Fiche de révision : Mécanique des fluides

📋 Plan du Cours

1. États et propriétés des fluides
2. Pression et hydrostatique
3. Poussée et masse volumique
4. Tension superficielle et capillarité
5. Osmose et pression osmotique
6. Débit et continuité
7. Bernoulli et écoulements idéaux
8. Viscosité et écoulements réels
9. Pertes de charge et Poiseuille

📖 1. États et propriétés des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression : La pression est une force exercée perpendiculairement à une surface de contact.

★ À maîtriser

📌 Les solides possèdent une structure ordonnée, tandis que les liquides et les gaz possèdent une structure désordonnée.

📐 Formule — La pression uniforme vérifie $P=\frac{F}{S}$.

Compléments

📐 Formule — Dans une presse hydraulique, les pressions sont égales et vérifient $\frac{F_2}{S_2}=\frac{F_1}{S_1}$.

💡 Astuce mémo

Structure ordonnée : solide ; structure désordonnée : liquide ou gaz

📖 2. Pression et hydrostatique

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un fluide homogène soumis à la pesanteur, la pression vérifie $\Delta P=-\rho g\Delta Z$ lorsque l’axe vertical est orienté vers le haut.

• Le paradoxe hydrostatique indique qu’à surfaces de fond identiques et hauteurs d’eau identiques, la force de pression est indépendante de la forme du récipient.

💡 Astuce mémo

Profondeur accrue → pression accrue

📖 3. Poussée et masse volumique

🔑 Notions clés & Définitions

• Masse volumique : La masse volumique est le rapport de la masse d’un corps à son volume, soit $\rho=\frac{m}{V}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La poussée d’Archimède vaut $F_{PA}=\rho gV$, où ρ est la masse volumique du fluide déplacé et V le volume de l’objet.

Compléments

• À 20 °C et sous 1013 hPa, les masses volumiques sont:
  • 998 kg/m³ pour l’eau
  • 918 kg/m³ pour l’huile d’olive
  • 13 546 kg/m³ pour le mercure
  • 1,205 kg/m³ pour l’air sec
  • 0,085 kg/m³ pour l’hydrogène

📐 Formule — La densité est le rapport de la masse volumique du corps à celle d’une masse volumique de référence, soit $d=\frac{\rho}{\rho_{ref}}$.

💡 Astuce mémo

Masse volumique : masse par volume ; densité : rapport à une référence

📖 4. Tension superficielle et capillarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension superficielle : La tension superficielle est une grandeur intensive propre aux liquides qui relie l’énergie fournie à l’accroissement de leur surface.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le travail nécessaire pour accroître une surface vérifie $dW=\sigma dS$, et la tension superficielle s’exprime en N/m.

📐 Formule — La surpression dans une goutte d’eau vaut $\Delta P=\frac{2\sigma}{R}$.

📐 Formule — La loi de Jurin donne la hauteur capillaire $h=\frac{2\sigma\cos(\alpha)}{\rho ge}$ dans un tube de rayon e.

💡 Astuce mémo

Surface → goutte → mouillage → capillarité

📖 5. Osmose et pression osmotique

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression osmotique : La pression osmotique apparaît lorsqu’une différence de concentration existe de part et d’autre d’une membrane.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une solution diluée, la loi de Van t’Hoff donne $\pi=R[c]T$.

📌 Dans un milieu hypotonique, l’eau entre dans les cellules végétales par osmose et provoque leur turgescence, tandis que dans un milieu hypertonique l’eau sort des cellules et provoque leur plasmolyse.

💡 Astuce mémo

Milieu hypotonique → turgescence ; milieu hypertonique → plasmolyse

📖 6. Débit et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Débit : Le débit est le quotient de la quantité de fluide traversant une section droite par la durée de l’écoulement.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les débits massique et volumique vérifient $q_m=\frac{\Delta m}{\Delta t}$, $q_v=\frac{\Delta V}{\Delta t}$ et $q_m=\rho q_v$.

📐 Formule — En régime stationnaire, le débit volumique est conservé dans un tube de courant et vérifie $q_{v1}=q_{v2}$.

📐 Formule — Le débit volumique vérifie $q_v=Sv$, et l’équation de continuité s’écrit $v_{1moy}S_1=v_{2moy}S_2$.

💡 Astuce mémo

Section réduite → vitesse accrue

📖 7. Bernoulli et écoulements idéaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime stationnaire : Un écoulement est permanent ou stationnaire lorsque ses paramètres caractéristiques, notamment la pression, la température, la vitesse et la masse volumique, restent constants au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Bernoulli s’écrit $P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2=\mathrm{cte}$ pour un écoulement idéal.

📐 Formule — Le théorème de Torricelli donne la vitesse d’écoulement par un orifice $v=\sqrt{2gz}$ lorsque la pression est atmosphérique aux deux points et que la vitesse initiale est négligeable.

Compléments

📐 Formule — Pour un écoulement sans pompe ni machine, $\frac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2)+\rho g(z_2-z_1)+(p_2-p_1)=0$.

💡 Astuce mémo

Pression + pesanteur + vitesse = énergie constante

📖 8. Viscosité et écoulements réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Viscosité dynamique : La viscosité dynamique μ caractérise les frottements entre couches de fluide et s’exprime en Pa·s.

★ À maîtriser

📌 Dans un régime laminaire, les couches de fluide glissent sans se mélanger, tandis que dans un régime turbulent les lignes de courant se coupent et des tourbillons apparaissent.

📐 Formule — Dans une canalisation cylindrique, le nombre de Reynolds vaut $Re=\frac{\rho vD}{\mu}=\frac{vD}{\nu}$ ; l’écoulement est laminaire si Re < 2000, intermédiaire si 2000 < Re < 3000 et turbulent si Re > 3000.

Compléments

📐 Formule — La viscosité cinématique vérifie $\nu=\frac{\mu}{\rho}$ et s’exprime en m²/s.

💡 Astuce mémo

Laminaire : couches parallèles ; turbulent : tourbillons

📖 9. Pertes de charge et Poiseuille

★ À maîtriser

📌 Les pertes de charge régulières proviennent des frottements, de la rugosité de la conduite et de la viscosité, tandis que les pertes singulières proviennent des changements de direction et des obstacles.

📐 Formule — La perte de charge vérifie $P_1+\rho gz_1+\frac{1}{2}\rho v_{moy1}^2=P_2+\rho gz_2+\frac{1}{2}\rho v_{moy2}^2+\Delta P_c$.

📐 Formule — Pour un écoulement laminaire dans une canalisation cylindrique, la loi de Poiseuille donne $q_v=\frac{\pi D^4}{128\mu}\frac{\Delta P_c}{L}$.

Compléments

📐 Formule — La résistance hydraulique est définie par $R_h=\frac{\Delta P}{q_v}=\frac{128\mu L}{\pi D^4}=\frac{8\mu L}{\pi R^4}$.

💡 Astuce mémo

Viscosité et frottements → pertes de pression

📊 Tableaux de synthèse

Régimes d’écoulement