P⇒QP \Rightarrow Q est toujours équivalente à l’implication initiale.

La réciproque de $$P \Rightarrow Q$$ est $$Q \Rightarrow P$$. · La contraposée de $$P \Rightarrow Q$$ est $$\lnot Q \Rightarrow \lnot P$$.

Explication

La contraposée de P⇒QP \Rightarrow Q est ¬Q⇒¬P\lnot Q \Rightarrow \lnot P et lui est toujours équivalente. La réciproque est Q⇒PQ \Rightarrow P, qui n’est pas nécessairement équivalente à l’implication initiale.

15. Concernant les quantificateurs et leur négation, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) est vraie si au moins un élément de E vérifie P.
La négation de ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) est équivalente à ∀x∈E, ¬P(x)\forall x \in E,\ \lnot P(x).
∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) est vraie si chaque élément de E vérifie P.
La négation de ∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) est équivalente à ∃x∈E, ¬P(x)\exists x \in E,\ \lnot P(x).
∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) reste vraie lorsqu’un élément de E ne vérifie pas P.

$$\exists x \in E,\ P(x)$$ est vraie si au moins un élément de E vérifie P. · $$\forall x \in E,\ P(x)$$ est vraie si chaque élément de E vérifie P.

Explication

Une proposition universelle est vraie lorsque chaque élément de E vérifie P et fausse dès qu’un contre-exemple existe. Une proposition existentielle est vraie dès qu’au moins un élément convient, et sa négation transforme le quantificateur existentiel en universel.

16. Parmi les propositions suivantes concernant les quantificateurs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) est vraie dès qu’un élément de E vérifie P.
La négation de ∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) est ∀x∈E, ¬P(x)\forall x \in E,\ \lnot P(x).
∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) exige que chaque élément de E vérifie P.
La négation de ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) est ∃x∈E, ¬P(x)\exists x \in E,\ \lnot P(x).
∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) est fausse lorsqu’aucun élément de E ne vérifie P.

La négation de $$\exists x \in E,\ P(x)$$ est $$\forall x \in E,\ \lnot P(x)$$. · La négation de $$\forall x \in E,\ P(x)$$ est $$\exists x \in E,\ \lnot P(x)$$. · $$\exists x \in E,\ P(x)$$ est fausse lorsqu’aucun élément de E ne vérifie P.

Explication

Le quantificateur universel demande que tous les éléments vérifient la propriété, tandis que l’existentiel demande qu’au moins un élément la vérifie. La négation de l’universel devient existentielle avec la propriété négatrice, et celle de l’existentiel devient universelle.

17. Concernant l’ordre de deux quantificateurs de nature différente, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Dans la seconde expression, le majorant M peut être choisi séparément pour chaque valeur de x.
∀x∈E, ∃M∈R, x≤M\forall x\in E,\ \exists M\in\mathbb{R},\ x\le M autorise un majorant dépendant de x.
Les expressions ∀x∈E, ∃M∈R, x≤M\forall x\in E,\ \exists M\in\mathbb{R},\ x\le M et ∃M∈R, ∀x∈E, x≤M\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in E,\ x\le M sont généralement équivalentes.
∃M∈R, ∀x∈E, x≤M\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in E,\ x\le M impose un majorant global.
Dans la première expression, M doit convenir simultanément à tous les éléments de E.

$$\forall x\in E,\ \exists M\in\mathbb{R},\ x\le M$$ autorise un majorant dépendant de x. · $$\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in E,\ x\le M$$ impose un majorant global.

Explication

Les quantificateurs de nature différente ne se permutent généralement pas, car l’ordre modifie la dépendance entre les variables. Dans la première expression, le majorant peut dépendre de x ; dans la seconde, un même majorant doit convenir à tout E.

18. Concernant les ensembles et l’appartenance :

Un ensemble est une collection ordonnée dont les éléments sont numérotés.
La notation x⊂Ex\subset E compare un élément xx avec un ensemble EE.
La notation x∈Ex\in E indique que xx est un ensemble inclus dans EE.
La notation x∈Ex\in E indique que xx est un élément de EE.
Un ensemble est une collection non ordonnée d’objets appelés éléments.

La notation $$x\in E$$ indique que $$x$$ est un élément de $$E$$. · Un ensemble est une collection non ordonnée d’objets appelés éléments.

Explication

Un ensemble est une collection non ordonnée, et x∈Ex\in E signifie que xx est un élément de EE. En revanche, x⊂Ex\subset E exprime une inclusion entre ensembles, non une appartenance.

19. Deux ensembles EE et FF sont égaux dans le cas suivant :

Lorsque E⊂FE\subset F et F⊂EF\subset E.
Lorsque tout élément de FF appartient à EE, sans autre condition.
Lorsque EE et FF possèdent au moins un élément commun.
Lorsque E⊂FE\subset F sans condition concernant F⊂EF\subset E.
Lorsque EE et FF contiennent le même nombre d’éléments.

Lorsque $$E\subset F$$ et $$F\subset E$$.

Explication

Deux ensembles sont égaux exactement lorsque chacun est inclus dans l’autre. Une seule inclusion ne suffit pas à établir leur égalité.

20. Les caractéristiques de l’ensemble des parties P(E)\mathcal P(E) comprennent :

La relation A∈P(E)A\in\mathcal P(E) signifie que AA est un élément de EE.
L’ensemble P(E)\mathcal P(E) contient exactement les éléments appartenant à EE.
L’ensemble P(E)\mathcal P(E) contient les ensembles AA inclus dans EE.
La relation A⊂EA\subset E équivaut à A∈EA\in E.
La relation A∈P(E)A\in\mathcal P(E) équivaut à A⊂EA\subset E.

L’ensemble $$\mathcal P(E)$$ contient les ensembles $$A$$ inclus dans $$E$$. · La relation $$A\in\mathcal P(E)$$ équivaut à $$A\subset E$$.

Explication

L’ensemble des parties P(E)\mathcal P(E) contient les ensembles inclus dans EE. Ainsi, A∈P(E)A\in\mathcal P(E) équivaut à A⊂EA\subset E.

21. Concernant les opérations sur les ensembles, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’intersection A∩BA\cap B contient les éléments appartenant à AA et à BB.
La réunion A∪BA\cup B utilise une condition d’appartenance à AA ou à BB.
L’intersection d’une famille contient les éléments appartenant à au moins un ensemble.
La différence A∖BA\setminus B conserve les éléments provenant de BB.
La réunion d’une famille contient les éléments appartenant à tous ses ensembles.

L’intersection $$A\cap B$$ contient les éléments appartenant à $$A$$ et à $$B$$. · La réunion $$A\cup B$$ utilise une condition d’appartenance à $$A$$ ou à $$B$$.

Explication

La réunion contient les éléments appartenant à au moins un des ensembles considérés, ce qui correspond à « ou ». L’intersection exige l’appartenance simultanée aux deux ensembles, et la différence conserve les éléments du premier ensemble.

22. À propos des intersections d’ensembles, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’intersection A∩BA\cap B contient les éléments appartenant à AA et à BB.
L’intersection A∩BA\cap B contient les éléments appartenant à AA ou à BB.
L’intersection compare deux ensembles comme une relation d’inclusion.
L’intersection d’une famille contient les éléments appartenant à au moins un ensemble.
L’intersection d’une famille contient les éléments appartenant à tous les ensembles.

L’intersection $$A\cap B$$ contient les éléments appartenant à $$A$$ et à $$B$$. · L’intersection d’une famille contient les éléments appartenant à tous les ensembles.

Explication

L’intersection A∩BA\cap B regroupe les éléments communs à AA et BB. Pour une famille, l’appartenance à l’intersection exige d’appartenir à tous les ensembles de la famille.

23. Une partition de EE possède les caractéristiques suivantes :

Elle recouvre EE par des parties deux à deux disjointes.
Elle est formée de parties dont certaines peuvent être vides.
Elle est constituée de parties toutes non vides.
Elle désigne l’ensemble des parties de EE.
Elle recouvre EE par des parties pouvant avoir des éléments communs.

Elle recouvre $$E$$ par des parties deux à deux disjointes. · Elle est constituée de parties toutes non vides.

Explication

Une partition recouvre l’ensemble considéré par des parties deux à deux disjointes et non vides. La réunion seule ne suffit pas, car les parties doivent également être disjointes et non vides.

24. Concernant le produit cartésien E1×⋯×EnE_1\times\cdots\times E_n :

Chaque coordonnée eie_i d’un n-uplet appartient à EiE_i.
Il associe à chaque élément de E1E_1 un sous-ensemble de EnE_n.
Il est défini par les éléments appartenant simultanément à tous les EiE_i.
Il contient des n-uplets comportant une coordonnée issue de chaque ensemble.
Il contient des n-uplets dont toutes les coordonnées appartiennent à E1E_1.

Chaque coordonnée $$e_i$$ d’un n-uplet appartient à $$E_i$$. · Il contient des n-uplets comportant une coordonnée issue de chaque ensemble.

Explication

Le produit cartésien est constitué de n-uplets dont chaque coordonnée appartient à l’ensemble correspondant. Il ne contient donc pas des éléments choisis dans un seul ensemble commun.

25. Une disjonction de cas correctement menée comprend :

Une sélection de quelques exemples représentatifs.
Une démonstration limitée aux cas les plus fréquents.
Une couverture de toutes les possibilités pertinentes.
Une conclusion valable après l’étude d’un seul cas.
Une démonstration de la proposition dans chaque cas.

Une couverture de toutes les possibilités pertinentes. · Une démonstration de la proposition dans chaque cas.

Explication

Une disjonction de cas doit couvrir toutes les possibilités, puis la proposition doit être démontrée dans chaque cas. Examiner quelques exemples ne permet pas de conclure à une vérité générale.

26. Concernant la démonstration par contraposée de P⇒QP\Rightarrow Q, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Elle conduit à démontrer la négation de PP.
Elle suppose la négation de QQ.
Elle suppose la négation de PP pour établir QQ.
Elle cherche une contradiction en supposant le contraire de P⇒QP\Rightarrow Q.
Elle suppose la proposition PP pour établir directement QQ.

Elle conduit à démontrer la négation de $$P$$. · Elle suppose la négation de $$Q$$.

Explication

Pour prouver P⇒QP\Rightarrow Q par contraposée, on suppose ¬Q\neg Q et on démontre ¬P\neg P. Le raisonnement direct supposerait PP, ce qui constitue une autre méthode.

27. Le raisonnement par l’absurde suit les étapes suivantes :

Il conclut que la proposition initiale est vraie après contradiction.
Il suppose le contraire de la proposition à démontrer.
Il vérifie la proposition dans plusieurs cas exhaustifs.
Il établit directement la proposition sans hypothèse contraire.
Il cherche une contradiction découlant de cette supposition.

Il conclut que la proposition initiale est vraie après contradiction. · Il suppose le contraire de la proposition à démontrer. · Il cherche une contradiction découlant de cette supposition.

Explication

Le raisonnement par l’absurde suppose la négation de la proposition visée, puis obtient une contradiction. Cette contradiction permet de conclure que la proposition initiale est vraie.

28. Concernant la démarche d’analyse-synthèse :

La synthèse détermine les candidats avant toute vérification.
La synthèse vérifie que les candidats appartiennent bien à l’ensemble considéré.
L’analyse détermine les formes possibles des objets recherchés.
L’analyse-synthèse commence par choisir un élément déjà connu de l’ensemble.
L’analyse établit directement l’existence effective de chaque candidat.

La synthèse vérifie que les candidats appartiennent bien à l’ensemble considéré. · L’analyse détermine les formes possibles des objets recherchés.

Explication

L’analyse détermine les formes candidates possibles, tandis que la synthèse vérifie leur appartenance à l’ensemble considéré. Les autres propositions inversent ces rôles ou attribuent à la synthèse une étape non indiquée.

29. Dans un raisonnement par analyse-synthèse, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’analyse correspond à l’établissement de l’existence des objets recherchés.
La synthèse correspond à l’étude de l’unicité des objets recherchés.
La synthèse correspond à l’établissement de leur existence.
L’analyse-synthèse dissocie les questions d’unicité et d’existence.
L’analyse correspond à l’étude de l’unicité des objets recherchés.

La synthèse correspond à l’établissement de leur existence. · L’analyse-synthèse dissocie les questions d’unicité et d’existence. · L’analyse correspond à l’étude de l’unicité des objets recherchés.

Explication

Dans cette distinction, l’analyse est associée à l’unicité, tandis que la synthèse est associée à l’existence. Les deux autres propositions échangent ces correspondances.

30. Pour démontrer l’unicité des objets vérifiant P(x)P(x), quelles propositions sont exactes ?

La conclusion recherchée s’écrit P(x)∧P(y)⇒x=yP(x) \land P(y) \Rightarrow x=y pour x,y∈Ex,y\in E.
Il faut considérer deux éléments quelconques de EE vérifiant respectivement P(x)P(x) et P(y)P(y).
Il suffit d’étudier un élément particulier de EE vérifiant PP.
Il faut montrer que ces deux éléments sont égaux.
Il faut supposer dès le départ qu’un objet vérifiant PP existe.

La conclusion recherchée s’écrit $$P(x) \land P(y) \Rightarrow x=y$$ pour $$x,y\in E$$. · Il faut considérer deux éléments quelconques de $$E$$ vérifiant respectivement $$P(x)$$ et $$P(y)$$. · Il faut montrer que ces deux éléments sont égaux.

Explication

Pour prouver l’unicité, il faut considérer deux éléments quelconques de EE satisfaisant PP et montrer leur égalité, sans admettre leur existence à l’avance. Les autres propositions imposent une existence préalable, un seul élément ou une conclusion différente.

31. À propos des preuves d’inclusion et d’égalité d’ensembles :

Pour prouver E⊂FE\subset F, on choisit un élément quelconque de EE.
Pour prouver E=FE=F, on peut établir les inclusions E⊂FE\subset F et F⊂EF\subset E.
La preuve de E⊂FE\subset F consiste à montrer que cet élément appartient à FF.
Pour prouver E⊂FE\subset F, il suffit de vérifier un élément particulier de EE.
Pour prouver E=FE=F, une seule inclusion suffit dans le raisonnement général.

Pour prouver $$E\subset F$$, on choisit un élément quelconque de $$E$$. · Pour prouver $$E=F$$, on peut établir les inclusions $$E\subset F$$ et $$F\subset E$$. · La preuve de $$E\subset F$$ consiste à montrer que cet élément appartient à $$F$$.

Explication

Pour établir E⊂FE\subset F, on choisit un élément quelconque de EE et on montre qu’il appartient à FF. Pour démontrer E=FE=F, il est possible de prouver les deux inclusions ; les autres méthodes ne correspondent pas aux règles données.

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Quelles qualités doit avoir une rédaction mathématique claire ?

Elle doit être lisible, précise, complète, rigoureuse et structurée.

Quelles manipulations techniques peuvent rester implicites en rédaction mathématique ?

Les permutations, factorisations et développements peuvent rester implicites.

Quelles justifications doivent être écrites explicitement en rédaction mathématique ?

Les justifications de fond comme la positivité ou la continuité doivent être écrites.

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