Fiche de révision : Maîtrise des fondamentaux en mathématiques.

📋 Plan du Cours

1. Calcul numérique et fractions
2. Calcul littéral et équations
3. Proportionnalité et pourcentages
4. Théorème de Pythagore et Thalès
5. Trigonométrie et fonctions
6. Statistiques et probabilités
7. Aires, périmètres et volumes
8. Transformations et algorithmique

📖 1. Calcul numérique et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre des calculs : L’ordre des calculs impose d’abord de résoudre les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.
• Nombres relatifs : Les nombres relatifs s’additionnent ou se soustraient en tenant compte des signes, avec une règle différente selon que les signes sont identiques ou opposés.
• PPCM : Le PPCM est le plus petit multiple commun utilisé pour mettre deux fractions au même dénominateur.
• Puissance : Une puissance $a^n$ représente $n$ multiplications de $a$ par lui-même, et $a^{-n}$ correspond à l’inverse de $a^n$.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique écrit un nombre sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.

📝 Points essentiels

• L’ordre obligatoire est : parenthèses, puissances, multiplications/divisions, puis additions/soustractions.
• Pour addition de nombres relatifs : mêmes signes on garde le signe et on additionne, signes différents on soustrait et on garde le signe du plus grand en valeur absolue.
• Pour multiplication/division : le signe du résultat suit le tableau, notamment moins fois moins donne plus.
• Pour simplifier une fraction, on divise numérateur et dénominateur par le même nombre non nul.
• Pour fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.

💡 Astuce mémo

SOHNS : Signe d’addition Homme-Négatif-Signé — mêmes signes on additionne et on garde, signes différents on soustrait et on garde le plus grand.

📖 2. Calcul littéral et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme semblable : Des termes semblables sont des termes avec la même partie littérale, que l’on peut alors additionner en réduisant leur expression.
• Distributivité : La distributivité permet d’écrire $k(a+b)=ka+kb$ en multipliant $k$ à chaque terme de la parenthèse.
• Identité remarquable : Une identité remarquable est une formule algébrique à reconnaître, comme $(a+b)^2$ ou $a^2-b^2$, qui permet de développer ou factoriser.
• Facteur commun : Le facteur commun est un nombre ou une expression présent dans tous les termes d’une somme, que l’on peut mettre en évidence.
• Produit nul : Le produit nul affirme que $ab=0$ entraîne $a=0$ ou $b=0$.

📝 Points essentiels

• On ne peut réduire que des termes semblables, par exemple $3x+5x=8x$ mais pas $3x+2x^2$.
• La double distributivité donne $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ via un développement pas à pas.
• L’identité $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ permet de passer d’une forme développée à une forme factorisée.
• Une équation se résout en appliquant la même opération aux deux côtés jusqu’à isoler l’inconnue.
• Pour résoudre $(x-2)(x+5)=0$, on applique le produit nul et on obtient $x=2$ ou $x=-5$.

💡 Astuce mémo

Double distributivité = Parenthèses sur parenthèses : chaque terme de la 1re parenthèse multiplie chaque terme de la 2e.

📖 3. Proportionnalité et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles quand leur quotient $\frac{x}{y}$ reste constant.
• Produit en croix : Le produit en croix est une méthode pour résoudre une égalité de fractions en ramenant tout à une égalité de produits $ad=bc$.
• Pourcentage d’augmentation : Une augmentation de $t\%$ multiplie la valeur initiale par $1+\frac{t}{100}$.
• Pourcentage de réduction : Une réduction de $t\%$ multiplie la valeur initiale par $1-\frac{t}{100}$.
• Échelle : Une échelle relie une distance réelle à une distance sur le plan via un rapport.

📝 Points essentiels

• Situation proportionnelle : $\frac{x}{y}=\text{constant}$.
• On a $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ si et seulement si $ad=bc$.
• Augmentation : $V_f=V_i\times\left(1+\frac{t}{100}\right)$.
• Réduction : $V_f=V_i\times\left(1-\frac{t}{100}\right)$.
• Retrouver le pourcentage se fait par $t=\frac{\text{valeur initiale}}{\text{augmentation}}\times 100$.

💡 Astuce mémo

Pourcentages : augmentation = plus, réduction = moins, donc $1\pm\frac{t}{100}$.

📖 4. Théorème de Pythagore et Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et se note $c$.
• Réciproque du théorème de Pythagore : La réciproque permet d’identifier un triangle rectangle en vérifiant l’égalité entre carrés des côtés.
• Théorème de Thalès : Dans un cadre avec parallélisme et alignements, Thalès exprime l’égalité de rapports de longueurs correspondantes.
• Réciproque de Thalès : La réciproque permet de prouver que deux droites sont parallèles en testant l’égalité des rapports.

📝 Points essentiels

• Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, $a^2+b^2=c^2$ avec $c$ l’hypoténuse.
• Pour calculer une longueur avec Pythagore : $BC^2=AB^2+AC^2$ puis on extrait la racine.
• Réciproque Pythagore : si $AB^2+AC^2=BC^2$, alors le triangle est rectangle.
• Thalès : $\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN}$ sous conditions d’alignement et de parallélisme.
• Réciproque Thalès : l’égalité des rapports $\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$ permet de conclure que les droites sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Pythagore pour les rectangles, Thalès pour les parallèles : Pythagore = carrés, Thalès = rapports.

📖 5. Trigonométrie et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus : Le cosinus d’un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre l’hypoténuse et le côté adjacent.
• Sinus : Le sinus d’un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre l’hypoténuse et le côté opposé.
• Tangente : La tangente d’un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté adjacent et le côté opposé.
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire s’écrit sous la forme $f(x)=ax$ et sa représentation est une droite passant par l’origine.
• Fonction affine : Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• Formules trigonométriques (selon le cours) : $\cos(\theta)=\frac{hypoténuse}{adjacent}$.
• Formules trigonométriques (selon le cours) : $\sin(\theta)=\frac{hypoténuse}{opposé}$.
• Formules trigonométriques (selon le cours) : $\tan(\theta)=\frac{adjacent}{opposé}$.
• Pour une fonction, l’image $f(4)$ se calcule en remplaçant $x$ par 4 dans l’expression.
• Pour trouver un antécédent, on cherche $x$ tel que $f(x)=\text{valeur}$.

💡 Astuce mémo

SOH CAH TOA : S = sinus = opposé/hypoténuse, C = cosinus = adjacent/hypoténuse, T = tangente = opposé/adjacent.

📖 6. Statistiques et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La moyenne est une valeur calculée à partir de l’ensemble des données, notée $\bar{x}$ dans l’expression du cours.
• Médiane : La médiane est une valeur centrale qui partage l’ensemble des données en deux groupes de même effectif.
• Étendue : L’étendue mesure la dispersion et vaut $\text{max}-\text{min}$.
• Fréquence : La fréquence est le ratio $\frac{effectif}{effectif\ total}$.
• Probabilité : La probabilité d’un événement se calcule par le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.

📝 Points essentiels

• Moyenne : $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$.
• Étendue : $\text{max}-\text{min}$.
• Fréquence : $f=\frac{effectif}{effectif\ total}$.
• Probabilité : $P(A)=\frac{cas\ favorables}{cas\ possibles}$.
• Bornes : $0\le P(A)\le 1$, avec $P=1$ pour l’événement certain et $P=0$ pour l’événement impossible.

💡 Astuce mémo

Dispersion = Étendue = max moins min ; hasard = Probabilité = favorable sur possible.

📖 7. Aires, périmètres et volumes

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire du rectangle : L’aire d’un rectangle est le produit de la longueur par la largeur, noté $A=L\times l$.
• Aire du triangle : L’aire d’un triangle est donnée par la moitié du produit $b\times h$.
• Aire du disque : L’aire d’un disque est calculée par $A=\pi r^2$.
• Périmètre du cercle : La circonférence du cercle est le périmètre du cercle et vaut $C=2\pi r$.
• Volume du cylindre : Le volume d’un cylindre est $V=\pi r^2h$, produit de l’aire de base par la hauteur.

📝 Points essentiels

• Rectangle : $A=L\times l$, triangle : $A=\frac{1}{2}bh$, et disque : $A=\pi r^2$.
• Cercle : $C=2\pi r$, et le cours donne aussi un exemple avec $r=3$ pour obtenir la circonférence.
• Pavé droit : $V=L\times l\times h$.
• Cylindre : $V=\pi r^2h$, où la base vaut $\pi r^2$ dans le cours.
• Sphère : $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ et le cours associe une valeur numérique pour $r=3.0$.

💡 Astuce mémo

Formules cœur : 2D = $\pi r^2$ (disque), 1D = $2\pi r$ (cercle), 3D cylindre/sphère = base en $abla$ puis hauteur/($\frac{4}{3}$) .

📖 8. Transformations et algorithmique

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie centrale : La symétrie centrale correspond à une rotation de 180°, avec un centre qui est le milieu du segment reliant un point à son image.
• Symétrie axiale : La symétrie axiale produit un effet miroir par rapport à un axe.
• Translation : Une translation est un déplacement suivant un vecteur.
• Rotation : Une rotation fait tourner une figure autour d’un centre avec un angle.
• Variable : Une variable en programmation stocke une valeur numérique réutilisable dans le calcul.

📝 Points essentiels

• Symétrie centrale : c’est une rotation de 180° et le centre est le milieu du segment reliant le point à son image.
• Symétrie axiale : l’image est obtenue par effet miroir par rapport à un axe.
• Translation : le déplacement se fait selon un vecteur.
• Rotation : la figure tourne autour d’un centre avec un angle.
• En algorithmique : une condition suit le schéma SI… ALORS…, et une boucle sert à répéter des actions.

💡 Astuce mémo

Repère les mots : translation = vecteur, rotation = angle autour d’un centre, symétrie = miroir (axe) ou demi-tour (centre).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Se tromper d’ordre de calcul fait échouer tout l’exercice : les parenthèses et puissances doivent être traitées avant les additions.
2. Garder un signe faux lors d’une addition de relatifs quand les signes sont différents conduit à une erreur immédiate.
3. Oublier de mettre au même dénominateur avec le PPCM pour additionner des fractions à dénominateurs différents.
4. Inverser les rapports dans Thalès (au lieu d’appliquer correctement l’égalité) casse la preuve de parallélisme.
5. En Pythagore, oublier le carré ou confondre l’hypoténuse $c$ avec un autre côté mène à une conclusion incorrecte.
6. Pour un antécédent, résoudre $f(x)=v$ et pas $f(v)=x : l’égalité doit porter sur l’expression de la fonction.
7. Confondre fréquences et probabilités : la fréquence utilise effectif/total, alors que la probabilité utilise cas favorables/cas possibles.

✅ Checklist Examen

1. Calculer correctement une expression en respectant l’ordre : parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions.
2. Traiter les nombres relatifs avec les règles de signe pour addition et pour produit/quotient.
3. Simplifier une fraction en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre.
4. Additionner/soustraire des fractions en utilisant le même dénominateur (PPCM) et la règle des numérateurs.
5. Manipuler les puissances avec $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.
6. Réduire une expression littérale en ne regroupant que les termes semblables.
7. Développer et factoriser avec la distributivité et les identités remarquables, y compris le facteur commun.
8. Résoudre une équation en appliquant la même opération aux deux côtés et en utilisant le produit nul si nécessaire.
9. Vérifier une proportionnalité avec $\frac{x}{y}=\text{constant}$ ou avec $ad=bc$, puis résoudre via le produit en croix.
10. Calculer une augmentation ou une réduction à l’aide de $1\pm\frac{t}{100}$ et savoir retrouver le pourcentage avec la formule du cours.
11. Appliquer Pythagore $a^2+b^2=c^2$ et sa réciproque pour reconnaître un triangle rectangle.
12. Utiliser Thalès et sa réciproque grâce à l’égalité de rapports sur segments alignés et parallèles.
13. Employer les formules trigonométriques du cours pour cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle.
14. Exploiter des fonctions : calculer une image $f(4)$ et trouver un antécédent en résolvant $f(x)=v$.