Fiche de révision : Nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et appartenance
2. Ensembles usuels de nombres
3. Intervalles et comparaisons
4. Intervalles bornés et non bornés
5. Intersection et réunion
6. Encadrement et arrondi décimal
7. Repérage décimal des réels

📖 1. Ensembles et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments.
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun nombre et se note ∅.

★ À maîtriser

📌 L’appartenance d’un élément à un ensemble se note ∈.

Compléments

• Dans l’ensemble E présenté dans le cours, les éléments possibles sont 5, 7, 1, √2 et 3,4, tandis que 0, 6, 4 et 5/3 n’y appartiennent pas.

📖 2. Ensembles usuels de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels, noté N, contient 0, 1, 2, 3, 4 et tous les entiers naturels suivants.
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs, noté Z, contient tous les entiers négatifs, zéro et tous les entiers positifs.
• Nombre décimal : Un nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, et son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

★ À maîtriser

• Tout entier naturel est un entier relatif, donc N est inclus dans Z.

• Les nombres irrationnels, comme π ou √5, ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction rationnelle.

• Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• Les nombres 6,47, 5, 1/10 et 9/40 appartiennent à D, car ils s’écrivent respectivement 647/100, 5/1, 0,1 et 0,225.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 3. Intervalles et comparaisons

★ À maîtriser

📌 L’intervalle I = [1;4[ correspond à l’encadrement 1 ≤ x < 4.

📌 Un crochet fermé indique que la borne appartient à l’intervalle, tandis qu’un crochet ouvert indique qu’elle n’y appartient pas.

Compléments

• Les sept symboles de comparaison présentés sont =, ≠, <, ≤, >, ≥ et ≈.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 4. Intervalles bornés et non bornés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle borné : Un intervalle borné est défini par deux réels a et b tels que a < b, ses bornes sont a et b, son centre est (a+b)/2 et son amplitude est b-a.
• Intervalle non borné : Les intervalles non bornés sont [a;+∞[, ]a;+∞[, ]-∞;a] et ]-∞;a[.

📝 Points essentiels

• Les formes d’intervalles bornés sont:
  • [a;b]
  • ]a;b[
  • [a;b[
  • ]a;b]

📌 Un intervalle est une partie de R d’un seul tenant, sans trou, et +∞ ou -∞ indique qu’il n’est pas limité d’un côté.

📖 5. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection I ∩ J est l’ensemble des réels qui appartiennent à I et à J en même temps.
• Réunion : La réunion I ∪ J est l’ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J, c’est-à-dire à au moins un des deux intervalles.

★ À maîtriser

📌 Si deux intervalles n’ont aucun élément commun, leur intersection est l’ensemble vide ∅.

Compléments

• Si I = [2;5] et J = ]4;6[, alors I ∩ J = ]4;5].

💡 Astuce mémo

Intersection : dans les deux ; réunion : dans au moins un

📖 6. Encadrement et arrondi décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Encadrer un nombre x consiste à trouver deux nombres a et b tels que a < x < b, l’amplitude de l’encadrement étant b-a.
• Arrondi : Arrondir un nombre x à 10^-n près consiste à choisir, entre d et d + 1/10^n, celui qui est le plus proche de x.

📝 Points essentiels

• Le nombre π vérifie 3 < π < 4, ce qui constitue un encadrement à l’unité d’amplitude 1.

💡 Astuce mémo

Plus l’amplitude diminue, plus l’encadrement est précis

📖 7. Repérage décimal des réels

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, il existe un nombre décimal d et un entier naturel n tels que d ≤ x ≤ d + 1/10^n.

📐 Formule — L’amplitude de l’encadrement décimal d ≤ x ≤ d + 1/10^n vaut $(d + 1/10^n)-d = 1/10^n = 10^{-n}$.

Compléments

• L’encadrement 3,1 < π < 3,2 est un encadrement décimal à 10^-1 près, car son amplitude vaut 0,1 = 1/10.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres