Fiche de révision : Logique et rédaction mathématique

📋 Plan du Cours

1. Règles d’une rédaction claire
2. Connecteurs et symboles logiques
3. Objets fonctions et théorèmes
4. Propositions composées
5. Implication et équivalence
6. Quantificateurs et négation
7. Ensembles et appartenance
8. Opérations sur les ensembles
9. Méthodes de démonstration avancées
10. Analyse-synthèse et constructions

📖 1. Règles d’une rédaction claire

★ À maîtriser

📌 Une rédaction mathématique doit être lisible, précise et complète, rigoureuse, et structurée afin que le raisonnement puisse être suivi et vérifié.

📌 Les manipulations techniques licites, comme permuter des termes, factoriser ou développer, peuvent rester implicites, tandis que les justifications de fond, comme la positivité d’un nombre ou la continuité d’une fonction, doivent être écrites.

Compléments

📌 Une bonne présentation utilise des sauts de ligne entre les grandes étapes et met en valeur les résultats et arguments importants.

💡 Astuce mémo

L-P-R-S : lisibilité, précision, rigueur, structure

📖 2. Connecteurs et symboles logiques

★ À maîtriser

• Les connecteurs logiques principaux sont les suivants:
  • donc, ainsi, par conséquent, d’où
  • en outre, de plus
  • mais, cependant
  • car, puisque, comme
  • or

📌 Une phrase mathématique doit être rédigée soit entièrement en français, soit entièrement avec des symboles logiques, sans mélanger les deux modes.

📌 Les symboles ⇒ et ⇔ portent sur des propositions, tandis que « donc » et « c’est-à-dire » sont des connecteurs de rédaction.

Compléments

📌 Le symbole ∈ peut être employé dans la formulation « Soit x ∈ E », contrairement aux symboles ∀ et ∃ qui ne remplacent pas des mots au milieu d’une phrase française.

💡 Astuce mémo

Français pour relier, symboles pour affirmer

📖 3. Objets fonctions et théorèmes

★ À maîtriser

• Avant d’utiliser un nombre, une fonction ou un ensemble, il faut l’introduire en précisant son origine, sa nature et éventuellement ses propriétés.

• Une fonction f est l’objet qui associe à un nombre x la valeur f(x), tandis que f(x) est seulement un nombre.

• Pour utiliser un théorème, il faut vérifier toutes ses hypothèses et les mentionner explicitement dans la rédaction.

Compléments

📌 On écrit « posons K = ... » lorsqu’on choisit une nouvelle valeur, et « notons f ... » lorsqu’on donne un nom à un objet déjà déterminé par le contexte.

💡 Astuce mémo

f est une fonction, f(x) est une valeur

📖 4. Propositions composées

📝 Points essentiels

• Pour démontrer « P et Q », il faut démontrer séparément P puis Q.

• Pour démontrer « P ou Q », on peut supposer que P est fausse et montrer que Q est vraie.

• En mathématiques, le « ou » est inclusif : P ou Q est vraie lorsque P, Q, ou les deux sont vraies.

💡 Astuce mémo

Conjonction = deux preuves ; disjonction = un cas suffit

📖 5. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Proposition fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse, et vraie dans les trois autres cas.
• Équivalence : Proposition vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.
• Condition nécessaire : Si P ⇒ Q est vraie, alors Q est une condition nécessaire de P et P est une condition suffisante de Q.

📝 Points essentiels

📌 La contraposée de P ⇒ Q est (non Q) ⇒ (non P), tandis que sa réciproque est Q ⇒ P.

💡 Astuce mémo

La contraposée est équivalente, la réciproque ne l’est pas forcément

📖 6. Quantificateurs et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Proposition vraie si tout élément de E vérifie P et fausse si au moins un élément de E ne vérifie pas P.
• Quantificateur existentiel : Proposition vraie si au moins un élément de E vérifie P et fausse si aucun élément ne la vérifie.

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∀x ∈ E, P(x) est équivalente à ∃x ∈ E, non P(x), et la négation de ∃x ∈ E, P(x) est équivalente à ∀x ∈ E, non P(x).

📌 Deux quantificateurs consécutifs de nature différente ne peuvent généralement pas être permutés, car ∀x∈E, ∃M∈R, x≤M autorise un majorant dépendant de x, contrairement à ∃M∈R, ∀x∈E, x≤M qui impose un majorant global.

💡 Astuce mémo

∀ devient ∃, ∃ devient ∀, puis on nie

📖 7. Ensembles et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection non ordonnée d’objets appelés éléments ; l’appartenance d’un élément x à E se note x∈E.
• Inclusion : E est inclus dans F, noté E⊂F, si tout élément de E appartient aussi à F, c’est-à-dire si ∀x∈E, x∈F.
• Ensemble des parties : Ensemble contenant exactement les ensembles A tels que A⊂E, ce qui équivaut à A∈P(E).

📝 Points essentiels

📌 Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si E⊂F et F⊂E.

💡 Astuce mémo

∈ relie un élément, ⊂ relie deux ensembles

📖 8. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion : La réunion A∪B contient les éléments qui appartiennent à A ou à B, tandis que la réunion d’une famille (A_i)_{i∈I} contient les éléments appartenant à au moins un A_i.
• Intersection : L’intersection A∩B contient les éléments qui appartiennent à A et à B, tandis que l’intersection d’une famille (A_i)_{i∈I} contient les éléments appartenant à tous les A_i.
• Partition : Recouvrement de E par des parties deux à deux disjointes et toutes non vides.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E₁×⋯×Eₙ est l’ensemble des n-uplets (e₁,…,eₙ) tels que chaque eᵢ appartient à Eᵢ.
• Différence : Ensemble des éléments qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.

💡 Astuce mémo

Réunion = ou, intersection = et

📖 9. Méthodes de démonstration avancées

📝 Points essentiels

• 🔄 Une disjonction de cas suit trois étapes:

  1. couvrir toutes les possibilités
  2. démontrer la proposition dans chaque cas
  3. conclure qu’elle est vraie dans tous les cas

• Pour démontrer P⇒Q par contraposée, on suppose non Q et on montre non P.

• Un raisonnement par l’absurde suppose le contraire de la proposition à démontrer, obtient une contradiction, puis conclut que la proposition initiale est vraie.

📐 Formule — Le principe de récurrence simple est : si $P_{n_0}$ et $orall n\\ge n_0, P_n \\Rightarrow P_{n+1}$, alors $orall n\\ge n_0, P_n$.

• Une récurrence simple comprend la définition de P_n, l’initialisation de P_{n₀}, l’hérédité de P_n vers P_{n+1}, puis la conclusion par récurrence.

📌 La récurrence double initialise P_{n₀} et P_{n₀+1}, puis déduit P_{n+2} de P_n et P_{n+1}, tandis que la récurrence forte déduit P_{n+1} de toutes les propriétés P_k pour k∈[n₀,n].

💡 Astuce mémo

Cas, contraposée, absurde, récurrence

📖 10. Analyse-synthèse et constructions

📝 Points essentiels

• Une analyse-synthèse commence par déduire, pour x∈E, les formes possibles de x, puis pose ces candidats et vérifie qu’ils appartiennent bien à E.

• Dans un raisonnement par analyse-synthèse, l’analyse correspond à l’unicité et la synthèse correspond à l’existence.

• Pour démontrer l’unicité des objets x vérifiant P(x), il faut montrer que ∀x,y∈E, P(x) et P(y) ⇒ x=y, sans supposer au départ que ces objets existent.

• Pour démontrer une inclusion E⊂F, on prend un élément quelconque x∈E et on montre qu’il appartient à F ; pour une égalité E=F, on peut établir les deux inclusions.

💡 Astuce mémo

Analyse = unicité, synthèse = existence

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de démonstration