Fiche de révision : Maîtrise des proportions, évolutions et factorisations

📋 Plan du Cours

1. Proportions et pourcentages
2. Évolutions et variations
3. Développer et factoriser
4. Calculs avec des fractions
5. Résolution d’équations
6. Puissances et notation scientifique

📖 1. Proportions et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : La proportion exprime une part d’un ensemble, égale au nombre de cas favorables divisé par l’effectif total.
• Pourcentage : Un pourcentage est une proportion exprimée sur 100, donc un coefficient multiplié par 100.

📝 Points essentiels

• Le passage proportion → pourcentage se fait en multipliant la proportion par 100, comme p = 94/400 = 0,235 = 23,5%.
• Le nombre correspondant à une proportion p s’obtient par n = p × N, par exemple 3/8 de 400 donne 150 non satisfaits.
• Une proportion peut s’écrire sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage (0,235 ; 94/400 ; 23,5%).

💡 Astuce mémo

Proportion = part / total ; Pourcentage = proportion × 100.

📖 2. Évolutions et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’évolution : Le taux d’évolution mesure la variation relative entre une valeur de départ et une valeur d’arrivée, sous forme fractionnaire puis décimale.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur c permet d’obtenir une valeur finale en multipliant la valeur de départ par c.
• Évolution réciproque : L’évolution réciproque correspond au coefficient à appliquer pour revenir à la valeur initiale après une évolution donnée.

📝 Points essentiels

• Augmenter de t% revient à multiplier par c = 1 + t/100, par exemple +12,5% donne c = 1,125.
• Diminuer de t% revient à multiplier par c = 1 − t/100, par exemple −8% donne c = 0,92.
• Le taux associé à un coefficient c vaut t = c − 1, donc c = 1,03 correspond à +3%.
• Pour plusieurs évolutions successives, on multiplie les coefficients : le taux global est c_global − 1, comme 1,12×1,08−1 = 20,96%.
• Pour retrouver une valeur initiale après une diminution, le coefficient réciproque vérifie c × c′ = 1, donc si c = 0,82 alors c′ = 1/0,82 ≈ 1,22 et t′ ≈ 22%.

💡 Astuce mémo

Coefficients : successifs → on multiplie ; pour revenir → on prend l’inverse (c′ = 1/c).

📖 3. Développer et factoriser

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme ou différence en supprimant les parenthèses.
• Factoriser : Factoriser une expression consiste à transformer une somme ou une différence en un produit.
• Distributivité : La distributivité relie produit et somme, par exemple k(a+b)=ka+kb et (a+b)(c+d) se développe en combinant chaque terme.
• Identités remarquables : Les identités remarquables donnent des formes développées ou factorisées standards pour (a±b)^2 et (a+b)(a−b).

📝 Points essentiels

• Quand une parenthèse est précédée d’un signe moins, développer revient à multiplier par −1 et à changer tous les signes à l’intérieur.
• Factoriser par facteur commun consiste à repérer le terme commun, le mettre devant, puis regrouper le reste dans un crochet.
• Pour factoriser (a+b)(a−b), on peut utiliser l’identité a^2 − b^2, comme (x−3−7)(x−3+7) = (x−10)(x+4).
• Les identités : (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 et (a−b)^2 = a^2−2ab+b^2, et (a+b)(a−b)=a^2−b^2.
• Exemple utile : (−6x−4)−(5x−4) = (−6x−4) + (−5x+4) = −11x en changeant les signes de la parenthèse soustraite.

💡 Astuce mémo

Développer : parenthèses → somme/différence ; Factoriser : somme/différence → parenthèses (produit).

📖 4. Calculs avec des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions sur un même dénominateur : Pour ajouter ou soustraire des fractions, on transforme les fractions pour qu’elles aient un dénominateur commun.
• Produit de fractions : Multiplier des fractions revient à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Division de fractions : Diviser des fractions revient à multiplier par l’inverse de la fraction du diviseur.

📝 Points essentiels

• Pour addition/soustraction : on met au même dénominateur, le dénominateur commun étant le produit des deux dénominateurs utilisés.
• Pour addition/soustraction, chaque numérateur est multiplié par le dénominateur de l’autre fraction, puis on effectue la somme ou différence.
• Multiplier : (num1/den1)×(num2/den2) = (num1×num2)/(den1×den2).
• Diviser : (num1/den1) ÷ (num2/den2) = (num1/den1)×(den2/num2), donc on inverse la fraction du diviseur.
• Exemple : A = (x−3)/3 × 6/5 se simplifie en 2(x−3)/5 après multiplication des numérateurs et dénominateurs.

💡 Astuce mémo

Ajouter : dénominateur commun ; Multiplier : num×num et den×den ; Diviser : multiplier par l’inverse.

📖 5. Résolution d’équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation produit nul : Une équation produit nul est une équation où un produit de facteurs est égal à 0.
• Équation du type x2 = a : Une équation du type x^2=a se résout par extraction de racine carrée quand a est positif ou nul.

📝 Points essentiels

• Règle produit nul : si (f(x)×g(x))=0 alors f(x)=0 ou g(x)=0.
• Méthode : tout mettre à gauche, factoriser (commun ou identité), puis appliquer la règle du produit nul.
• Pour (2x−1)^2−25=0 : on factorise en (2x−6)(2x+4)=0 puis on obtient x=3 ou x=−2.
• Équation x2 = a : solutions x = √a et x = −√a si a ≥ 0.
• Si a est négatif dans x2 = a, il n’y a pas de solution réelle car un carré est toujours positif ou nul.

💡 Astuce mémo

Produit nul : 0 est la faute de l’un des facteurs ; Carré = a : on prend ±√a si a ≥ 0.

📖 6. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance d’exposant naturel : Pour n entier naturel, a^n représente le produit de n facteurs égaux à a.
• Puissance d’exposant négatif : Pour a ≠ 0 et n entier naturel non nul, a^(-n) correspond à l’inverse de a^n.
• Notation scientifique : En notation scientifique, un nombre s’écrit a×10^n avec 1≤|a|<10 et n entier relatif.

📝 Points essentiels

• Rappels : a^0 = 1 et a^n = a×a×…×a (n termes), et a^(-n)=1/a^n.
• Règle exposants identiques : si a est le même, a^n×a^m = a^(n+m).
• Règle division : a^n/a^m = a^(n−m) quand ces expressions sont définies.
• Puissances de puissances : (a^n)^m = a^(n×m).
• Puissances et écriture scientifique : 546,7×10^9 = 5,467×10^11 et 0,045×10^(-3)=4,5×10^(-5).

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne/ soustrait les exposants ; Même exposant : on multiplie les bases puis on garde l’exposant.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la proportion (sur l’effectif total) et le pourcentage (proportion × 100).
2. Appliquer 1−t% au lieu de 1+t% pour une hausse, ce qui inverse le sens de l’évolution.
3. Oublier que pour retrouver la valeur initiale, il faut utiliser un coefficient réciproque tel que c′=1/c plutôt que de changer juste le signe du taux.
4. Développer une soustraction sans changer tous les signes à l’intérieur de la parenthèse précédée d’un moins.
5. Factoriser sans repérer un facteur commun ou une identité remarquable, au lieu de chercher à tout développer.
6. Ajouter ou soustraire des puissances directement comme si on pouvait faire n^a+n^b, alors qu’il faut d’abord factoriser ou transformer.

✅ Checklist Examen

1. Transformer une situation en proportion puis en pourcentage en calculant p = cas / total.
2. Retrouver un effectif manquant à partir d’une proportion donnée, en utilisant n = p×N.
3. Calculer une proportion d’une proportion en multipliant les pourcentages/coefficients relatifs successifs (0,78×0,65).
4. Passer d’un taux d’évolution à un coefficient multiplicateur : +t% → 1+t/100 et −t% → 1−t/100.
5. Calculer une valeur finale après une évolution en multipliant par le coefficient correspondant.
6. Calculer la valeur initiale à partir d’une valeur finale et d’un coefficient en divisant par ce coefficient.
7. Calculer un taux d’évolution à partir de deux valeurs Q1 et Q2 avec t = (Q2−Q1)/Q1 puis donner le pourcentage.
8. Calculer un taux global pour des évolutions successives en multipliant les coefficients puis en prenant t_global = c_global−1.
9. Trouver la variation réciproque avec c×c′=1 et en déduire le taux réciproque t′=c′−1.
10. Développer correctement quand une parenthèse est précédée d’un signe moins en changeant tous les signes internes.
11. Factoriser par facteur commun sous forme (facteur commun)×(reste dans un crochet).
12. Utiliser les identités remarquables pour factoriser sans développer tout l’expresssion.
13. Ajouter ou soustraire des fractions en mettant au même dénominateur (produit des deux dénominateurs si utilisé).
14. Multiplier et diviser des fractions en appliquant numérateurs×numérateurs et diviseur inversé pour la division.