Fiche de révision : Mesure et analyse des circuits électriques

📋 Plan du Cours

1. Fondements des circuits électriques
2. Charge et courant électriques
3. Potentiel et tension électriques
4. Dipôles et leurs modèles
5. Résistances, sources et mesures
6. Instruments de mesure électrique
7. Circuits et potentiel électrique
8. Puissance et énergie électriques
9. Lois de Kirchhoff
10. Associations de résistances
11. Équivalence et associations de dipôles
12. Ponts diviseurs et point de fonctionnement
13. Thévenin et Norton
14. Superposition et théorème de Millman
15. Régimes variables et composants réactifs
16. Inductance et modèle de bobine
17. Énergie et continuité des dipôles
18. Réponses transitoires RC et RL

📖 1. Fondements des circuits électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit électrique : Ensemble de composants reliés entre eux par des fils électriques.

★ À maîtriser

📌 Pour qu’un courant circule, le circuit doit être fermé et comporter au moins un générateur.

📌 Un générateur fournit de l’énergie aux récepteurs par l’intermédiaire du circuit, tandis qu’un récepteur reçoit cette énergie et la convertit.

Compléments

📌 Le courant continu garde le même sens et la même intensité, tandis que le courant alternatif change périodiquement de sens.

💡 Astuce mémo

Circuit fermé + générateur → courant dans les récepteurs

📖 2. Charge et courant électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge électrique : Propriété fondamentale de la matière qui lui permet d’interagir par des forces électriques et magnétiques.
• Courant électrique : Déplacement d’ensemble de porteurs de charge au sein d’un milieu conducteur, ces porteurs pouvant être des électrons ou des ions.

📝 Points essentiels

• La charge électrique se mesure en coulombs, peut être positive ou négative, et la charge élémentaire vaut $e=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$.

📌 La charge électrique se conserve : elle ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement transférée d’un corps à un autre.

📐 Formule — L’intensité du courant est le débit de charge électrique traversant une section : $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$.

📌 Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement d’une charge positive, tandis que le sens réel correspond au déplacement des porteurs de charge.

💡 Astuce mémo

Courant conventionnel : charge positive ; courant réel : déplacement des porteurs

📖 3. Potentiel et tension électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel électrique : Grandeur physique définie en chaque point de l’espace et mesurée en volts.
• Tension électrique : La tension électrique entre deux points A et B est la différence de potentiel $U_{AB}=V(A)-V(B)$ et se mesure en volts.

★ À maîtriser

📌 En dehors des générateurs, les charges positives sont poussées des potentiels forts vers les potentiels faibles, tandis que les charges négatives sont poussées dans le sens opposé.

📌 Une tension orientée est le potentiel situé à la pointe de la flèche moins le potentiel situé à sa base, et elle peut être négative si l’ordre des potentiels est opposé à l’orientation choisie.

Compléments

📐 Formule — La force de Coulomb est reliée à la pente du potentiel par $\|\vec F_{\mathrm{Coulomb}}\|=q\frac{dV}{dx}$ dans le cas étudié.

💡 Astuce mémo

Le courant dévale la pente de potentiel, sauf dans le générateur

📖 4. Dipôles et leurs modèles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrique : Composant électrique possédant deux bornes, dont on étudie notamment le courant et la tension à ses bornes.
• Caractéristique courant-tension : Relation entre le courant qui le traverse et la tension à ses bornes.
• Dipôle linéaire : Dipôle dont la caractéristique statique est une droite passant par l’origine.

★ À maîtriser

📌 En convention générateur, les flèches de l’intensité et de la tension sont de même sens, tandis qu’en convention récepteur elles sont de sens opposés.

📌 Un dipôle fonctionne en générateur lorsqu’il apporte de l’énergie au circuit et en récepteur lorsqu’il reçoit de l’énergie du circuit.

Compléments

📌 Un dipôle actif possède une caractéristique qui ne passe pas par l’origine, tandis qu’un dipôle passif possède une caractéristique qui passe par l’origine.

💡 Astuce mémo

Générateur : le courant remonte le potentiel ; récepteur : il le descend

📖 5. Résistances, sources et mesures

★ À maîtriser

📐 Formule — La résistivité et la conductivité d’un matériau vérifient $\rho=\frac{1}{\gamma}$, avec la résistivité en Ω·m et la conductivité en S·m⁻¹.

📐 Formule — La résistance d’un conducteur cylindrique homogène vérifie $R=\frac{L}{\gamma S}$.

📐 Formule — En convention récepteur, une résistance vérifie la loi d’Ohm $U=RI$, tandis qu’en convention générateur elle vérifie $U=-RI$.

• Une source de courant idéale impose un courant constant $I=I_0$ quelle que soit la tension à ses bornes, tandis qu’une source de tension idéale impose une tension constante $U=E_0$ quel que soit le courant.

• Un voltmètre se branche en parallèle du dipôle étudié et possède idéalement une résistance interne infinie afin de ne pas perturber le circuit.

• Deux dipôles en parallèle ont la même tension à leurs bornes, tandis que deux dipôles en série sont traversés par le même courant.

Compléments

📐 Formule — La conductance d’un dipôle est l’inverse de sa résistance : $G=\frac{1}{R}$, et elle se mesure en siemens.

💡 Astuce mémo

Voltmètre en parallèle ; dipôles en série : même courant

📖 6. Instruments de mesure électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ohmmètre : Mesure la résistance d’un dipôle isolé du reste du circuit en y faisant circuler un petit courant et en mesurant la tension résultante.

★ À maîtriser

📌 Deux dipôles sont en parallèle lorsque leurs deux bornes sont communes, tandis que deux dipôles sont en série lorsqu’ils partagent une borne qui n’est reliée à aucun autre dipôle.

📌 Les tensions aux bornes de deux dipôles en parallèle sont égales, tandis que deux dipôles en série sont traversés par le même courant.

• Pour mesurer la tension aux bornes d’un dipôle, on branche le voltmètre en parallèle, avec la borne V sur le point de potentiel le plus élevé selon l’orientation choisie et la borne COM sur l’autre point.

• Pour mesurer le courant traversant un dipôle, on branche l’ampèremètre en série avec lui et l’on ouvre le circuit pour l’insérer.

Compléments

• La résistance interne d’un voltmètre numérique est de l’ordre de 10 MΩ et doit être très grande devant celle du dipôle mesuré afin de ne presque pas perturber le circuit.

💡 Astuce mémo

Voltmètre en parallèle, ampèremètre en série

📖 7. Circuits et potentiel électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Circuit électrique : Ensemble de composants électriques connectés par des câbles conducteurs de très faible résistance.
• Nœud : Point du circuit d’où partent au moins trois fils.
• Branche : Portion de circuit comprise entre deux nœuds et constituée d’une suite de dipôles en série.
• Potentiel électrique : Le potentiel électrique V(M) est une grandeur définie en chaque point de l’espace qui décrit l’influence des charges électriques, les charges positives contribuant positivement et les charges négatives négativement.

★ À maîtriser

📌 Les potentiels sont constants le long d’un fil idéal, les tensions aux bornes du fil sont nulles, mais un courant peut néanmoins y circuler.

📌 Une charge positive est poussée vers les potentiels faibles, tandis qu’une charge négative est poussée vers les potentiels forts.

Compléments

📐 Formule — Le potentiel créé au point M par des charges q_i situées aux points P_i vérifie $V(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{P_iM}$.

💡 Astuce mémo

Accumulations de charges → potentiel → tension → courant

📖 8. Puissance et énergie électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance électrique : Énergie reçue ou cédée par unité de temps et s’exprime en watt.

★ À maîtriser

📐 Formule — En convention générateur comme en convention récepteur, la puissance s’écrit $P=UI$, mais son signe indique respectivement si le dipôle cède ou reçoit réellement de l’énergie.

📐 Formule — Pour une résistance en convention récepteur, la puissance reçue vérifie $P=UI=RI^2=\frac{U^2}{R}=\frac{E^2}{R}$.

📐 Formule — Lorsque la puissance est constante pendant une durée ΔT, l’énergie transférée vérifie $\Delta E=P\Delta T$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque la puissance varie avec le temps, l’énergie transférée entre t_i et t_f vérifie $E(t_f)-E(t_i)=\int_{t_i}^{t_f}P(t)\,dt$.

• Un appareil fonctionnant à 1 kW pendant 1 heure consomme 1 kWh, soit 3,6 MJ.

💡 Astuce mémo

Générateur cède, récepteur reçoit

📖 9. Lois de Kirchhoff

★ À maîtriser

• La loi des mailles affirme que la somme algébrique des tensions aux bornes des dipôles d’une maille fermée est nulle.

• La loi des nœuds affirme que la somme des intensités des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des intensités des courants sortants.

• Pour résoudre un circuit par les lois de Kirchhoff, on oriente les courants et les tensions, choisit les inconnues, applique les lois des mailles et des nœuds, puis résout le système d’équations obtenu.

Compléments

📌 Si le résultat d’un courant orienté est négatif, le courant réel circule dans le sens opposé à l’orientation choisie.

• Dans un circuit comportant n nœuds, la loi des nœuds fournit n−1 équations indépendantes.

💡 Astuce mémo

Mailles : tensions ; nœuds : courants

📖 10. Associations de résistances

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence entre dipôles : Deux dipôles possèdent la même caractéristique courant-tension et peuvent alors être remplacés l’un par l’autre sans modifier le reste du circuit.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n résistances en série, la résistance équivalente est $R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2+\cdots+R_n$.

📐 Formule — Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente vérifie $R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

Compléments

📐 Formule — Pour n résistances en parallèle, les conductances s’additionnent selon $G_{\mathrm{eq}}=G_1+G_2+\cdots+G_n$.

• Une résistance équivalente se détermine entre deux points du circuit et correspond à la valeur qu’afficherait un ohmmètre branché entre ces points.

💡 Astuce mémo

Série : résistances s’additionnent ; parallèle : conductances s’additionnent

📖 11. Équivalence et associations de dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence entre dipôles : Deux dipôles sont équivalents s’ils ont la même caractéristique courant-tension, ce qui permet de remplacer l’un par l’autre sans modifier les tensions ni les courants du reste du circuit.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n résistances en série, la résistance équivalente vérifie $R_{eq}=R_1+R_2+\cdots+R_n$.

📐 Formule — Pour n résistances en parallèle, la conductance équivalente vérifie $G_{eq}=G_1+G_2+\cdots+G_n$.

Compléments

📌 Deux sources de courant peuvent être associées en parallèle en additionnant leurs courants, tandis que deux sources de courant idéales ne peuvent pas être branchées en série.

💡 Astuce mémo

Même caractéristique = remplaçable sans modifier le circuit

📖 12. Ponts diviseurs et point de fonctionnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Point de fonctionnement : La donnée des intensités dans ses branches et des tensions aux bornes de ses dipôles en régime continu.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un pont diviseur de courant formé de deux résistances parallèles, les courants vérifient $I_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}I$ et $I_2=\frac{R_1}{R_1+R_2}I$.

📐 Formule — Dans un pont diviseur de tension formé de deux résistances en série, les tensions vérifient $U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}U$ et $U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}U$.

Compléments

📐 Formule — Pour n résistances en parallèle, le courant dans la résistance k vérifie $I_k=\frac{G_k}{G_1+G_2+\cdots+G_n}I$.

💡 Astuce mémo

Le courant se partage en parallèle, la tension se partage en série

📖 13. Thévenin et Norton

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thévenin : Toute portion de circuit composée de sources et de résistances et possédant deux bornes est équivalente, vue de ces bornes, à un générateur de tension réel appelé générateur de Thévenin.
• Théorème de Norton : Toute portion de circuit composée de sources et de résistances et possédant deux bornes est équivalente, vue de ces bornes, à un générateur de courant réel appelé générateur de Norton.

★ À maîtriser

📐 Formule — La force électromotrice de Thévenin est la tension à vide aux bornes de la portion de circuit : $E_{th}=U_{vide}$.

• Pour déterminer la résistance de Thévenin, il faut éteindre les sources internes puis calculer la résistance vue entre les deux bornes.

📐 Formule — Les équivalents de Thévenin et de Norton vérifient $E_{th}=J_NR_N$ et $R_{th}=R_N$.

Compléments

📐 Formule — Le courant de Norton est le courant de court-circuit de la portion de circuit : $J_N=I_{cc}$.

💡 Astuce mémo

Thévenin impose une tension, Norton impose un courant

📖 14. Superposition et théorème de Millman

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de superposition : Dans un circuit électrique linéaire, le courant dans une branche est la somme des courants obtenus lorsque chaque source agit seule, toutes les autres sources étant éteintes.
• Masse électrique : Un point du circuit choisi comme référence de potentiel, généralement fixé à 0 V, car seules les différences de potentiel déterminent le comportement électrique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Millman exprime le potentiel d’un nœud par $V(A)=\frac{\frac{V(B_1)}{R_1}+\frac{V(B_2)}{R_2}+\frac{V(B_3)}{R_3}+I_1+I_2}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}}$.

Compléments

📌 Pour appliquer la superposition à une tension, on calcule de même les tensions produites par chaque source agissant seule puis on les additionne algébriquement.

💡 Astuce mémo

Sources isolées → contributions additionnées

📖 15. Régimes variables et composants réactifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction : Le phénomène par lequel un courant variable dans une bobine crée des courants induits dans ses autres spires, produisant une force contre-électromotrice qui s’oppose aux variations du courant.

★ À maîtriser

• Le régime continu correspond à des tensions et des courants constants, tandis que le régime variable correspond à des grandeurs qui varient dans le temps.

• Le régime transitoire est temporaire et suit une perturbation, tandis que le régime établi est atteint à la fin du transitoire ou avant la perturbation.

• L’approximation des régimes quasi stationnaires permet d’utiliser les lois de Kirchhoff lorsque le temps caractéristique de variation est grand devant $L/c$.

• Un dipôle linéaire en régime variable est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants reliant la tension u(t), ses dérivées, le courant i(t) et ses dérivées.

📐 Formule — Pour un condensateur en convention récepteur, la charge et le courant vérifient $q(t)=Cu(t)$ et $i(t)=C\frac{du(t)}{dt}$.

📐 Formule — La valeur absolue de la force contre-électromotrice d’une bobine vérifie $|f_{cém}|=L\left|\frac{di}{dt}\right|$, où L est l’inductance mesurée en henrys.

Compléments

• Pour un montage sur table de travaux pratiques, l’ARQS est considérée comme valide pour des fréquences inférieures à 10 MHz.

📐 Formule — La capacité d’un condensateur plan vérifie $C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{e}$.

📐 Formule — Deux condensateurs de capacités C1 et C2 ont en série une capacité équivalente $C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ et en parallèle une capacité équivalente $C_{eq}=C_1+C_2$.

💡 Astuce mémo

Variation rapide → effets capacitifs et inductifs

📖 16. Inductance et modèle de bobine

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction : Phénomène par lequel un courant variable dans une bobine crée un champ magnétique variable qui engendre des courants induits dans ses autres spires.
• Inductance : Mesure l’opposition d’une bobine aux variations du courant, se mesure en henrys (H) et dépend notamment de la géométrie de la bobine et de la présence d’un matériau ferromagnétique.

★ À maîtriser

📐 Formule — La force contre-électromotrice vérifie $|f_{\mathrm{cém}}|=L\left|\frac{di}{dt}\right|$.

📐 Formule — La caractéristique idéale d’une bobine est $u(t)=L\frac{di(t)}{dt}$.

Compléments

📐 Formule — Pour une bobine à air, l’inductance vaut approximativement $L=\mu_0\frac{N^2S}{l}$, tandis qu’avec un noyau magnétique elle vaut approximativement $L=\mu_0\mu_r\frac{N^2S}{l}$.

• Le modèle complet d’une bobine comprend son inductance L, la résistance R de son fil et une capacité C entre ses spires.

💡 Astuce mémo

Courant en baisse : la fcém renforce i ; courant en hausse : elle diminue i

📖 17. Énergie et continuité des dipôles

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’énergie stockée par un condensateur est $E=\frac{1}{2}Cu^2$.

📐 Formule — L’énergie stockée par une bobine parcourue par un courant est $E=\frac{1}{2}Li^2$.

📌 La tension est continue aux bornes d’un condensateur, tandis que le courant est continu dans une bobine.

💡 Astuce mémo

Condensateur : tension continue ; bobine : courant continu

📖 18. Réponses transitoires RC et RL

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime sinusoïdal : Régime dans lequel toutes les grandeurs électriques d’un circuit linéaire sont sinusoïdales et de même fréquence que la source.
• Amplitude complexe : L’amplitude complexe d’un signal sinusoïdal est $\underline{A}=Ae^{j\varphi_0}$, dont le module donne l’amplitude et l’argument donne la phase à l’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un circuit RC, la constante de temps est $\tau=RC$.

📐 Formule — Lors de la charge d’un condensateur dans un circuit RC, $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ et $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$.

📐 Formule — Lors de la décharge d’un condensateur dans un circuit RC, $u_C(t)=U_0e^{-t/\tau}$ avec $\tau=RC$.

📐 Formule — Lors de l’établissement du courant dans un circuit RL, $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ avec $\tau=\frac{L}{R}$.

📐 Formule — La décharge d’un circuit RLC vérifie $\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du_C}{dt}+\frac{1}{LC}u_C=0$.

📐 Formule — La pulsation propre et le coefficient d’amortissement d’un circuit RLC sont $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et $m=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$.

📌 Un circuit RLC est fortement amorti si m>1, soit Q<1/2, et faiblement amorti si m<1, soit Q>1/2.

📐 Formule — Un signal sinusoïdal s’écrit $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$ avec $\omega=2\pi f$ et $f=\frac{1}{T}$.

• En notation complexe, dériver un signal revient à multiplier son amplitude complexe par $j\omega$, tandis que le primitiver revient à la diviser par $j\omega$.

📐 Formule — L’impédance complexe d’un dipôle linéaire est $Z=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}$ et son module vaut le rapport des amplitudes de la tension et du courant.

📐 Formule — Les impédances complexes d’un condensateur et d’une bobine sont respectivement $Z_C=\frac{1}{jC\omega}$ et $Z_L=jL\omega$.

📐 Formule — Aux bornes d’une bobine, la tension et le courant vérifient $u_L(t)=L\frac{di}{dt}$, et leurs amplitudes complexes vérifient $U_L=jL\omega I$.

📐 Formule — L’impédance complexe d’une bobine vaut $Z_L=jL\omega$, son module vaut $|Z_L|=L\omega$ et la tension est en retard de phase de $\frac{\pi}{2}$ sur le courant.

📐 Formule — Pour un dipôle linéaire quelconque, l’impédance complexe vaut $Z_D=\frac{b_0+b_1j\omega+\cdots+b_n(j\omega)^n}{a_0+a_1j\omega+\cdots+a_m(j\omega)^m}$ et la relation entre amplitudes complexes est $U=Z_DI$.

💡 Astuce mémo

Charge ou établissement : montée exponentielle ; décharge ou rupture : décroissance exponentielle

📊 Tableaux de synthèse

Générateur et récepteur

Sources idéales