Fiche de révision : Mécanique du mouvement en 2D

📋 Plan du Cours

1. Lois du mouvement d’Aristote
2. Lois de Galilée et chute des corps
3. Variables cinématiques et unités
4. Vitesse et accélération moyennes
5. Équations du mouvement
6. Mouvement à deux dimensions
7. Saut vertical et méthode de Bosco
8. Détente verticale et performances
9. Trajectoire symétrique et trigonométrie
10. Relativité galiléenne et simultanéité

📖 1. Lois du mouvement d’Aristote

🔑 Notions clés & Définitions

• Impétus : Notion aristotélicienne selon laquelle un mouvement se maintient tant qu’une force d’impulsion l’entretient.
• Corps graves : Catégorie de corps dite naturellement attirée vers le bas dans le cadre aristotélicien.
• Corps légers : Catégorie de corps dite naturellement attirée vers le haut dans le cadre aristotélicien.

📝 Points essentiels

• Dans le modèle d’Aristote, un corps immobile ne se met en mouvement que s’il reçoit un impétus.
• Quand l’impétus cesse, le mouvement horizontal s’arrête et le vase ne se déplace plus.
• Pour la direction verticale, les corps graves (terre et eau) vont naturellement vers le bas.
• Les corps légers (air et feu) vont naturellement vers le haut.

💡 Astuce mémo

Impétus = “on pousse et ça continue”, sinon ça s’arrête.

📖 2. Lois de Galilée et chute des corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Galilée : Savant associé à l’idée que la chute a une accélération constante et que l’évolution verticale est régulière.
• Accélération constante : Propriété d’un mouvement où la variation de vitesse au cours du temps suit une loi régulière.
• Indépendance horizontal vertical : Idée de décomposition du mouvement où la dynamique horizontale n’influence pas la dynamique verticale.

📝 Points essentiels

• Galilée associe la chute à une progression régulière, interprétée comme un mouvement à accélération constante.
• Les corps tombent avec la même progression si l’action perturbatrice (comme la friction) est négligée.
• Le mouvement vertical n’est pas influencé par le mouvement horizontal et vice-versa.
• Pour un exemple de modèle, on prend $g\approx-10\,\text{m·s}^{-2}$ avec signe négatif si le haut est choisi comme sens positif.

💡 Astuce mémo

Vertical = “accélération constante” avec $g$ (signe selon l’axe), horizontal = “à vitesse constante” (si négligé).

📖 3. Variables cinématiques et unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Position $x$ : Variable cinématique mesurant l’emplacement instantané d’un mobile selon l’axe choisi.
• Vitesse $v$ : Variable cinématique représentant la dérivée temporelle de la position, exprimée en m·s$^{-1}$.
• Accélération $a$ : Variable cinématique mesurant la variation de la vitesse au cours du temps, exprimée en m·s$^{-2}$.
• Vitesse moyenne $v_{moy}$ : Valeur moyenne de la vitesse calculée à partir d’un déplacement total et d’une durée totale.
• Accélération moyenne $a_{moy}$ : Valeur moyenne de l’accélération calculée à partir d’un changement de vitesse et d’une durée.

📝 Points essentiels

• $x$ est la position instantanée en mètres [$m$] et $t$ la durée en secondes [$s$], avec l’hypothèse $t_0=0$.
• La conversion donnée est $1\,\text{m·s}^{-1}=3{,}6\,\text{km·h}^{-1}$ (et donc $1\,\text{km·h}^{-1}=\tfrac{1}{3{,}6}\,\text{m·s}^{-1}$).
• $v_{moy}=\dfrac{X_1-X_0}{t}$ est valable quel que soit le changement de vitesse et d’accélération pendant le trajet.
• $a_{moy}=\dfrac{V_1-V_0}{t}$ est valable quel que soit le changement de vitesse et d’accélération pendant le trajet.

💡 Astuce mémo

Déplacement → $v_{moy}$, changement de vitesse → $a_{moy}$, et tout se divise par le même $t$.

📖 4. Vitesse et accélération moyennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse moyenne : Grandeur moyenne liée au déplacement total entre $X_0$ et $X_1$ sur la durée $t$.
• Accélération moyenne : Grandeur moyenne liée au passage de $V_0$ à $V_1$ sur la durée $t$.
• Vitesse à vitesse constante : Cas où $V$ ne varie pas dans le temps, conduisant à une accélération nulle.
• Accélération nulle : Condition de mouvement à vitesse constante quand la variation de vitesse vaut zéro.

📝 Points essentiels

• Dans le cas $V=\text{cste}$, on a $A=0$ et la trajectoire suit $X_1=X_0+V\,t$.
• Pour $V=\text{cste}$, $V=\dfrac{X_1-X_0}{t}$ donne directement la vitesse identique partout.
• Pour $A=\text{cste}$, on utilise $a_{moy}=\dfrac{V_1-V_0}{t}$ pour caractériser le changement total de vitesse.
• Les formules de $v_{moy}$ et $a_{moy}$ restent valables même si $v$ et $a$ varient pendant l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Vitesse constante → $A=0$ ; accélération constante → $a_{moy}$ devient cohérente avec la loi du mouvement.

📖 5. Équations du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement à vitesse constante : Cas où la position varie linéairement avec le temps et où l’accélération est nulle.
• Mouvement à accélération constante : Cas où la vitesse varie de façon régulière et où la position suit une relation quadratique.
• Équation 1 : Relation reliant $t$, $V_1$, $V_0$ et $A$ pour un mouvement à accélération constante.
• Équation 2 : Relation reliant $X_1-X_0$ et la vitesse moyenne (combinaison de $V_0$ et $V_1$) sur $t$.
• Équation 3 : Relation quadratique entre la différence de positions et la différence de vitesses au cours d’un mouvement à accélération constante.

📝 Points essentiels

• Pour un mouvement à vitesse constante : $X=X_0+V_0\,t$ et, équivalemment, $X_1=X_0+V\,t$.
• Pour un mouvement à accélération constante : $A=\dfrac{V_1-V_0}{t}$.
• Pour un mouvement à accélération constante : $X_1=X_0+V_0\,t+\tfrac{1}{2}A\,t^2$.
• La relation donnant $X_1-X_0$ en fonction des vitesses est $X_1-X_0=\dfrac{V_1^2-V_0^2}{2A}$ (pour $A\neq0$).
• On combine aussi $\dfrac{X_1-X_0}{t}=\dfrac{V_1+V_0}{2}$ pour relier position et vitesses.

💡 Astuce mémo

Accélération constante → $X(t)$ quadratique : $+\tfrac{1}{2}A t^2$.

📖 6. Mouvement à deux dimensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement combiné : Situation où le mobile suit simultanément un mouvement horizontal et un mouvement vertical.
• Chute des corps (sans frottement) : Hypothèse où la friction de l’air est négligée, permettant d’utiliser une décomposition simple.
• Temps commun : Durée identique utilisée pour les équations horizontales et verticales dans un même épisode de trajectoire.
• Décomposition horizontale/verticale : Méthode qui traite séparément les variables et équations dans chaque direction.

📝 Points essentiels

• Dans le modèle utilisé, le mouvement horizontal est à vitesse constante tandis que le mouvement vertical est à accélération constante $g$.
• On décompose le problème en résolvant séparément les directions en utilisant le même temps $t$ comme variable commune.
• Recette : tracer la trajectoire pendant la phase aérienne et choisir les sens positifs pour les axes avant de poser les signes.
• Recette : au point 0 et au point 1, on remplit un bilan des variables connues et inconnues, avec valeurs négatives si le sens de l’axe est opposé au sens positif choisi.
• Recette : en vertical, on cherche l’équation à une seule inconnue parmi les trois : $a_{moy}$, $X_1=X_0+V_0t+\tfrac{1}{2}a_{moy}t^2$, ou X_1-X_0=\dfrac{V_1^2-V_0^2}{2a_{moy}.
• En horizontal, on résout typiquement $V_{hor}=\dfrac{X_1-X_0}{t}$ puis on réutilise le même $t$ trouvé en vertical si nécessaire.

💡 Astuce mémo

Deux équations, un seul $t$ : tu “couples” horizontal et vertical par la durée.

📖 7. Saut vertical et méthode de Bosco

🔑 Notions clés & Définitions

• Squat jump : Exemple de saut vertical utilisé pour illustrer le modèle de chute sans frottement pendant la phase aérienne.
• Trajectoire symétrique : Configuration où le mobile décolle et atterrit à la même hauteur, menant à des relations simples sur les vitesses.
• Méthode de Bosco : Procédure de mesure via une plateforme de contact reliant le temps de vol à la détente verticale.
• Plateforme de contact : Dispositif qui fournit la mesure du temps de vol $t_{vol}$ pour calculer $h_{max}$.

📝 Points essentiels

• Pendant la phase aérienne (air négligé), le modèle utilise une accélération moyenne $a_{moy}=-g$ en vertical.
• Pour une trajectoire symétrique sans friction, le temps pour atteindre le sommet est $t_{1'}=t_{vol}/2$.
• Pour une trajectoire symétrique, l’élévation maximale vaut $h_{max}=g\,t_{vol}^2/8$.
• La vitesse verticale au décollage vaut $V_{décollage}=g\,t_{vol}/2$.
• La méthode de Bosco relie $h_{max}$ et $V_{décollage}$ au temps de vol mesuré via la plateforme.

💡 Astuce mémo

Bosco : mesure $t_{vol}$ → $h_{max}$ avec $/8$ et $V_{décollage}$ avec $/2$.

📖 8. Détente verticale et performances

🔑 Notions clés & Définitions

• Index BW (%) : Indice de performance exprimé en pourcentage du poids corporel pour le squat jump et le countermovement jump.
• SJ : Abréviation du squat jump dans le tableau de performance.
• CMJ : Abréviation du countermovement jump dans le tableau de performance.

📝 Points essentiels

• Exemple chiffré : pour un record avec $t_{vol}=0{,}99\,s$, $h_{max}=9{,}81\times 0{,}99^2/8\approx1{,}20\,m$.
• Pour ce même exemple : $V_{décollage}=9{,}81\times 0{,}99/2\approx4{,}86\,m/s$.
• Table SJ/CMJ hommes (national, 100 m) : 45 à 50 (BW %).
• Table SJ/CMJ femmes (national, 400 m) : 35 à 40 (BW %).

💡 Astuce mémo

Performance mesurée via le temps de vol : plus $t_{vol}$ augmente, plus $h_{max}$ croît comme $t_{vol}^2$.

📖 9. Trajectoire symétrique et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle $\alpha$ : Angle de lancement utilisé pour relier les composantes du vecteur vitesse à la trajectoire.
• Tronc commun trigonométrique : Règles SOHCAHTOA reliant sinus, cosinus et tangente aux longueurs d’un triangle rectangle.
• Décomposition d’un vecteur en 2D : Procédure qui sépare la vitesse selon l’horizontale et la verticale à partir de l’angle.
• Trajectoire symétrique sans friction : Cas en 2D où la friction de l’air est négligée et où le sommet suit une symétrie entre décollage et atterrissage.

📝 Points essentiels

• Avec $\alpha$, on prend $V_{0hor}=V_0\cos(\alpha)$ et $V_{0ver}=V_0\sin(\alpha)$ avant d’appliquer les équations de mouvement.
• En utilisant l’égalité des temps horizontal et vertical, on obtient $X_{hor}=\dfrac{V_0^2\,\sin(2\alpha)}{g}$ pour la longueur horizontale.
• La longueur de côté adjacente et opposée permet la relation $\sin(\alpha)=O/H$ et $\cos(\alpha)=A/H$ (selon le triangle défini).
• Le cas symétrique vérifie aussi $X_h=\dfrac{V_{tot}^2\,\sin(2\alpha)}{g}$ et la hauteur maximale vaut $X_{ver,max}=g\,t_{vol}^2/8$.
• Dans ce cas particulier, le texte indique une attention : les valeurs sont positives, y compris $g$, même si les signes usuels dépendent du choix d’axe.

💡 Astuce mémo

La portée dépend de $\sin(2\alpha)$ : maximal quand $2\alpha$ est grand (donc $\alpha$ proche de $45^\circ$ dans le cadre idéal).

📖 10. Relativité galiléenne et simultanéité

🔑 Notions clés & Définitions

• Tout est relatif : Idée selon laquelle il n’existe pas de référentiel (de vitesse) absolu pour décrire le mouvement.
• Évènements simultanés : Deux faits sont comparés via le même repère temporel local quand les horloges indiquent le même instant.
• Référentiel local avec horloge : Méthode où un observateur à un point utilise une horloge pour associer un temps aux évènements voisins.

📝 Points essentiels

• Le texte affirme que sans conventions préalables, on ne peut pas comparer chronologiquement des évènements en des lieux différents (A vs B).
• Il illustre qu’annoncer l’arrivée à une heure revient à relier l’instant de l’aiguille à la simultanéité avec l’évènement.
• Avec deux horloges identiques placées en A et B, chaque observateur peut estimer le temps local des évènements proches de sa propre horloge.
• Le texte rappelle aussi une exception : la lumière a toujours la même vitesse.

💡 Astuce mémo

Sans convention : A et B ne se comparent pas temporellement ; avec horloge locale : oui.

📅 Repères chronologiques

1. -384 à -322Période attribuée à Aristote pour les lois du mouvement
2. 1564 à 1642Période attribuée à Galilée pour les lois du mouvement et la chute des corps
3. 1638Publication citée : Discorsi e Dimonstrazioni matematiche intorno a due scienze attenanti alla mecanica ed i movimenti locali
4. 1905Inscription “Annus Mirabilis” associée à la discussion sur la relativité
5. 1974Référence : Assmussen & Bond Petersen 1974 pour la relation de hauteur/temps de vol

📊 Tableaux de synthèse

Aristote vs Galilée (mouvement)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le signe de $g$ : le texte prend $g\approx-10\,\text{m·s}^{-2}$ si le sens positif est vers le haut.
2. Croire que l’horizontal et le vertical s’influencent ; ici ils sont traités comme indépendants avec le même temps $t$.
3. Appliquer $X=X_0+Vt$ quand l’accélération n’est pas nulle au lieu d’utiliser $X=X_0+V_0t+\tfrac{1}{2}At^2$.
4. Utiliser une équation verticale sans imposer la condition correspondante (une seule inconnue) dans la “recette” de résolution.
5. Oublier que dans le cas symétrique (squat jump), $t_{1'}=t_{vol}/2$ et que l’on utilise $h_{max}=g t_{vol}^2/8$.
6. Interpréter “sans frottement” comme “sans accélération” : l’air négligé ne supprime pas $g$, il permet juste un modèle plus simple.
7. Penser que la simultanéité est universelle : le texte explique qu’on ne compare pas le temps de A et B sans conventions.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer les idées d’Aristote : immobile sans impétus, arrêt du mouvement quand l’impétus cesse.
2. Donner la distinction aristotélicienne grave (vers le bas) et léger (vers le haut) en vertical.
3. Expliquer la prédiction galiléenne pour la chute : progression régulière interprétée comme accélération constante.
4. Choisir et appliquer correctement le signe de $g$ selon le sens positif choisi (et conclure avec les formules).
5. Utiliser la définition $v_{moy}=\dfrac{X_1-X_0}{t}$ et $a_{moy}=\dfrac{V_1-V_0}{t}$ avec $t_0=0$.
6. Résoudre un mouvement à accélération constante avec $A=\dfrac{V_1-V_0}{t}$ et $X_1=X_0+V_0t+\tfrac{1}{2}At^2$.
7. Décomposer un problème en 2D : écrire séparément les équations horizontales et verticales et imposer le temps commun $t$.
8. Suivre la recette chute des corps : schéma, bilan en 0 et 1 avec signes, puis sélection de l’équation verticale à une seule inconnue.
9. Pour squat jump en phase aérienne sans frottement : appliquer $a_{moy}=-g$ et relations de symétrie (sommet à $t_{vol}/2$).
10. Calculer $h_{max}=g t_{vol}^2/8$ et $V_{décollage}=g t_{vol}/2$ à partir de $t_{vol}$ (méthode de Bosco).
11. En 2D symétrique : décomposer $V_0$ en $V_{0hor}$ et $V_{0ver}$ avec $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$.
12. Établir la portée $X_{hor}=\dfrac{V_0^2\sin(2\alpha)}{g}$ (ou forme avec $V_{tot}$) via l’égalité des temps.
13. Décrire l’idée de simultanéité : un observateur associe un temps local avec une horloge, et sans conventions on ne compare pas chronologiquement A et B.