Fiche de révision : Mathématiques fondamentales pour l'école

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et proportionnalité
2. Factorisation et identités remarquables
3. Moyennes pondérées
4. Vitesse, temps et distance
5. Divisibilité et calculs entiers
6. Effectifs et nombres à deux chiffres

📖 1. Pourcentages et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage exprime une proportion sur 100 et sert à comparer des quantités entre elles.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur transforme une quantité de départ en tenant compte d’une variation exprimée en pourcentage.
• Pourcentage d’une partie : Le pourcentage d’une partie se calcule en rapportant l’effectif de la partie à l’effectif total, puis en multipliant par 100.

📝 Points essentiels

• Une diminution de 5 % multiplie la quantité par 0,95 (car on garde 95 % du total).
• Dans une classe de 25 élèves avec 10 filles, il y a 15 garçons, soit 60 % de garçons.

💡 Astuce mémo

Diminution de p % → on garde (100 − p) % → multiplicateur (100−p)/100.

📖 2. Factorisation et identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Factoriser consiste à réécrire une expression comme le produit de facteurs.
• Identité remarquable : Une identité remarquable est une égalité standard qui permet de transformer et factoriser rapidement des expressions.
• Développement algébrique : Développer consiste à supprimer les parenthèses en réécrivant une expression sous forme développée.

📝 Points essentiels

• Pour A = (x+4)² + (x−4)(x+4) + 2x + 8, on obtient A = 2(x+4)(x+1).
• (4x−5)² + (4x+5) vaut 16x² − 36x + 30 (réponse d).

💡 Astuce mémo

Si tu vois (x+a)² ou (x−a)(x+b), cherche d’abord le regroupement par produits/sommes.

📖 3. Moyennes pondérées

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne pondérée : Une moyenne pondérée combine plusieurs valeurs en utilisant des coefficients comme “poids”.
• Coefficients : Les coefficients indiquent la contribution relative de chaque valeur dans une moyenne pondérée.
• Somme pondérée : La somme pondérée est la somme de toutes les valeurs multipliées par leurs coefficients.

📝 Points essentiels

• Pour notes 15, 18, 12, 15 avec coefficients 2, 1, 1, 2, la moyenne pondérée vaut 15 (90 divisé par 6).
• Pour des tailles 15 élèves à 1,65 m et 10 élèves à 1,75 m, la moyenne vaut 1,69 m (42,25 divisé par 25).

💡 Astuce mémo

Moyenne pondérée = somme des (valeur × coefficient) divisée par somme des coefficients.

📖 4. Vitesse, temps et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse : La vitesse relie distance et temps : elle indique combien de distance est parcourue par unité de temps.
• Temps de parcours : Le temps de parcours correspond à la durée nécessaire pour parcourir une distance à une vitesse donnée.
• Trajet fractionné : Un trajet fractionné découpe la distance en portions parcourues à des vitesses différentes, puis on additionne les temps.

📝 Points essentiels

• Sur 200 km, avec 100 km à 100 km/h puis 100 km à 120 km/h, le temps total vaut 1 h 50 (1 h + 5/6 h).
• À 120 km/h, parcourir 90 km prend 45 minutes (0,75 h).

💡 Astuce mémo

Vitesse → temps = distance / vitesse ; trajet fractionné → on additionne les temps.

📖 5. Divisibilité et calculs entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier A est divisible par B si A = B × un autre entier, sans reste.
• PGCD : Le PGCD est le plus grand entier qui divise simultanément tous les nombres d’une liste.
• PPCM : Le PPCM est le plus petit entier strictement positif divisible par tous les nombres d’une liste.
• Année bissextile : Une année est bissextile pour qu’elle ait un 29 février, selon des règles de divisibilité par 4, 100 et 400.

📝 Points essentiels

• 2024 n’est pas divisible par 3 ni 5, mais il est divisible par 11 (réponse c).
• PGCD(135 ; 210 ; 75) = 15 (réponse b).
• PPCM(12 ; 34 ; 51) = 204 (réponse a).
• Parmi 1800, 1900, 1947, 2014 et 2016, la seule année bissextile est 2016 (réponse e).

💡 Astuce mémo

Rappels : PGCD = “plus grand commun”, PPCM = “plus petit commun multiple”, et pour les bissextiles : 4 puis exception 100 puis retour avec 400.

📖 6. Effectifs et nombres à deux chiffres

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : Un effectif est un nombre d’éléments observés (par exemple le nombre d’élèves d’une catégorie).
• Système d’équations : Un système est un ensemble de plusieurs équations à résoudre ensemble pour trouver les inconnues.
• Nombre à deux chiffres : Un nombre à deux chiffres s’écrit sous la forme 10a + b, où a est le chiffre des dizaines et b celui des unités.
• Médiane dans un triangle : La médiane issue d’un sommet relie ce sommet au milieu du côté opposé, et sa longueur se calcule avec les côtés du triangle.

📝 Points essentiels

• Dans un sac de 250 billes, si les jaunes sont 18 de plus que les vertes, alors il y a 134 billes jaunes et 116 billes vertes (réponse b).
• Dans une classe de 60 élèves, si les garçons sont 8 de moins que les filles, alors il y a 34 filles et 26 garçons (réponse b).
• Avec AB = 7 cm, AC = 5 cm, BC = 4 cm et I milieu de [BC], on obtient AI = √33 (réponse a).
• Je suis un nombre à deux chiffres : en permutant ses chiffres, on obtient un nombre inférieur à ma moitié diminuée de 1 ; le nombre correspondant est 62 (réponse d).

💡 Astuce mémo

Tandis que “total = somme” et “écart = différence” → tu poses deux équations avec deux inconnues.

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre une diminution de 5 % avec un multiplicateur de 1,05 au lieu de 0,95.
2. Oublier que la moyenne pondérée divise par la somme des coefficients, pas par le nombre de valeurs.
3. Additionner des distances au lieu d’additionner les temps quand le trajet est fait en deux vitesses.
4. Se tromper sur la divisibilité par 11 en utilisant une autre règle que le calcul d’alternance.
5. Mélanger PGCD et PPCM : le premier est “max des diviseurs communs”, le second “min des multiples communs”.
6. Rater une année bissextile en appliquant uniquement “divisible par 4” sans tenir compte des exceptions de 100 et du retour avec 400.
7. Poser un système d’effectifs avec total et différence inversés entre les deux inconnues.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner le multiplicateur pour une diminution de 5 % et sélectionner la bonne valeur.
2. Factoriser une expression en regroupant correctement les termes (exemple avec A = (x+4)² + (x−4)(x+4) + 2x + 8).
3. Développer et simplifier des expressions contenant des carrés comme (4x−5)² + (4x+5).
4. Calculer une moyenne pondérée à partir d’un tableau valeurs/coefficient.
5. Choisir le résultat de moyenne pondérée pour des notes avec coefficients donnés.
6. Calculer le temps total d’un trajet fractionné en deux portions à vitesses différentes.
7. Convertir une durée en heures et minutes quand le résultat n’est pas un nombre entier d’heures.
8. Trouver un pourcentage à partir de l’effectif total et de l’effectif d’une partie (exemple garçons/filles).
9. Tester la divisibilité demandée pour un nombre (3, 5, 11) et sélectionner la bonne proposition.
10. Calculer un PGCD à partir de trois entiers et choisir la valeur correcte.
11. Calculer un PPCM à partir de plusieurs entiers et choisir la valeur correcte.
12. Identifier l’unique année bissextile parmi des années proposées.
13. Résoudre un problème d’effectifs avec deux inconnues liées par un total et une différence.
14. Calculer une longueur du type AI quand I est le milieu d’un côté, à partir des longueurs données.