Comme une colonne formée par ses coordonnées
Explication
La matrice d’un vecteur dans une base est la colonne de ses coordonnées. Les coordonnées ne sont pas disposées en ligne dans cette définition.
Chaque colonne contient les coordonnées d’un vecteur de la famille
Explication
La matrice d’une famille place les coordonnées de chaque vecteur en colonne. Sa forme n’impose pas qu’elle soit carrée, ni qu’elle dépende d’un produit scalaire.
En écrivant les images des vecteurs de la base de départ dans la base d’arrivée
Explication
Les colonnes de la matrice sont les coordonnées des images des vecteurs de la base de départ, exprimées dans la base d’arrivée. C’est ce qui relie directement l’application à sa matrice.
La matrice identité
Explication
L’identité envoie chaque vecteur de base sur lui-même, donc sa matrice est l’identité. Ce n’est pas une matrice nulle ni une matrice de passage.
Le produit AX
Explication
Les coordonnées de l’image s’obtiennent par multiplication matricielle : Y = AX. Cela évite de recalculer l’application sur la décomposition complète du vecteur.
Elle permet d’obtenir directement les coordonnées de l’image sans recalculer toute la décomposition
Explication
La formule matricielle donne directement les coordonnées de l’image à partir de celles du vecteur de départ. La base d’arrivée reste nécessaire pour interpréter le résultat.
Par l’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul
Explication
Le noyau est l’ensemble des vecteurs x tels que f(x)=0. L’image, au contraire, regroupe les vecteurs atteignables par f.
Une application linéaire du plan
Explication
La rotation vectorielle du plan est une application linéaire. Sa matrice se déduit des images des vecteurs de base par la rotation.
Les dimensions doivent permettre la composition des applications correspondantes
Explication
Le produit de matrices représente la composition seulement lorsque les dimensions sont compatibles. La condition porte sur les espaces de départ et d’arrivée, pas sur la trace ni l’orthonormalité.
Exactement lorsque sa matrice associée est inversible
Explication
Pour des espaces de même dimension, bijectivité de l’application et inversibilité de la matrice associée sont équivalentes. Une matrice diagonale ou symétrique n’est pas forcément inversible.
La matrice de passage de B vers C
Explication
La matrice de passage de B vers C est définie précisément par les coordonnées dans B des vecteurs de C. Son inverse est la matrice de passage de C vers B.
X = PY
Explication
La relation entre les coordonnées est X = PY lorsque P est la matrice de passage de B vers C. L’égalité Y = PX inverse le sens de passage et est donc fausse ici.
La dimension de l’espace engendré par ses vecteurs colonnes
Explication
Le rang est la dimension de l’espace engendré par les colonnes de la matrice. Ce n’est pas le nombre de coefficients non nuls ni la dimension du noyau.
dim(Ker A) + dim(Im A) = p
Explication
Le théorème du rang matriciel affirme que la somme des dimensions du noyau et de l’image vaut le nombre de colonnes, donc p. La taille n intervient pour majorer le rang, mais pas dans cette égalité.
Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Maîtrise des matrices et applications linéaires.
Vecteur — représentation matricielle ?
Colonne de coordonnées dans une base.
Famille de vecteurs — matrice associée ?
Matrice dont chaque colonne est un vecteur de la famille.
Matrice d’une application — rôle ?
Représente l’image des vecteurs de base dans une autre base.
Consultez la fiche de révision complète sur Maîtrise des matrices et applications linéaires.
Voir la fiche →Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.
Générateur de QCM